مسابقه ریاضی آنلاین
درسنامه ریاضی

در شکل زیر، نقطه‌های \(E\) و \(F\) به‌ترتیب روی پاره‌خط‌های \(AB\) و \(AD\) قرار دارند. نقطهٔ \(G\) محل برخورد پاره‌خط‌های \(AC\) و \(BD\) است. همچنین، پاره‌خط‌های \(AG\)، \(BF\)، و \(DE\) یکدیگر را در نقطهٔ \(H\) قطع کرده‌اند.
اگر \(x\) یک عدد باشد و
\(\bullet\) مساحت مثلث \(AFH\) برابر \(4x+4\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(DFH\) برابر \(2x+20\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(DGH\) برابر \(5x+20\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(CDG\) برابر \(5x+11\)،
\(\bullet\) مساحت مثلث \(BCG\) برابر \(8x+32\)،
\(\bullet\) و مساحت مثلث \(BGH\) برابر \(8x+50\) باشد،
آن‌وقت مقدار \(x\)، و مساحت مثلث‌های \(AEH\) و \(BEH\) را به‌دست آورید.


راهنمای حل

برای حل این مسئله، ابتدا با یک قضیهٔ ساده آشنا می‌شویم:


قضیهٔ نسبت‌ مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها. مثلث دلخواه \(ABC\) را در نظر بگیرید. اگر نقطهٔ \(D\) روی ضلع \(BC\) باشد، آن‌وقت داریم:
\[\frac{S_{\overset{\triangle}{ABD}}}{S_{\overset{\triangle}{ACD}}}=\frac{BD}{CD}.\]

(چرا؟)


در راه‌حل زیر، بارها از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها استفاده خواهیم کرد.

برای سادگی، مساحت مثلث‌های \(BGH\)، \(DGH\)، \(BCG\)، و \(CDG\) را به‌ترتیب با \(k\)، \(t\)، \(m\)، و \(n\) نمایش می‌دهیم.

با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها در مثلث‌های \(BDH\) و \(BCD\) داریم:
\[\frac{k}{t}=\frac{m}{n}.\quad(1)\]

(چرا؟)


از رابطهٔ \((1)\) نتیجه می‌شود که \(x=5\). (چگونه؟)

بنابراین:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AFH}}&=4x+4=4(5)+4=24\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DFH}}&=2x+20=2(5)+20=30\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{DGH}}&=5x+20=5(5)+20=45\\[5pt]S_{\overset{\triangle}{BGH}}&=8x+50=8(5)+50=90.\end{aligned}\]


در نتیجه:
\[\begin{aligned}\frac{BG}{DG}=2.\quad(4)\end{aligned}\]
(چرا؟)

پس
\[S_{\overset{\triangle}{AEH}}+S_{\overset{\triangle}{BEH}}=108.\quad(5)\]
(چرا؟)


از طرفی، با استفاده از قضیهٔ نسبت مساحت‌ها و نسبت قاعده‌ها، داریم:
\[\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}.\]
(چرا؟)

در نتیجه:
\[\begin{aligned}&\frac{S_{\overset{\triangle}{AEH}}}{54}=\frac{S_{\overset{\triangle}{BEH}}}{135}\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}=\frac{54}{135}S_{\overset{\triangle}{BEH}}\\[8pt]&\Rightarrow S_{\overset{\triangle}{AEH}}=\frac{2}{5}S_{\overset{\triangle}{BEH}}.\quad(8)\end{aligned}\]
حال، از رابطه‌های \((5)\) و \((8)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}S_{\overset{\triangle}{AEH}}&=\frac{216}{7}\\[7pt]S_{\overset{\triangle}{BEH}}&=\frac{540}{7}.\end{aligned}\]
(چگونه؟)

اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات