هفته اول دوره پیشرفته و تکمیلی ریاضی نهم سمپاد

مطالب تدریس شده در کلاس

1. فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از \(1\) باشد. آیا حاصل‌ضرب زیر، همواره عددی طبیعی است؟

\[\Big(n+1-\frac{1}{n+1}\Big)\Big(n-\frac{1}{n}\Big)\]


پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&\Big(n+1-\frac{1}{n+1}\Big)\Big(n-\frac{1}{n}\Big)\\[7pt]&=\Big(\frac{(n+1)^2-1}{n+1}\Big)\Big(\frac{n^2-1}{n}\Big)\\[7pt]&=\Big(\frac{n^2+2n+1-1}{n+1}\Big)\Big(\frac{(n-1)(n+1)}{n}\Big)\\[7pt]&=\frac{n^2+2n}{n+1}\times\frac{(n-1)(n+1)}{n}\\[7pt]&=\frac{n(n+2)}{n+1}\times\frac{(n-1)(n+1)}{n}\\[7pt]&=(n+2)(n-1).\end{aligned}\]
بنابراین، برای \(n\)های طبیعی بزرگ‌تر از \(1\)، حاصل‌ضرب داده شده همواره یک عدد طبیعی است.


---

2. فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی باشد و
   \[a=\frac{10^{2n}-1}{3\big(10^n+1)}.\] اگر مجموع رقم‌های \(a\) برابر \(567\) باشد، آن‌وقت \(n\) چه عددی است؟
پاسخ را نشان بده!

با توجه به اتحاد \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) داریم:
\[\begin{aligned}\frac{10^{2n}-1}{3\big(10^n+1\big)}&=\frac{\big(10^n\big)^2-1}{3\big(10^n+1\big)}\\[7pt]&=\frac{\big(10^n-1\big)\big(10^n+1\big)}{3\big(10^n+1\big)}\\[7pt]&=\frac{10^n-1}{3}.\end{aligned}\] عدد \(10^n-1\) از \(n\)تا 9 تشکیل شده است. پس \(\frac{10^n-1}{3}\)، از \(n\)تا \(3\) تشکیل شده است. از طرفی، می‌دانیم که مجموع رقم‌های \(a\) برابر \(567\) است. پس: \[3n=567\Rightarrow n=189.\]


---

3. اگر \(a+2b=3\)، آن‌وقت حاصل عبارت \(a(a+2)+4b(b+1)+4ab\) را به‌دست آورید.
   
   پاسخ را نشان بده!
   
   \[\begin{aligned}&a(a+2)+4b(b+1)+4ab\\&=a^2+2a+4b^2+4b+4ab\\&=(a^2+4b^2+4ab)+(2a+4b)\\&=(a+2b)^2+2(a+2b)\\&=3^2+2(3)\\&=9+6\\&=15.\end{aligned}\]
   

   ---

4. حاصل عبارت \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}+\sqrt{2}\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&\sqrt{9-2\sqrt{14}}+\sqrt{2}\\&=\sqrt{7+2-2\sqrt{14}}+\sqrt{2}\\&=\sqrt{\big(\sqrt{7}\big)^2+\big(\sqrt{2}\big)^2-2\big(\sqrt{7}\big)\big(\sqrt{2}\big)}+\sqrt{2}\\&=\sqrt{\big(\sqrt{7}-\sqrt{2}\big)^2}+\sqrt{2}\\&=\big|\underbrace{\sqrt{7}-\sqrt{2}}_{>0}\big|+\sqrt{2}\\&=\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{2}\\&=\sqrt{7}.\end{aligned}\]


---

5. اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) سه عدد حقیقی باشند و بدانیم تساوی \[(a+b)x^2+(a+c)x=x\] یک اتحاد است، آن‌وقت مقدار \(b-c\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

چون تساوی
\[(a+b)x^2+(a+c)x=x\] یک اتحاد است، پس
\[\begin{aligned}&a+b=0,\;a+c=1.\end{aligned}\] بنابراین:
\[\begin{aligned}&(a+b)-(a+c)=0-1\\&\Rightarrow b-c=-1.\end{aligned}\]


---

6. با جایگذاری \(x=\frac{2}{\sqrt{3}}\) در گستردهٔ عبارت \[x^2\big(x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)\big(5x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)-\frac{3}{2}x\] به چه عددی می‌رسیم؟
پاسخ را نشان بده!

چون عبارت داده شده و گستردهٔ آن یک اتحاد تشکیل می‌دهند، پس کافی است \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) را در عبارت داده شده قرار دهیم. ابتدا مخرج \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) را گویا می‌کنیم:
\[\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.\] سپس، \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) را در عبارت داده شده، جایگذاری می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&x^2\big(x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)\big(5x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)-\frac{3}{2}x\\[7pt]&=\Big(\frac{2\sqrt{3}}{3}\Big)^2\Big({\color{red}\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\Big)\Big(5\big(\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)-\frac{3}{2}\Big(\frac{2\sqrt{3}}{3}\Big)\\[7pt]&=\Big(\frac{2\sqrt{3}}{3}\Big)^2\times{\color{red}0}\times\Big(5\big(\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)-\sqrt{3}\\[7pt]&=0-\sqrt{3}\\[7pt]&=-\sqrt{3}.\end{aligned}\]


---

7. اگر \(x\) و \(y\) دو عدد منفی باشند و \(x^2+xy=300\) و \(y^2+yx=600\)، آن‌وقت مقدار \(x+y\) چیست؟
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}&x^2+xy=300\\&y^2+yx=600\end{aligned}\right\}&\Rightarrow(x^2+xy)+(y^2+yx)=300+600\\&\Rightarrow x^2+2xy+y^2=900\\&\Rightarrow(x+y)^2=900\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x+y=30\\&x+y=-30.\end{aligned}\right.\end{aligned}\] چون بنابه فرض مسئله، \(x\) و \(y\) هر دو منفی هستند، پس \(x+y\) نمی‌تواند برابر \(30\) باشد. بنابراین:
\[x+y=-30.\]


---

8. حاصل‌جمع چهار عددی طبیعی \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) برابر \(23\) است. بیشترین مقدار ممکن برای عبارت \(ab+bc+cd\) چیست؟
   
   پاسخ را نشان بده!

   مستطیلی با اضلاع \(a+c\) و \(b+d\) رسم می‌کنیم.

   

   حاصل‌جمع مساحت ناحیه‌های آبی‌رنگ مستطیل بالا برابر است با: \[ab+bc+cd.\] در این مسئله، می‌خواهیم \(ab+bc+cd\) بیشترین مقدار ممکن باشد. پس باید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) را طوری انتخاب کنیم که مساحت ناحیهٔ سفید شکل بالا، یعنی \(ad\)، کمترین مقدار ممکن شود.
   می‌دانیم که \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) چهار عددی طبیعی هستند. پس کمترین مقدار ممکن برای \(ad\) برابر \(1\) است. بنابراین، \(a=1\) و \(d=1\). از طرفی می‌دانیم که
   \[\begin{aligned}&a+b+c+d=23\\&\Rightarrow1+b+c+1=23\\&\Rightarrow b+c=21.\end{aligned}\] حال باید مقدارهای \(b\) و \(c\) را طوری تعیین کنیم که \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود.
   \[\begin{aligned}&b=1,c=20\Rightarrow bc=20\\&b=2,c=19\Rightarrow bc=38\\&b=3,c=18\Rightarrow bc=54\\&b=4,c=17\Rightarrow bc=68\\&b=5,c=16\Rightarrow bc=80\\&b=6,c=15\Rightarrow bc=90\\&b=7,c=14\Rightarrow bc=98\\&b=8,c=13\Rightarrow bc=104\\&b=9,c=12\Rightarrow bc=108\\&b=10,c=11\Rightarrow bc=110.\end{aligned}\] بنابراین \(b=10\) و \(c=11\)، یا \(b=11\) و \(c=10\). در نتیجه، بیشترین مقدار ممکن برای \(ab+bc+cd\) برابر است با:
   \[\begin{aligned}&1\times10+10\times11+11\times1\\&=10+110+11\\&=131.\end{aligned}\]

   ---

   پرسش. فرض کنید \(b+c\) برابر با یک عدد ثابت، مانند \(n\)، باشد. مقدارهای \(b\) و \(c\)، برحسب \(n\)، چه باشند تا \(bc\) بیشترین مقدار ممکن شود؟

   پاسخ: تمرین ۶ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را ببینید.
   

   ---

9. حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) را به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) بیابید.
پاسخ را نشان بده!

\[\begin{aligned}&2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\\&=2\Big(|x|+|2-x|\Big)+x^2\\&=2\Big(\big|\underbrace{2-\sqrt{5}}_{<0}\big|+\big|2-(2-\sqrt{5})\big|\Big)+(2-\sqrt{5})^2\\&=2\Big(-(2-\sqrt{5})+\big|2-2+\sqrt{5}\big|\Big)+4-4\sqrt{5}+5\\&=2\Big(-2+\sqrt{5}+\big|\underbrace{\sqrt{5}}_{>0}\big|\Big)+9-4\sqrt{5}\\&=2\big(-2+\sqrt{5}+\sqrt{5}\big)+9-4\sqrt{5}\\&=2\big(-2+2\sqrt{5}\big)+9-4\sqrt{5}\\&=-4+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}\\&=5.\end{aligned}\]


---

10. می‌دانیم \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار \(k\) را بیابید؟
پاسخ را نشان بده!

می‌دانیم که اگر بتوان یک چندجمله‌ای درجهٔ \(2\) را تجزیه کرد، یعنی آن چندجمله‌ای ریشه دارد(؟). چون:\[\begin{aligned}&x^2+2\sqrt{2}\,x+k\\&=(x+\sqrt{2})^2-2+k\\&=(x+\sqrt{2})^2-(2-k)\end{aligned}\] پس برای اینکه چندجمله‌ای \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) تجزیه شود، باید \(2-k\) عددی نامنفی باشد؛ یعنی
\[\begin{aligned}&2-k\geq0\\&\Rightarrow2\geq k.\end{aligned}\]


---

11. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) است و \(P(7)=6\)، \(P(8)=7\)،‌ \(P(9)=8\)، و \(P(10)=10\). مقدار \(P(11)\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

واضح است که حاصل چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) زیر، به‌ازای \(7\)، \(8\)،‌ و \(9\) به‌ترتیب برابر با \(6\)، \(7\)،‌ و \(8\) است.
\[(x-1)+(x-7)(x-8)(x-9)\]
اما حاصل چندجمله‌ای بالا، به‌ازای \(x=10\) برابر \(9+6\) است. با کمی تغییر در چند‌جلمه‌ای بالا، می‌توان \(P(x)\) خواسته شده در مسئله را ساخت:
\[P(x)=(x-1)+{\color{red}\frac{1}{6}}(x-7)(x-8)(x-9).\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}P(11)&=(11-1)+\frac{1}{6}(11-7)(11-8)(11-9)\\[7pt]&=10+\frac{1}{6}(4)(3)(2)\\[7pt]&=10+4\\&=14.\end{aligned}\]

---

مسئله‌های مشابه

تمرین ۱۱ صفحهٔ ۱۱۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

تمرین ۱۲ صفحهٔ‌ ۱۱۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

تمرین ۱۳ صفحهٔ ۱۱۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم

---

12. اگر \(x=\sqrt{5-\sqrt{24}}\)، آن‌وقت حاصل \(x+x^{-1}\) را به‌دست آورید.
پاسخ را نشان بده!

\[x=\sqrt{3}-\sqrt{2}.\]
چرا؟

\[\begin{aligned}x&=\sqrt{5-\sqrt{24}}\\&=\sqrt{5-2\sqrt{6}}\\&=\sqrt{3+2-2\sqrt{6}}\\&=\sqrt{\big(\sqrt{3}\big)^2+\big(\sqrt{2}\big)^2-2\sqrt{3}\times\sqrt{2}}\\&=\sqrt{\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)^2}\\&=\big|\sqrt{3}-\sqrt{2}\big|\\&=\sqrt{3}-\sqrt{2}.\end{aligned}\]

\[x^{-1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.\]
چرا؟

\[\begin{aligned}x^{-1}&=\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)^{-1}\\[7pt]&=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\\[7pt]&=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\\[7pt]&=\sqrt{3}+\sqrt{2}.\end{aligned}\]

بنابراین،
\[\begin{aligned}&x+x^{-1}\\&=\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)+\big(\sqrt{3}+\sqrt{2}\big)\\&=2\sqrt{3}.\end{aligned}\]


---