در درسنامهٔ اتحاد و تجزیه یکی از درسنامه‌های پیشرفتهٔ سایت تکمیلی است. در این درسنامه، بیش از \(550\) مثال و تمرین حل شده وجود دارد. با استفادهٔ اصولی از درسنامهٔ اتحاد و تجزیه می‌توانید برای همیشه مشکل خود را در این مبحث، که یکی از اساسی‌ترین مباحث ریاضیات دبیرستانی است، حل کنید. خواندن کامل این درسنامه و حل مثال‌ها و تمرین‌های آن، اکیدأ توصیه می‌شود.

تجزیه عبارت‌ های جبری

 


علاوه بر تمرین‌های بسیار زیادی که در درسنامهٔ اتحاد و تجزیه وجود دارد، در اینجا نیز تمرین‌های دیگری قرار داده‌ایم. دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۵ ریاضی نهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

اگر مسئله‌ای مربوط به فصل ۵ ریاضی نهم دارید و نمی‌توانید آن را حل کنید، آن را در قسمت‌ کامنت‌های این صفحه بنویسید.
در صورتی که کارشناسان سایت تکمیلی تشخیص دهند که مسئلهٔ‌ شما قابلیت اضافه شدن به مسائل این صفحه را دارد، آن را با پاسخ تشریحی در همین صفحه قرار می‌دهند.

  1. حاصل عبارت $\big(-\dfrac{1}{2}xy^2\big)^3\big(\dfrac{2}{x^2y^3}\big)^2(-4x)$ را بیابید. ($x,y\not=0$)

  2. اگر حاصل عبارت \(\sqrt{2}(x+1)(\sqrt{8}x^2+\sqrt{2}x+2)\) را به‌صورت مجموع چندتا یک‌جمله‌ای غیرمتشابه بنویسیم، آن‌وقت ضرایب چندتا از این یک‌جمله‌ای‌ها عددی گویاست؟

  3. اگر حاصل عبارت $(x^2+3x+1)(x-1)^2$ را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسیم، ضریب جملهٔ درجه \(1\) چه عددی است؟

  4. می‌دانیم \(P(x)\) و \(Q(x)\) یک‌جمله‌ای‌هایی با ضرایب صحیح هستند. اگر \(P(x)\times Q(x)=x^2\)، آن‌وقت چند جواب متفاوت برای \(P(x)+Q(x)\) وجود دارد؟

  5. چندتا از تساوی‌های زیر اتحاد هستند؟
  6. \[\begin{aligned}&a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{aligned}\]


  7. فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از \(1\) باشد. آیا حاصل‌ضرب زیر، همواره عددی طبیعی است؟
  8. \[\Big(n+1-\frac{1}{n+1}\Big)\Big(n-\frac{1}{n}\Big)\]


  9. فرض کنید \(n\) یک عدد طبیعی باشد و
    \[a=\frac{10^{2n}-1}{3\big(10^n+1)}.\] اگر مجموع رقم‌های \(a\) برابر \(567\) باشد، آن‌وقت \(n\) چه عددی است؟

  10. در شکل زیر، نقطه‌های \(E\) و \(F\) به‌ترتیب روی پاره‌خط‌های \(AB\) و \(AD\) قرار دارند. نقطهٔ \(G\) محل برخورد پاره‌خط‌های \(AC\) و \(BD\) است. همچنین، پاره‌خط‌های \(AG\)، \(BF\)، و \(DE\) یکدیگر را در نقطهٔ \(H\) قطع کرده‌اند.

  11. اگر \(x\) یک عدد باشد و
    \(\bullet\) مساحت مثلث \(AFH\) برابر \(4x+4\)،
    \(\bullet\) مساحت مثلث \(DFH\) برابر \(2x+20\)،
    \(\bullet\) مساحت مثلث \(DGH\) برابر \(5x+20\)،
    \(\bullet\) مساحت مثلث \(CDG\) برابر \(5x+11\)،
    \(\bullet\) مساحت مثلث \(BCG\) برابر \(8x+32\)،
    \(\bullet\) و مساحت مثلث \(BGH\) برابر \(8x+50\) باشد،
    آن‌وقت مجموع مساحت مثلث‌های \(AEH\) و \(BEH\) چقدر است؟

    راهنمایی:با استفاده از ایده‌ای که در اثبات قضیهٔ میانه-مساحت وجود دارد، به‌سادگی می‌توان قضیهٔ بالا را ثابت کرد.


  12. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
  13. \[(4.2)^2+2(4.2)(1.8)+(1.8)^2\]


  14. اگر \(a+2b=3\)، آن‌وقت حاصل عبارت \(a(a+2)+4b(b+1)+4ab\) را به‌دست آورید.


  15. حاصل عبارت \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}+\sqrt{2}\) را به‌دست آورید.

  16. اگر \(a\)، \(b\)، و \(c\) سه عدد حقیقی باشند و بدانیم تساوی \[(a+b)x^2+(a+c)x=x\] یک اتحاد است، آن‌وقت مقدار \(b-c\) را به‌دست آورید.

  17. با جایگذاری \(x=\frac{2}{\sqrt{3}}\) در گستردهٔ عبارت \[x^2\big(x-\frac{2\sqrt{3}}{3}\big)\big(5x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}\big)-\frac{3}{2}x\] به چه عددی می‌رسیم؟

  18. اگر \(x\) و \(y\) دو منفی باشند و \(x^2+xy=300\) و \(y^2=yx=600\)، آن‌وقت مقدار \(x+y\) چیست؟

  19. حاصل‌جمع چهار عددی طبیعی \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) برابر \(23\) است. بیشترین مقدار ممکن برای عبارت \(ab+bc+cd\) چیست؟


  20. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) عددهایی حقیقی و غیر صفر هستند و \(a<b\) و \(c<d\). چندتا از عبارت‌های زیر حتماً درست هستند؟
  21. \[\begin{aligned}&a+c < b+d\\&a\times c < b\times d\\&a-c < b-d\\&a\div c < b\div d.\end{aligned}\]


  22. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
  23. \[\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{8}}+\frac{3}{\sqrt{8}+\sqrt{11}}+\dots+\frac{3}{\sqrt{35}+\sqrt{38}}\]


  24. اگر نامساوی‌های زیر معادل یکدیگر باشند، مقدار \(A+B\) چیست؟
  25. \[\big|2x-3\big| < 1,\; A < 5x+4 < B\]


  26. حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) را به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) بیابید.

  27. محیط مستطیلی \(36\) متر است. اگر قطر آن را \(d\) بنامیم، مساحت مستطیل برحسب \(d\) چیست؟

  28. می‌دانیم \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار \(k\) را بیابید؟

  29. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) است و \(P(7)=6\)، \(P(8)=7\)،‌ \(P(9)=8\)، و \(P(10)=10\). مقدار \(P(11)\) را به‌دست آورید.

  30. فرض کنید \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجمله‌ای هستند و \(P(x)<Q(x)\) یک نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است. چندتا از عبارت‌های زیر همواره درست هستند؟
  31. \(\bullet\) درجهٔ \(P\) از درجهٔ \(Q\) کمتر است.
    \(\bullet\) درجهٔ \(P\) با درجهٔ \(Q\) برابر است.
    \(\bullet\) \(Q(x) < P(x)\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.
    \(\bullet\) \(\big(P(x)\big)^2 <\big(Q(x)\big)^2\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.


    \(\bullet\) در دو سؤال بعدی، فرض کنید \(P(x)\)، \(Q(x)\)، \(S(x)\)، و \(T(x)\) چندجمله‌ای هستند و
    \[\begin{aligned}A&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x) < Q(x)\}\\B&=\{x\in\mathbb{R}\mid S(x) < T(x)\}\\C&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x)+S(x) < Q(x)+T(x)\}.\end{aligned}\]

  32. چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) حتماً زیرمجموعهٔ \(C\) هستند؟

  33. \(C\) حتماً زیرمجموعهٔ چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) است؟

  34. معادلهٔ \(x^3-4x^2+3x=0\) را حل کنید.

  35. اگر \(A\) و \(B\) به‌ترتیب مجموعه جواب نامعادله‌های \(\frac{2x}{5}-\frac{x}{3} < 2\) و \(6+4x > \frac{2(x-1)}{3}\) باشند، \(A\cap B\) را بیابید.

  36. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک سه عبارت \(x^2-4y^2\)، \(x^2+4xy+4y^2\)،‌ و \(x^2-xy-6y^2\) چیست؟

  37.   نمونه سوال‌ ریاضی نهم

    مسائل این بخش از سؤالات آزمون‌های هماهنگ کشوری سمپاد، آزمون‌های معلمان نمونهٔ مدارس سمپاد، و کتاب‌ها و مسابقات معتبر ریاضی جهان انتخاب و ترجمه شده‌اند. همهٔ مسائل این بخش، پاسخ تشریحی نیز دارند و معلمان عزیز می‌توانند از آنها در کلاس‌های درسی یا آزمون‌هایشان استفاده کنند. تعداد این سؤالات با مشارکت کاربران وب‌سایت تکمیلی، به‌مرور افزایش می‌یابد.

    فصل ۱. مجموعه‌هافصل ۲. عددهای حقیقی فصل ۳. استدلال و اثبات در هندسهفصل ۴. توان و ریشهفصل ۵. عبارت‌های جبریفصل ۶. خط و معادله‌های خطیفصل ۷. عبارت‌های گویافصل ۸. حجم و مساحت



کتاب هوش et

ریاضی تکمیلی

مسئلهٔ هفتهٔ بیست‌وششم

مسئلهٔ هشت وزیر. چگونه \(8\) وزیر را در یک صفحهٔ شطرنج قرار دهیم به‌ طوری‌که هیچ‌کدام دیگری را تهدید نکند.

هشت وزیر

ارسال پاسخمسائل بیشتر

 

ویدئوی هفته

دانلود مقالهٔ کانویویدئوهای بیشتر

 

کتاب هوش فرازمینی et

0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات