دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۵ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی هفتم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.


۱. در جدول زیر، دو خانه «همسایه» هستند، هرگاه در یک ضلع مشترک باشند. مسیری پیدا کنید که از خانهٔ تیره‌رنگ بالا به خانهٔ تیره‌رنگ پایین برسیم به‌شرطی‌که در هر مرحله که به یکی از خانه‌های همسایه می‌رویم، یا عدد خانهٔ همسایه شمارندهٔ عدد خانه‌ای که داخل آن هستیم باشد، یا برعکس، عدد خانهٔ همسایه مضرب عدد خانه‌ای که داخل آن هستیم باشد. کدام عدد روی این مسیر قرار دارد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)

۱) \(3\)
۲) \(28\)
۳) \(10\)
۴) \(6\)

پاسخ تشریحی

۲. می‌خواهیم در جدول زیر به‌جای \(x\)، \(y\)، و \(z\)، اعداد طبیعی قرار دهیم به‌طوری‌که اولاً حاصل‌ضرب عددهای دو سطر یکسان باشد. ثانیاً در هر سطر اعداد از کوچک به بزرگ مرتب شده باشند. حاصل \(x+y+z\) را به‌دست آورید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)
پاسخ تشریحی

۳. می‌دانیم که \(a\) عددی زوج و \(b\) مضرب \(63\) است. اگر \((a,b)=15\) و \(ab=18900\)، آن‌وقت حاصل \(a+b\) را به‌دست آورید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)

پاسخ تشریحی

۴. یک کیک به شکل زیر، روی میز قرار دارد. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)

می‌خواهیم با یک چاقو آن را به‌صورت عمودی با تعدادی برش، تکه‌تکه کنیم. برش‌ها به‌ این‌ صورت انجام می‌شود که هر برش از دو نقطه می‌گذرد به‌طوری‌که بین هر دو نقطه، سه نقطهٔ دیگر قرار می‌گیرد. پس از پایان برش‌ها، این کیک به \(n\) تکه تقسیم می‌شود. باقی‌ماندهٔ تقسیم \(n\) بر \(4\) چه عددی می‌شود؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)
۱) صفر
۲) یک
۳) دو
۴) سه

پاسخ تشریحی

۵. حاصل عبارت \((49,91)\times[49,91]\) کدام است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)
۱) \(49\times91\)
۲) \(\frac{49\times91}{(49,91)}\)
۳) \([49,91]\)
۴) \(7^3\times17\)

پاسخ تشریحی

۶. می‌خواهیم در جدول زیر به‌جای \(x\)، \(y\)، و \(z\) اعدادی طبیعی قرار دهیم به‌طوری‌که شرایط زیر برقرار باشد. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)


\(\bullet\;\) حاصل‌ضرب عددهای دو سطر یکسان باشد.
\(\bullet\;\) در هر سطر اعداد از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
حاصل \(x+y-z\) را بیابید.

پاسخ تشریحی

۷. پاسخ کدام مسئله، ک‌م‌م \(21\) و \(35\) است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)
مسئلهٔ اول: علی هر $21$ روز یک‌‌بار و حسین هر $35$ روز یک‌بار حقوق می‌گیرند. آنها در چه روزی باهم حقوق می‌گیرند؟
مسئله دوم: امید و فرامرز در یک پیست دوومیدانی از یک نقطه شروع به دویدن می‌کنند. امید هر $21$ دقیقه و فرامرز هر $35$ دقیقه یک دور کامل را طی کنند،‌ پس از چند دقیقه، بعد از شروع حرکت،‌ برای اولین‌بار امید و فرامرز به‌هم می‌رسند؟

پاسخ تشریحی

۸. چند تا از اعداد زیر به‌درستی تجزیه شده‌اند؟ (تجزیه کردن یعنی نوشتن عدد به‌صورت ضرب عامل‌های اول) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)
\[\begin{aligned}&\bullet\;1617=3\times7\times7\times11\\&\bullet\;819=3\times3\times91\\&\bullet\;1020=2\times2\times5\times51\\&\bullet\;270=2\times5\times27\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

۹. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)
\(\bullet\) تمام اعداد طبیعی شمارندهٔ اول دارند.
\(\bullet\) حاصل‌ضرب هر دو عدد طبیعی حتماً مرکب است.
\(\bullet\) هیچ عدد اولی بر \(11\) بخش‌پذیر نیست.
\(\bullet\) هیچ عددی پیدا نمی‌شود که صد شمارندهٔ اول داشته باشد.

پاسخ تشریحی

۱۰. در شکل زیر، برای هر نقطه یک عدد در نظر گرفته‌ایم و هر دو نقطه‌ای که ب‌م‌م آنها غیر از یک است را به‌هم وصل کرده‌ایم. کوچک‌ترین عددی که می‌توان برای نقطهٔ \(A\) در نظر گرفت، چند است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)

پاسخ تشریحی

۱۱. اعداد \(a\) و \(b\) را «زوج‌های شگفت‌انگیز» می‌نامیم در صورتی که حاصل \(\dfrac{[a,b]}{(a,b)}\) یک عدد اول باشد. برای آن‌که اعداد \(K\) و \(144\) زوج شگفت‌انگیز باشند، باید … (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱) \(K\) مضربی از \(144\) باشد.
۲) \(144\) مضربی از  \(K\) باشد.
۳) \(K\) و \(144\) نسبت به هم اول باشند.
۴) \(K\) یا \(144\)، مضرب اولی از دیگری باشند.

.پاسخ تشریحی

۱۲. فرهاد می‌خواهد مجموع سه عدد متمایز \(x\)، \(x+3\)، و \(10x+3\) را به‌دست آورد و فقط می‌داند که هر سه عدد اول هستند. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از ادعاهای زیر را تعیین کنید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
ادعای اول: چون بی‌شمار عدد اول وجود دارد، پس بی‌شمار جواب برای این مجموع می‌توان به‌دست آورد.
ادعای دوم: حداقل سه جواب متمایز برای این مجموع می‌توان یافت.
ادعای سوم: این مجموع، فقط یک جواب منحصر به‌فرد دارد.

پاسخ تشریحی

۱۳. چند عدد طبیعی سه رقمی وجود دارد که بر \(12\)، \(18\)، و \(15\) بخش‌پذیر باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)

پاسخ تشریحی

۱۴. به اعدادی که دو رقم سمت راست آنها عدد اول و کوچک‌تر از \(30\) باشد، «عدد خوشایند» می‌گوییم. چند عدد سه رقمی خوشایند وجود دارد که مجموع ارقامشان کمتر از \(10\) باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)

پاسخ تشریحی

۱۵. در جدول زیر، به دو عدد «همسایه» می‌گوییم، هروقت خانه‌های آنها در یک ضلع مشترک باشند. چند عدد می‌توان به‌جای \(A\) نوشت در صورتی که هر دو شرط زیر برقرار باشد: (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)
الف) ک‌م‌م هر دو عددِ همسایه، یکی از آن دو باشد.
ب) در جدول هیچ عددی بزرگ‌تر از \(1000\) نباشد.

پاسخ تشریحی

۱۶. مجید، سعید، و وحید هر کدام \(k\) مهره دارند که \(k\) عددی اول است. هر کدام از آنها به‌اندازهٔ یک عدد اولِ دلخواه از مهره‌هایشان جدا می‌کنند و به‌ترتیب \(6\)، \(26\)، و \(36\) مهره باقی می‌ماند. حداقل تعداد مهره‌هایی که سعید جدا کرده چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)

پاسخ تشریحی

۱۷. اعداد طبیعی \(a\)، \(b\)، و \(c\) مفروض‌اند. اگر داشته‌ باشیم \(ab=2^2\times7\)، \((b,c)=1\)، و \([c,a]=2\times5\)، آن‌وقت مقدار \(a+b+c\) کدام است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)

پاسخ تشریحی

۱۸. عدد «خوش‌ترکیب» به عددی گفته می‌شود که تعداد مقسوم‌علیه‌های اول آن زوج باشد. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از ادعاهای زیر را تعیین کنید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)
ادعای اول: هر عددی که مربع کامل است، خوش‌ترکیب است.
ادعای دوم: همهٔ اعداد خوش‌ترکیب، زوج هستند.

پاسخ تشریحی

۱۹. به اعداد \(x\)، \(y\)، و \(z\)، «سه‌گانهٔ طلایی» می‌گوییم، در صورتی که تعداد مقسوم‌علیه‌های مشترکشان مضربی از \(3\) باشد. کدام دسته از اعداد زیر، سه‌گانهٔ طلایی است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)
۱) \(36,48,120\)
۲) \(35,21,105\)
۳) \(21,28,14\)
۴) \(110,121,55\)

پاسخ تشریحی

۲۰. چند خانه از خانه‌های جدول ضرب $10\times 10$ با اعداد اوّل پر شده است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۱. در چند تا از شکل‌های داده شده می‌توان با قرار دادن پیکان به‌جای تمام پاره‌خط‌های کشیده شده، و قرار دادن تعدادی عدد طبیعی بر تمام رأس‌ها، آن را تبدیل به نموداری کرد که اگر از $a$ به $b$ یک پیکان باشد، آنگاه $a$ شمارنده‌ای از $b$ باشد و برعکس؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۲. اعداد ۱۲و ۱۸ چند مضرب مشترک چهار رقمی دارند که رقم هزارگان آنها ۱ باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۳. چندتا از اعداد فرد بین ۲۰ تا ۴۰ را نمی‌توان به صورت جمع سه تا عدد اول نوشت؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
(اجازهٔ استفاده از اعداد اول تکراری دارید. برای مثال :$21=7+7+7$)

پاسخ تشریحی

۲۴. رقم سمت چپ حاصل عبارت داده شده چیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
\[\Bigg[\Big[\big[[1,2],[3,4]\big],\big[[5,6],[7,8]\big]\Big],[9,10]\Bigg]\]

پاسخ تشریحی

۲۵. کدام‌یک از اعداد زیر شمارنده‌ای برای عدد $1\times 2\times 3\times \dots\times 1396$ نیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۶. می‌توان با قرار دادن \(15\) عدد طبیعی متفاوت بر تمام رأس‌های شکل زیر، آن را به نموداری تبدیل کرد که اگر از \(a\) به \(b\) یک پیکان باشد، آنگاه \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشند و برعکس، اگر \(a\) شمارنده‌ای از \(b\) باشد یک پیکان از \(a\) به \(b\) باشد. حاصل‌ضرب این پانزده عدد دست‌کم چند شمارندهٔ اول دارد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
نمونه سؤالات آزمون تیزهوشان هفتم به هشتم

پاسخ تشریحی (رایگان) 

۲۷. چندتا از اعداد فرد مرکب بین \(50\) تا \(100\) را نمی‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب تعدادی عدد اول متمایز نوشت؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)

پاسخ تشریحی

۲۸. چند مقدار مختلف برای \(a+b\) وجود دارد اگر بدانیم \((a,b)=10\) و \([a,b]=10^{1397}\)؟

پاسخ تشریحی

۲۹. چند عدد دو رقمی وجود دارد که تعداد شمارنده‌های اول آن سه‌‌تا باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
پاسخ تشریحی

$\bullet$ با توجه به متن زیر، به سه سؤال بعدی پاسخ دهید.

دو عدد طبیعی \(a\) و \(b\) نسبت به هم اول هستند هرگاه ب‌م‌م آنها برابر \(1\) باشد، یا به‌عبارت‌دیگر \((a,b)=1\). برای مثال عددهای \(6\) و \(35\) نسبت به هم اول هستند، زیرا \((6,35)=1\)؛ اما دو عدد \(6\) و \(8\) نسبت به هم اول نیستند، چون \((6,8)=2\).

هزار عدد لامپ داریم که آنها را از $1$ تا $1000$ شماره‌گذاری کرده‌ایم. روشن و خاموش شدن لامپ‌ها با یک برنامهٔ کامپیوتری کنترل می‌شود. اگر به این برنامه، عددی را بدهیم، این برنامه لامپ‌هایی را که شمارهٔ آنها نسبت به عدد ورودی، اول نیست تغییر وضعیت می‌دهد (یعنی اگر خاموش باشند روشن و اگر روشن باشند خاموش می‌کند). مثلاً اگر عدد ورودی $18$ باشد، لامپ شماره $15$ تغییر وضعیت می‌دهد، چون \((18,15)=3\)، ولی لامپ شمارهٔ $25$ تغییر وضعیت نمی‌دهد، زیرا \((18,25)=1\).

۳۰. اگر تمام لامپ‌ها خاموش باشند، با وارد کردن کدام‌یک از اعداد زیر، لامپ‌های بیشتری روشن می‌شوند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) $1$
۲) $27$
۳) $64$
۴) $625$

پاسخ تشریحی (رایگان)

۳۱. در ابتدا تمام لامپ‌ها خاموش هستند و چهار عدد را به برنامه وارد کرده‌ایم. اگر لامپ شمارهٔ \(324\) روشن باشد، روشن بودن کدام لامپ قطعی است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) $60$
۲) $81$
۳) $135$
۴) $192$

پاسخ تشریحی (رایگان)

۳۲. در ابتدا لامپ‌های شمارهٔ \(1\) تا \(500\) روشن هستند و لامپ‌های شمارهٔ \(501\) تا \(1000\) خاموش هستند. حداقل چندتا عدد باید به برنامه وارد کنیم تا تمام لامپ‌ها روشن شوند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) به تعداد اعداد اول کوچک‌تر از $1000$
۲) $500$ تا
۳) به تعداد اعداد مرکب
۴) چنین کاری امکان پذیر نیست.

پاسخ تشریحی (رایگان)

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات