دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۵ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
در درسنامهٔ اتحاد و تجزیه، که یکی از درسنامه‌های پیشرفتهٔ سایت تکمیلی است، توضیحات، مثال‌ها، و تمرین‌های متنوع و مفیدی از این فصل وجود دارد. حتماً این درسنامه را بخوانید.
۱. چندتا از تساوی‌های زیر اتحاد هستند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
\[\begin{aligned}&a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{aligned}\]
۲. فرض کنید \(p\) و \(q\) عددهایی حقیقی هستند و \(x^2+px+q\) تجزیه نمی‌شود. کدام‌یک از چندجمله‌ای‌های زیر تجزیه نمی‌شود؟ چرا؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) \(x^2+px-q\)
۲) \(x^2-px+q\)
۳) \(x^4+px^2+q\)
۴) \(x^4-px^2-q\)
۳. می‌دانیم \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار \(k\) را بیابید؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۴. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) است و \(P(7)=6\)، \(P(8)=7\)، \(P(9)=8\)، و \(P(10)=10\). مقدار \(P(11)\) را به‌دست آورید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۵. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) با ضرایب صحیح است. کدام گزینه ممکن است صحیح باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۲) \(1-\sqrt{2}\) و \(2-\sqrt{3}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۳) \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۴) \(\sqrt{6}\) و \(5\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
پاسخ تشریحی
۶. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) عددهایی حقیقی و غیر صفر هستند و \(a<b\) و \(c<d\). چندتا از عبارت‌های زیر حتماً درست هستند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
\[\begin{aligned}&a+c < b+d\\&a\times c < b\times d\\&a-c < b-d\\&a\div c < b\div d.\end{aligned}\]
۷. فرض کنید \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجمله‌ای هستند و \(P(x)<Q(x)\) یک نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است. چندتا از عبارت‌های زیر همواره درست هستند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
\(\bullet\) درجهٔ \(P\) از درجهٔ \(Q\) کمتر است.
\(\bullet\) درجهٔ \(P\) با درجهٔ \(Q\) برابر است.
\(\bullet\) \(Q(x) < P(x)\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.
\(\bullet\) \(\big(P(x)\big)^2 <\big(Q(x)\big)^2\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.
\(\bullet\) در دو سؤال بعدی، فرض کنید \(P(x)\)، \(Q(x)\)، \(S(x)\)، و \(T(x)\) چندجمله‌ای هستند و
\[\begin{aligned}A&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x) < Q(x)\}\\B&=\{x\in\mathbb{R}\mid S(x) < T(x)\}\\C&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x)+S(x) < Q(x)+T(x)\}.\end{aligned}\]
۸. چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) حتماً زیرمجموعهٔ \(C\) هستند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۹. \(C\) حتماً زیرمجموعهٔ چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱۰. مجموع ریشه‌های معادلهٔ \(x^3-4x^2+3x=0\) چقدر است؟
۱۱. اگر \(A\) و \(B\) به‌ترتیب مجموعه جواب نامعادله‌های \(\frac{2x}{5}-\frac{x}{3} < 2\) و \(6+4x > \frac{2(x-1)}{3}\) باشند، \(A\cap B\) را بیابید.
۱۲. اگر \(2a^3 < 0\)، حاصل عبارت زیر را، برحسب \(a\)، بیابید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
\[\sqrt{a^2}+\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[4]{a^4}+\dots+\sqrt[100]{a^{100}}\]
۱۳. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
\[\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{8}}+\frac{3}{\sqrt{8}+\sqrt{11}}+\dots+\frac{3}{\sqrt{35}+\sqrt{38}}\]
۱۴. اگر نامساوی‌های زیر معادل یکدیگر باشند، مقدار \(A+B\) چیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
\[\big|2x-3\big| < 1,\; A < 5x+4 < B\]
۱۵. چند عدد صحیح می‌توان به‌جای \(m\) در نابرابری زیر قرار داد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
\[0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\]
۱۶. حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) را به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) بیابید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱۷. محیط مستطیلی \(36\) متر است. اگر قطر آن را \(d\) بنامیم، مساحت مستطیل برحسب \(d\) چیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱) \(324-d^2\)
۲) \(36-\sqrt{d}\)
۳) \(324-2\sqrt{d}\)
۴) \(162-\frac{d^2}{2}\)
۱۸. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک سه عبارت \(x^2-4y^2\)، \(x^2+4xy+4y^2\)، و \(x^2-xy-6y^2\) چیست؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
۱۹.