دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۶ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی هفتم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
۱. چند تا از شکل‌های زیر می‌تواند سطح مقطع یک مکعب باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
\(\bullet\;\) چهارضلعی
\(\bullet\;\) پنج‌ضلعی
\(\bullet\;\) مثلث
\(\bullet\;\) شش‌ضلعی
۲. شکل زیر با مربع‌های به ضلع واحد شبکه‌بندی شده است. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از ادعاهای زیر را بررسی کنید.
ادعای اول: حجم حاصل از دوران شکل تیره حول خط $AB$ با حجم حاصل از دوران شکل تیره حول خط $CD$ برابر است.
ادعای دوم: حجم حاصل از دوران شکل تیره حول خط $AD$ با حجم حاصل از دوران شکل تیره حول خط $BC$ برابر است.
باتوجه‌به متن زیر، به سه سؤال بعد از آن پاسخ دهید.
به جسم‌های سه‌بعدی که از به‌هم چسباندن یک (یا چند) وجهِ مکعب‌های واحد به یکدیگر ساخته می‌شوند، «چندحجره‌ای» می‌‌گوییم. برای مثال، در زیر، شش نوع ۴حجره‌ای را مشاهده می‌کنید.
۳. از هریک از انواع شش‌تا ۴حجره‌ای بالا، دو تا داریم. با این ۴حجره‌ای‌ها تعدادی مکعب توپُر $2\times 2\times 2$ ساخته‌ایم. چند نوع از این ۴حجره‌ای‌ها امکان ندارد در این مکعب‌های ساخته شده به‌کار رفته باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
۴. شکل زیر، یک ۳حجره‌ای است. سه نقطهٔ \(A\)، \(B\)، و \(C\) از یک سطح مقطع داده شده است. کدام‌یک از نقطه‌های زیر روی این سطح مقطع قرار ندارد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
۱) \(D\)
۲) \(E\)
۳) \(F\)
۴) \(G\)
۵. شکل زیر، نمای بالا و روبه‌روی یک چندحجره‌ای را نشان می‌دهد. حجم این چندحجره‌ای حداقل چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
۶. از جدول زیر با بریدن $6$ خانه مربعی به‌هم چسبیده، یک تکه کاغذ جدا می‌کنیم به‌طوری‌که با تا کردن روی خطوط عمودی و افقی آن بتوان یک مکعب ساخت. بزرگ‌ترین حاصل‌جمع اعداد روی این مکعب چیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
۷. مکعب سمت چپ را حداقل چندبار روی یکی از یال‌هایش بغلتانیم تا به مکعب سمت راست تبدیل شود؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
۸. حجم حاصل از دوران شکل زیر حول ضلع \(AB\) چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۹. مکعبی به طول یال \(a\) مفروض است. \(3\) برش به‌موازات یکی از وجه‌های آن چنان می‌زنیم که مکعب‌مستطیل‌های مساوی ایجاد شوند. نسبت مساحت کل مکعب اولیه به مجموع مساحت‌های کل این مکعب‌‌مستطیل‌ها چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱۰. برای بازسازی یک ساختمان قدیمی، می‌خواهند ستونی در وسط سالن آن بنا کنند و سپس دورتادور ستون را کاشی‌کاری نمایند. شکل‌های زیر، سطح مقطع چند ستون را نشان می‌دهد. سطح کاشی‌کاری در کدام ستون بیشتر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱۱. مهران \(64\) عدد مکعب به‌ضلع یک و به‌رنگ سفید دارد. او با همهٔ آنها یک مکعب جدید می‌سازد و آن را در رنگ قرمز می‌اندازد. بعد از خشک شدن رنگ، مجدداً همهٔ این مکعب‌ها را از هم جدا می‌کند. تعیین کنید در این صورت او چند مکعب به‌ضلع \(1\) دارد که حداقل \(1\) وجه آن قرمز باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
۱۲. کدام‌یک از احجام زیر حجم بیشتری دارد؟ (واحد اندازه‌گیری در همهٔ گزینه‌ها یکسان است.) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
۱) مکعب مستطیل به ابعاد \(7\)، \(6\)، و \(5\)
۲) استوانه به شعاع قاعده \(5\) و ارتفاع \(7\)
۳) استوانه به شعاع قاعده \(6\) و ارتفاع \(5\)
۴) مکعب‌مستطیل به ابعاد \(3.5\)، \(4\)، و \(13\)
۱۳. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
\(\bullet\) اعداد طبیعی به دو دسته تقسیم می‌شوند؛ اعداد اول و اعداد مرکب
\(\bullet\) بزرگ‌ترین پیمانه‌ای که می‌توانیم با آن دو ظرف \(36\) و \(24\) لیتری را پر کنیم، یک پیمانهٔ \(6\) لیتری است.
\(\bullet\) سطح مقطع یک مکعب می‌تواند یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد.
۱۴. با \(9\) عدد چوب‌کبریت به‌طول \(4\) سانتی‌متر، حداکثر چند مثلث متساوی‌الاضلاع به‌ضلع \(4\) می‌توان ساخت؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱۵. تعدادی مکعب واحد را روی‌هم چیده‌ایم تا یک چندحجره‌ای ساخته شود. نمای جلوی آن شکل (۱)، نمای بالای آن شکل (۲)، و نمای راست آن شکل (۳) است. اختلاف حداقل و حداکثر تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در ساختن این جسم چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) $5$
۲) $7$
۳) $8$
۴) بیش از $10$
