پارادوکس عجیب!
پارادوکس عجیب در ویدئوی زیر، این است که ثابت میکنند حاصل‌جمع همهٔ اعداد طبیعی برابر $-\frac{1}{12}$ است! یا به عبارت دیگر:
\[1+2+3+4+5+\cdots=-\frac{1}{12}.\]
این ویدئو را حتماً ببینید. سعی کنید ایراد راه‌حل را پیدا کنید، و ایراد را در قسمت کامنت‌ها بنویسید.
اگه عملیاتی که این انجام داد درست باشه منم میتونم ثابت کنم 1=0
1+1+1+1+1+1+1+1+1=A
A=1+A
1=0
سلام
خب هیچ اشکالی در کار نیست جواب دنباله‌ی اول کاملا اثبات شدس اما ابن حقه داره از یگسری خلأ ها استفاده می کنه، خلا اول جابجایی هنگام جمع کردن دو مجموعه هست؛ نمیشه چون نباید از یاد ببریم مجموعه ها نامتناهی هستند.
سلام
متوجه شدم که سری یک منهای یک به اضافه یک منهای یک … واگراست و نوسان میکنه و جواب نمیشه داد. همچنین برای یک منهای دو به اضافه ۳ منهای ۴ …
حالا چرا سری اعداد طبیعی که تو ویدیو شد منفی یک دوازدهم چرا واگرا هستش؟
همچنین دیدم که ۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱…
هم واگراست
چرا؟
خوب از این ساده تر 1+2+3+4+5+8 عدد بینهایت_6=12?
بینهایت قابل اندازه گیری نیست. چجوری اندازه گیریش میکنه و حاصلش رو دوباره میاره توی یه معادله دیگه؟?
بسیار عالی، به نظر من دو غلط در ساده سازی ها وجود داره که یکی از اون ها منجر به غلطی فاحش میشه، اول اینکه از پاسخ دنباله اول میانگین گرفت و دوم اینکه معادله دوم رو دو بار نوشت و در نوشتار دومی جملات رو یک پله به جلو شیفت داد و با هم جمع کرد و نتیجه گیری کرد، ولی از جمله آخر معادله شیفت داده شده که عددی بسیار بزرگه صرف نظر کرد. البته ظاهرا این معادله در فیزیک و مخصوصا نظریه ریسمان استفاده میشه و در حال حاضر در این حیطه کار میکنه ولی مسلما از نظر ریاضی غلطه، ولی با اینحال من لذت بردم?
دنباله هایی ک باهاش کار میکنید به هیچ عنوان همگرا نیستند بلکه بین اعداد طبیعی نوسان میکنند…در نتیجه جمع اون هم واگراست. دنباله ی اولی بسته ب این که تا چه حد به بینهایت میل میکنه ببن ۰ و ۱ و منفی یک نوسان میکنه
خیلی ساده این یک مغالطه هست. چون وقتی مجموعه ای واگرا یا تعریف نشده هست نمیشه برابر با S یا هرچیز دیگری قرار داد که بعدا عملیات جبری رو براش انجام داد و نتیجه گرفت جواب برابر با 1/2 میشه. به راحتی میشه مثال نقض آورد و با برهان خلف ثابت کرد. مثلا تو همین سری زتای منفی یک خیلی خیلی راحت میشه ثابت کرد اگر نتیجه منفی یکدوازدهم بشه پس نتیجه صفر خواهد شد. یعنی با برهان خلف ردش کرد. اما جای جالب قضیه اینه که سریهای دیگه مثل همون زتای منفی یک که برابر -1/12 میشه و از این روش اثبات میشه و در اصل یک مغالطه هست چرا تو موضوعات خیلی مهم مثل نظریه ریسمانها یا فیزیک کوانتوم به او استناد میشه؟؟؟
هیچ پارادکسی وجود نداره.
الگوهایی که استفاده کرده بینهایت دنباله داره بنابراین ما میتونیم به بینهایت روش ممکن اون دوتا رو از هم کم کنیم و اعداد مختلف به دست بیاریم.
بینهایت منهای بینهایت مبهم هست.مگر اینکه اطلاعات کافی داشته باشیم.
فرض کنید:
…+S= 1+2+3+4+5
…+S-S = S’= 0 = 1+2+3+4+5
… 4- 3- 2- 1-
…+1+1+1+1+1+1 = 0 =’S
…+1+1+1+1+1 =0-0=’S’-S
… 1- 1- 1- 1- 1-
…+1-1+1-1+1-1+1-1=
0=
1/2≠
عالی بود…………ولی هنوز نمیدونم چرا تو سری اول میانگین گرفت !
فرض کنید که \[S=1-1+1-1+1-1+\cdots\]
در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}1-S&=1-(1-1+1-1+1-1+\dots)\\&=1-1+1-1+1-1+\cdots\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}S&=1-S\\[7pt]&\Rightarrow2S=1\\[7pt]&\Rightarrow S=\frac{1}{2}.\end{aligned}\]
عبارت \[1-1+1-1+1-1+\cdots\] یک سری معروف است که به آن «سری گرندی» می‌گویند.
wow !!!!!!!! عالی بود مرسی
شما اول باید ثابت کنید که سری شما همگرا هست ،
تعریف بینهایت برای دنباله دقیقا اون چیزی نیست که شما تصور میکنید (در این بحث بینهایت یه مفهوم نسبی و پویاست و در غالب یک متغیر که به بینهایت میل میکند وجود داره نه مستقل ) به عبارتی باید ثابت کنید که اگر n را به مقدار کافی افزایش دهیم اختلاف an و a(n-k) از هر عدد حقیقی دلخواه کوچک تر است ، در حالی که اینطور نیست و همیشه k وجود دارد که اختلاف آن 2 برابر 1 بیشتر از 1/2 میشود (مهم نیست چقدر n ) را افزایش دهیم پس همچین شرطی برقرار نیست و نمیتوانیم بجای اون عبارت همیشه s بزاریم
کاملا تا به امروز درسته ولی تنها با کشف یک معادله ۰+۰ تمام معادله بهم میخوره بین اعداد طبیعی یعنی بین صفر و یک اعداد حقیقی هستن پس معادلات اشتباهه ..و الان هم به این گندشون رسیدن آقایون فضا پیماها
کاملا درسته ولی بد توضیح داده شده: حتما بخونین ??
مجموع اول رو باید حاصل رو بنویسیم ۰ یا ۱ و بعد به ازای S1=۰ یک فرآیند جداگانه و برای S1=۱ هم یک فرآیند جداگانه در نظر بگیریم.
اگر S1=۰ باشد آنگاه S2=۰÷۲=۰
در این صورت در مورد آخر که اشاره شد S-S2=4S آنگاه S=4S و 1=4 که یک تناقض است.
بنابراین S1=1 و S2=1/2 در نتیجه طبق S-1/2=4S داریم S=-1/6!!!! یک پارادوکس جدید!!!
و دریافتیم که S1=1 یعنی حاصل 1+1-1+1-1… همواره برابر با 1 است!!! (پارادوکس دوم)
تو این یک اشتباه وجود داره تو اول سری اول رو حساب نکردی برای همین نمیشه اونو دو فرآیندی کرد
کاملا اشتباهه! از همون اولش که میانگین گرفت . پاسخ عبارت نامنتهی1+1-1+1 تعریف نشده هستش
چی میگی حاجی؟
الان بدون توجه به ویدئو واقعا 1-1+1-1+1-1……. میشه 0.5 ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
همون اولی رو هم اگه تغییر بدیم میشه
…….S-1=-2-2-2-2-2
یعنی این موضوع از همون اول این مشکلو داره که جمع اعداد منفی میشه م3ثبت پس با یه پارادوکس نمیشه یه پارادوکس دیگه ساخت. اول باید همون اولی اثبات بشهفکر کنید در یک فروشگاه ابدی یک مشتری بیاد و بره بعد دوباره یکی دیگه و همینطور بریم آخرش که نیم آدم نداریم؟!
این که آخر نداره میگیم بینهایت تا مشتری بینهایت که آخر نداره خودت میگی بی نهایت بعد میگی نهایت داره؟؟؟!!!
خیلی پیچیده است ولی اگر در سری اول میانگین گرفت پس باید برای جمع اعداد تا بی نهایت هم میانگین بگیرد در صورتی که میانگین نمی تواند عددی منفی باشد
با سلام .جمع جبری اعداد در تعداد متناهی با معنی است و مشکل اثبات این است که جمع جبری اعداد را در تعداد نامتناهی انجام می دهد .و سری اول .یک سری واگرا است که به هیچ عددی همگرا نیست و دراین مثال مجموع سری اول را یک دوم گرفت که کاملا اشتباه است . ودر ضمن اگر شما جمع جبری را برای تعداد نامتناهی از اعداد قبول بکنید به سادگی میشه اثبات کرد تمام اعداد باهم برابر است با سپاس
در قسمت اول ١-١+١-١……… جواب ندارد ولي در آنجا ميانگين گرفته يك دوم
وقتی که سری 2 رو از خودش کم میکنه در واقع داره از یک دهم اون کم میکنه نه از خودش
نه درواقع پایین نوشته 0+s