دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۲ ریاضی هشتم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
در صورتی که کارشناسان سایت تکمیلی تشخیص دهند که مسئلهٔ شما قابلیت اضافه شدن به مسائل این صفحه را دارد، آن را با پاسخ تشریحی در همین صفحه قرار می‌دهند.
- با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
- از روش غربال برای عددهای \(1\) تا \(250\) استفاده می‌کنیم. حاصل‌جمع اولین و آخرین عددی که در مرحلهٔ حذف مضارب \(7\)، برای اولین‌بار خط می‌خورند، چند است؟
- در بین هر \(10\) عدد طبیعی متوالی …….
- کدام‌یک از اعداد زیر شمارنده‌ای برای عدد $1\times 2\times 3\times \dots\times 1396$ نیست؟
- اگر تعداد اعداد اول بین $n$ و $m$ را با $p(n,m)$ نشان بدهیم، کدام‌یک نادرست است؟
- چند عدد اول کمتر از \(100\) وجود دارد که با یک مربع کامل، \(2\) واحد فاصله داشته باشد؟
- برای ساختن اعداد مرکب \(2\)رقمی با استفاده از ضرب به کدام اعداد نیاز است؟
- صد لامپ را با شماره‌های \(1\) تا \(100\) شماره‌گذاری کرده‌ایم. هر لامپ یک کلید دارد که با فشار دادن آن، لامپ روشن یا خاموش می‌شود. در ابتدا همهٔ لامپ‌ها خاموش بودند. صد دیوانه، کلید لامپ‌ها را به‌صورت زیر فشار دادند.
دیوانهٔ اول کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(1\) را \(1\)بار فشار داد.
دیوانهٔ دوم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(2\) را \(2\)بار فشار داد.
دیوانهٔ سوم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(3\) را \(3\)بار فشار داد.
دیوانهٔ چهارم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(4\) را \(4\)بار فشار داد.
\(\quad\vdots\)
دیوانهٔ صدم کلید همهٔ لامپ‌های مضرب \(100\) را \(100\)بار فشار داد.حالا تعدادی از لامپ‌ها روشن‌اند. حاصل‌جمع شمارهٔ لامپ‌های روشن را به‌دست آورید.
- در روش غربال اراتستن برای پیدا کردن اعداد اول، در بین اعداد \(1\) تا \(150\)، در مرحلۀ خط زدن مضارب عدد \(7\)، چند عدد خط می‌خورند؟ چند عدد برای اولین‌بار خط می‌خورند؟
- کدام عدد اول است؟
- با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از گزاره‌های زیر را بررسی کنید.
- اگر \(p\) و \(q\) اعداد اول متفاوت باشند، چند عدد کوچک‌تر از \(pq\) نسبت به \(pq\) اول نیستند؟
- از روش غربال برای عددهای \(1\) تا \(300\) استفاده می‌کنیم؛ قبل از خط خوردن عدد \(289\) کدام عدد خط خورده است؟
- مجموع ارقام کوچک‌ترین عدد مرکبی را بیابید که بر هیچ‌یک از اعداد اول کمتر از \(15\) بخش‌پذیر نیست.
- اگر غربال اراتستن را برای اعداد \(1\) تا \(440\) اجرا کنیم، آخرین عددی که خط می‌خورد چیست؟
- چند تا عدد طبیعی وجود دارد که حاصل‌ضرب آن عدد در عدد قبلی‌اش برابر حاصل‌ضرب آن عدد در عدد بعدی‌اش شود؟
- می‌خواهیم در جدول زیر به‌جای $x$، $y$، و $z$ اعداد طبیعی قرار دهیم به‌طوری‌که شرایط زیر برقرار باشد.
- نمودار درختی زیر برای تجزیه عدد $a$ رسم شده است. کدام‌یک نمی‌تواند برابر $a$ باشد؟
- اگر تمام لامپ‌ها خاموش باشند، با وارد کردن کدام‌یک از اعداد زیر، لامپ‌های بیشتری روشن می‌شوند؟
- در ابتدا تمام لامپ‌ها خاموش هستند و چهار عدد را به برنامه وارد کرده‌ایم. اگر لامپ شمارهٔ \(324\) روشن باشد، روشن بودن کدام لامپ قطعی است؟
- در ابتدا لامپ‌های شمارهٔ \(1\) تا \(500\) روشن هستند و لامپ‌های شمارهٔ \(501\) تا \(1000\) خاموش هستند. حداقل چندتا عدد باید به برنامه وارد کنیم تا تمام لامپ‌ها روشن شوند؟
- اگر برای سه عدد اول $a$، $b$، و $c$ بدانیم که
- اگر \(n\) یک عدد صحیح مثبت باشد، نماد \(n!\) (می‌خوانیم: «\(n\) فاکتوریِل»)، برای نشان دادن ضرب اعداد صحیح \(1\) تا \(n\) استفاده می‌شود. برای مثال:\[5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120.\] حاصل کدام گزینه (گزینه‌های) زیر مربع کامل است؟
- به یک زوج \((m,n)\) یک زوج شاد گوییم هرگاه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک \(m\) و \(n\) یک عدد مربع کامل باشد. برای مثال \((20,24)\) یک زوج شاد است زیرا بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک \(20\) و \(24\)، عدد \(4\) است. فرض کنید \(k\) یک عدد صحیح مثبت باشد به‌طوری‌که \((205800,35k)\) یک زوج شاد است. چند حالت ممکن برای \(k\) که \(k \leq 2940\) وجود دارد؟
- مجموع دو عدد اول \(30\) شده است. آن دو عدد را پیدا کردیم. این مسئله چند جواب دارد؟
-
فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی زوج باشد. اگر برای هریک از اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{n}{2}\)، مانند \(p\)، عدد اولی مانند \(q\) وجود داشته باشد به‌طوری‌که \(p+q=n\)، آن‌وقت \(n\) را یک عدد زوج فراگُلدباخی می‌نامیم.
مثال ۱. عدد \(10\) یک عدد زوج فراگُلدباخی است. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{10}{2}\) عبارتند از: \[5,7\]و برای هریک از این دو عدد، یک عدد اول وجود دارد به‌طوری‌که مجموع آنها برابر \(10\) شود:\[\begin{aligned}5+5&=10\\7+3&=10.\end{aligned}\]مثال۲. عدد \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست. زیرا اعداد اول بزرگ‌تر یا مساوی \(\frac{54}{2}\) عبارتند از:\[29,31,37,41,43,47,53\]و چون \(29+25=54\)، و \(25\) عدد اول نیست، پس \(54\) یک عدد زوج فراگُلدباخی نیست.به‌غیر از \(10\)، همهٔ اعداد زوج فراگُلدباخی کوچک‌تر از \(250\) را پیدا کنید.
- اگر اعداد طبیعی \(1\) تا \(22\) را درهم ضرب کنیم و سپس عدد حاصل را به عوامل اول تجزیه کنیم، توان عدد \(2\) در حاصل‌ضرب چقدر است؟
-
آقای اسماعیلی از همسایه‌اش، که ریاضیدانی بازنشسته است، در مورد ساکنین یک خانه می‌پرسد. همان‌طور که خواهیم دید، این پیرمرد موقر جواب‌های چندان مناسبی نمی‌دهد.
آقای اسماعیلی می‌پرسد: «چند نفر در این خانه زندگی می‌کنند؟»
ریاضیدان: «سه نفر.»
آقای اسماعیلی: «چند سال دارند؟»
ریاضیدان: «نمی‌گویم. فقط می‌توانم بگویم حاصل‌ضرب سن‌شان \(1296\) است.»
آقای اسماعیلی: «خب، من هنوز نمی‌توانم سن آنها را مشخص کنم.»
ریاضیدان: «مجموع سن آنها برابر شمارهٔ پلاک خانهٔ شماست. حالا چه می‌گویید؟»آقای اسماعیلی که به دردسر افتاده است تلاش می‌کند معما را حل کند و می‌گوید: «هنوز نتوانسته‌ام بفهمم افراد این خانه چند سال دارند.»
ریاضیدان: «آیا می‌دانید من چند سال دارم؟»
آقای اسماعیلی: «بله.»
ریاضیدان: «خب، هر سه از من کوچک‌ترند.»
آقای اسماعیلی: «خیلی ممنون. حالا می‌دانم این سه نفر چند سال دارند.»اختلاف سن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین فرد آن خانه را به‌دست آورید.
الف) اگر عددی مرکب باشد، همهٔ مضارب طبیعی آن نیز مرکب هستند.
ب) عددی طبیعی که بی‌شمار مضرب اول داشته باشد، وجود ندارد.
ج) فقط سه عدد زوج طبیعی وجود دارد که همهٔ شمارنده‌های آنها زوج باشند.
۱) حداقل یک عدد اول وجود دارد.
۲) حداقل دو عدد اول وجود دارد.
۳) حداکثر چهار عدد اول وجود دارد.
۴) حداکثر پنج عدد اول وجود دارد.
۱) \(1401\)
۲) \(1400\)
۳) \(1399\)
۴) \(1398\)
۱) $p(20,30)>p(40,50)$
۲) $p(50,100)>p(80,110)$
۳) $p(1,50)>p(50,100)$
۴) $p(1,50)>p(150,200)$
۱) اعداد اول یک‌رقمی
۲) اعداد اول کمتر از \(50\)
۳) اعداد طبیعی یک‌رقمی
۴) اعداد اول دورقمی
۱) \(1027\)
۲) \(1001\)
۳) \(169\)
۴) \(91\)
گزارۀ اول: در بین هر \(10\) عدد طبیعی متوالی حداکثر \(4\) عدد اول وجود دارد.
گزارۀ دوم: اگر اعداد اول را به ترتیب از \(2\) تا \(n\)اُمین عدد اول در هم ضرب کنیم و حاصل را با یک جمع کنیم، عدد به‌دست آمده اول است.
۱) \(p+q\)
۲) \((p+1)(q+1)\)
۳) \((p-1)(q-1)\)
۴) \(p+q-2\)
۱) \(169\)
۲) \(253\)
۳) \(288\)
۴) \(299\)
\(\bullet\) حاصل‌ضرب عددهای دو سطر یکسان باشد.
\(\bullet\) در هر سطر اعداد از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
حاصل $x+y-z$ را به‌دست آورید.
۱) $64$
۲) $99\times 130$
۳) $36\times 35$
۴) $168$
$\bullet$ با توجه به متن زیر، به سه سؤال بعدی پاسخ دهید.
هزار عدد لامپ داریم که آنها را از $1$ تا $1000$ شماره‌گذاری کرده‌ایم. روشن و خاموش شدن لامپ‌ها با یک برنامهٔ کامپیوتری کنترل می‌شود. اگر به این برنامه، عددی را بدهیم، این برنامه لامپ‌هایی را که شمارهٔ آنها نسبت به عدد ورودی، اول نیست تغییر وضعیت می‌دهد (یعنی اگر خاموش باشند روشن و اگر روشن باشند خاموش می‌کند). مثلاً اگر عدد ورودی $18$ باشد، لامپ شماره $15$ تغییر وضعیت می‌دهد، چون \((18,15)=3\)، ولی لامپ شمارهٔ $25$ تغییر وضعیت نمی‌دهد، زیرا \((18,25)=1\).
۱) $1$
۲) $27$
۳) $64$
۴) $625$
۱) $60$
۲) $81$
۳) $135$
۴) $192$
۱) به تعداد اعداد اول کوچک‌تر از $1000$
۲) $500$ تا
۳) به تعداد اعداد مرکب
۴) چنین کاری امکان پذیر نیست.
\[a=\frac{xy+3}{y},\;b=\frac{xy+2y+3}{y},\;c=\frac{xy+4y+3}{y}\]
آنگاه مقدار عددی $a^2+b^2-c^2$ را به‌دست آورید.
الف) \(\dfrac{(20!) (19!)}{1}\)
ب) \(\dfrac{(20!) (19!)}{2}\)
ج) \(\dfrac{(20!) (19!)}{3}\)
د) \(\dfrac{(20!) (19!)}{4}\)
هـ) \(\dfrac{(20!) (19!)}{5}\)
سلام اجر شما با ابا عبدالله
سایت بسیییاررر عالی دارید . واقعا خسته نباشید😊😊👌
ممنون خسته نباشید