دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۱ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی هفتم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

۱. تعداد زیادی سکه‌های \(20\)، \(50\)، و \(100\) تومانی داریم. به چند حالت متفاوت می‌توان پول یک جنس \(500\) تومانی را پرداخت؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)

پاسخ تشریحی

۲. طول مسیر خط‌چین \(100\) متر است و مسیر غیر خط‌چین از نیم‌دایره‌هایی تشکیل شده است که همگی مرکزشان روی مسیر خط‌چین قرار گرفته است. طول مسیر غیر خط‌چین، چند متر است؟ (عدد پی را \(3.14\) در نظر بگیرید.) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)

پاسخ‌ تشریحی

۳. می‌خواهیم جعبه‌هایی مکعب شکل به طول، عرض، و ارتفاع \(15\) را در کارتنی به طول \(250\)، عرض \(90\)، و ارتفاع \(81\) قرار دهیم. حداکثر چند جعبه درون این کارتن جای می‌گیرد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)

پاسخ‌ تشریحی

۴. عدد پنج رقمی \(2\square79\square\) را می‌خواهیم چنان کامل کنیم که عدد به‌دست آمده، هم بر \(3\) و هم بر \(5\) بخش‌پذیر باشد. اختلاف بزرگترین و کوچکترین عدد ممکن چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)

پاسخ‌ تشریحی

۵. فروشگاه سمپادیا به مناسبت دههٔ فجر در روز \(12\) بهمن کلیهٔ اجناس خود را نصف قیمت می‌فروشد. علاوه‌ بر‌ آن، یک کوپن تخفیف \(20\%\) هم برای خرید هر محصول وجود دارد. اگر کسی با کوپن تخفیف در \(12\) بهمن خرید کند، چند درصد قیمت یک کالا را باید بپردازد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)

پاسخ‌ تشریحی

۶. مهندس برای نقشه‌کشی یک ساختمان، نصف مساحت خانه را برای سالن پذیرایی، \(\frac{1}{3}\) باقی‌مانده را برای آشپزخانه، \(\frac{3}{4}\) بقیهٔ زمین را برای اتاق‌های خواب طراحی کرده بود و تنها \(16\) متر مربع برای راهرو و سرویس بهداشتی باقی می‌ماند. مساحت زمین چقدر بوده است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)

پاسخ‌ تشریحی

۷. با قرار دادن دو مثلث روی‌ هم، در شکل حاصل حداکثر چند مثلث دیده می‌شود؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ‌ تشریحی

۸. دهکده‌ای \(100\) خانه دارد. روی هر \(4\) خانه حداقل \(2\) آنتن وجود دارد و روی هر \(2\) آنتن حداقل \(5\) کلاغ نشسته است. این دهکده حداقل چند کلاغ آنتن‌نشین دارد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ‌ تشریحی

۹. \(50\) مهرهٔ قرمز، \(50\) مهرهٔ آبی، و \(50\) مهرهٔ سبز داریم. علی \(30\) مهره را جدا کرده و در یک کیسه می‌ریزد. او ادعا می‌کند که از هر \(5\) مهرهٔ درون کیسه حداقل \(1\) مهره قرمز و حداکثر \(1\) مهره سبز است. حداکثر تعداد مهره‌های آبی درون کیسه چندتاست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)

پاسخ‌ تشریحی

۱۰. شش دایره روی یک مثلث به‌صورت زیر قرار داده‌ایم. اعداد \(1\)، \(2\)، \(3\)، \(4\)، \(5\)، و \(6\) را طوری درون دایره‌ها می‌نویسیم که مجموع اعداد هر سه دایره که روی یک ضلع مثلث هستند، برابر \(10\) شود. مجموع اعدادی که درون سه دایرهٔ وسط ضلع‌ها نوشته می‌شوند، چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)

پاسخ‌ تشریحی

۱۱. همهٔ اعداد طبیعی سه رقمی را بیابید که حاصل‌ضرب ارقام آنها برابر \(36\) شود. (برای مثال، حاصل‌ضرب ارقام عدد \(661\) برابر \(36\) است.) (مسابقهٔ ریاضی واترلو، پایهٔ هفتم، 2019)

۱۲. شکل زیر از چسباندن \(8\) متوازی‌الاضلاع کوچک هم‌اندازه به یکدیگر ساخته شده است.
در شکل بالا، چند متوازی‌الاضلاع وجود دارد؟ (مسابقهٔ ریاضی واترلو، پایهٔ هفتم، 2018)

۱۳. ارقام \(1\) تا \(9\) به‌صورت زیر، به‌ترتیب نوشته شده‌اند به‌طوری‌که رقم‌ \(n\)، \(n\)بار تکرار شده است: \[1223334444\dots999999999.\] عدد بالا را یک بلوک می‌نامیم. اگر این بلوک \(100\) بار پشت‌سرهم تکرار شود، رقم \(1953\)اُم چیست؟ (مسابقهٔ ریاضی واترلو، پایهٔ هفتم، 2018)

۱۴. الگوی زیر با مستطیل‌های \(2\times4\) ساخته می‌شود به‌طوری‌که رأس سمت چپ بالای هر مستطیل، وسط ضلع مستطیل بالا آن قرار داد.

اگر شکل بالا را تا مستطیل دهم ادامه دهیم، محیط شکل حاصل چقدر است؟ (مسابقهٔ ریاضی واترلو، پایهٔ هفتم، 2017)

۱۵. با حداکثر \(8\) سکهٔ \(10\) تومانی و حداکثر \(3\) سکهٔ \(25\) تومانی چند مقدار متفاوت می‌توان ساخت؟ (مسابقهٔ ریاضی واترلو، پایهٔ هفتم، 2017)

۱۶. در کنار جاده‌ای تیرهای سیمانی به فاصله‌های برابر وجود دارد. حامد از تیر اول آغاز به حرکت کرد و بعد از \(6\) دقیقه از کنار تیر ششم گذشت. اگر حامد با همین سرعت به حرکتش ادامه دهد، پس از چند دقیقه (از آغاز حرکت) از کنار تیر بیست‌وششم می‌گذرد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)
۱) \(26\) دقیقه
۲) بیش از \(26\) دقیقه
۳)‌ کمتر از \(26\) دقیقه
۴) هر سه گزینهٔ بالا می‌تواند درست باشد.

پاسخ تشریحی

۱۷. یک باغچهٔ مستطیل شکل به طول \(25\) و عرض \(15\) داریم. اگر به فاصلهٔ یک متر از لبهٔ باغچه، دورتادور آن را نرده بکشیم، به چند متر نرده نیاز داریم؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)
۱) \(80\)
۲) \(84\)
۳) \(88\)
۴) \(92\)

پاسخ تشریحی

۱۸. یک دستگاه تغییر رمز داریم که به‌این‌صورت عمل می‌کند:
یک را تبدیل به سه می‌کند؛ دو را همان نگه می‌دارد؛ سه را تبدیل به یک می‌کند؛ چهار را تبدیل به پنج می‌کند؛ پنج را تبدیل به شش می‌کند؛ شش را تبدیل به چهار می‌کند.
اگر عدد \(32146\) را وارد این دستگاه کنیم و عدد حاصل را دوباره و دوباره و … وارد دستگاه کنیم، کدام‌یک از اعداد زیر امکان ندارد که از دستگاه خارج شود؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۳)

پاسخ تشریحی

۲۰. توپی از ارتفاع \(24\) متری رها می‌شود و پس از رها شدن، \(\frac{1}{4}\) ارتفاع قبلی بالا می‌آید. این توپ از لحظهٔ رها شدن تا چهارمین باری که به زمین می‌خورد، چند متر حرکت کرده است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)

پاسخ تشریحی

۲۱. با چهار رقم \(4\)، \(2\)، \(3\)، و \(6\) تمام عددهای سه رقمی ممکن را نوشته‌ایم. تعداد این اعداد سه رقمی چندتاست؟ (در عددهای شما می‌تواند رقم‌های تکراری هم باشد.) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)

پاسخ تشریحی

۲۲. تعداد زیادی سکه‌های \(20\)، \(50\)، و \(100\) تومانی داریم. به چند حالت متفاوت می‌توان پول یک جنس \(600\) تومانی را پرداخت؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۴)

پاسخ تشریحی

۲۳. پنج ظرف به گنجایش‌های \(18\)، \(20\)، \(21\)، \(25\)، و \(27\) لیتر موجود است. بعضی از این ظرف‌ها پر از آب و بعضی از آنها پر از روغن است و یکی از آنها خالی است. اگر بدانیم در کل مقدار آب سه برابر مقدار روغن است، دراین‌صورت کدام ظرف خالی است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۴)

پاسخ تشریحی

۲۴. یک کاغذ مربعی را مطابق شکل زیر در چند مرحله از روی خط‌چین‌ها تا می‌زنیم و در آخرین مرحله از روی خط‌چین‌ها می‌بُریم و کاغذ را باز می‌کنیم. کدام تصویر نشان‌دهندهٔ کاغذ حاصل است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۵)

پاسخ تشریحی

۲۵. علی و آرش هر کدام یک عدد بر روی کاغذ نوشتند. علی گفت: اگر عدد من را بر \(4\) تقسیم کنید، باقی‌مانده \(2\) می‌شود. آرش گفت: اگر عدد من را بر \(5\) تقسیم کنید، باقی‌مانده برابر \(3\) می‌شود. سه نفر از دوستان آنها در مورد این اعداد نظرات خود را اعلام کردند. با ذکر دلیل مشخص کنید که نظر کدام نفرات درست و نظر کدام نفرات نادرست است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
نفر اول: مجموع این دو عدد بر \(5\) بخش‌پذیر نیست.
نفر دوم: مجموع این دو عدد بر \(3\) بخش‌پذیر نیست.
نفر سوم: حاصل‌ضرب این دو عدد بر \(2\) بخش‌پذیر است.

پاسخ تشریحی

۲۶. دهکده‌ای ۱۰۰ خانه دارد. روی هر ۳ خانه حداقل ۲ آنتن وجود دارد و روی هر ۲ آنتن حداقل ۳ کلاغ نشسته است. این دهکده حداقل چند کلاغ آنتن‌نشین دارد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۷. چند عدد در جدول ضرب \(10\times10\) فقط یک‌بار دیده می‌شوند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)

پاسخ تشریحی

۲۸.