نمونه سوال ریاضی نهم فصل ۳
هوش ET
مسابقه ریاضی آنلاین

دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۳ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.


۱. دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های \(A\) و \(B\) قطع کرده‌اند. اگر \(AC\) قطری از دایرهٔ اول و \(AD\) قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه صحیح است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) مثلث \(BCD\) متساوی‌الاضلاع است.
۲) مثلث \(BCD\) متساوی‌الساقین است.
۳) مثلث \(BCD\) قائم‌الزاویه است.
۴) نقاط \(B\)، \(C\)، و \(D\) مثلث تشکیل نمی‌دهند.

پاسخ تشریحی

۲. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
– اگر در دو چهارضلعی $ABCD$ و $A’B’C’D’$ داشته باشیم
\[\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CD}{C’D’}=\frac{DA}{D’A’}\]
دو چهارضلعی متشابه‌اند.
– اگر در دو پنج‌ضلعی $ABCDE$ و $A’B’C’D’E’$ داشته باشیم
\[\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CD}{C’D’}=\frac{DE}{D’E’}=\frac{EA}{E’A’}\]
دو پنج‌ضلعی متشابه‌اند.
– اگر در دو شش‌ضلعی $ABCDEF$ و $A’B’C’D’E’F’$
داشته باشیم
\[\frac{AB}{A’B’}=\frac{BC}{B’C’}=\frac{CD}{C’D’}=\frac{DE}{D’E’}=\frac{EF}{E’F’}=\frac{FA}{F’A’}\]
دو شش‌ضلعی متشابه‌اند.

پاسخ تشریحی

۳. در مثلث $ABC$ می‌دانیم $\widehat{B}=120^\circ$. روی ضلع $AC$ و خارج مثلث $ABC$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع به نام $ACD$ رسم می‌کنیم. کدام گزینه همواره درست است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
۱) خط $BD$ در مثلث $ABC$ عمودمنصف است.
۲) خط $BD$ در مثلث $ABC$ نیم‌ساز است.
۳) خط $BD$ در مثلث $ABC$ میانه است.
۴) مساحت مثلث $ABC$، سه برابر مساحت مثلث $ACD$ است.

پاسخ تشریحی

۴. در شکل زیر، مجموع زاویه‌های مشخص شده چقدر است؟ $(AB=AC)$ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۵. دو پاره‌خط \(AB\) و \(CD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(M\) قطع کرده‌اند. عمود منصف‌های دو پاره‌خط \(AD\) و \(BC\) یکدیگر را در نقطهٔ‌ \(N\) قطع کرده‌اند. اگر \(N\) روی نیم‌ساز ( یا روی امتداد نیم‌ساز) زاویه‌ٔ \(AMC\) باشد، آیا پاره‌خط‌های \(AB\) و \(CD\) برابرند؟ چرا؟ (مشابه تمرین ۲۴ صفحهٔ ۱۰۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم و تمرین ۱ صفحهٔ ۴۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۶. دو پاره‌خط برابر $AB$ و $CD$ یکدیگر را در نقطهٔ $M$ قطع کرده‌اند. عمودمنصّف‌های دو پاره‌خط $AD$ و $BC$ یکدیگر را در نقطهٔ $N$ قطع کرده‌اند به‌طوری‌که نقطهٔ $N$ درون زاویهٔ $AMC$ قرار گرفته است. باذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۲۴ صفحهٔ ۱۰۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم و تمرین ۱ صفحهٔ ۴۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) اندازهٔ دو زاویهٔ $ABN$ و $DCN$ برابر است.
ب) فاصلهٔ $N$ از پاره‌خط $AB$ با فاصلهٔ $N$ از پاره‌خط $CD$ برابر است.

۷. روی ضلع‌های مثلث $ABC$ و در بیرون آن، مثلث‌های متساوی‌الاضلاع $NBC$ و $PAC$ رسم شده‌اند. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۲ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) پاره‌خط‌های $AN$ و $BP$ برابرند.
ب) دو مثلث $ABP$ و $ABN$ هم‌نهشت‌اند.

۸. در مثلث $ABC$، $\widehat{B}=30^\circ$، $AB=7$ و $BC=6$. روی ضلع $AC$ و در بیرون مثلث، مثلث‌ متساوی‌الاضلاع $PAC$ رسم شده‌ است. طول $BP$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۲ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۹. در مثلث $ABC$ نیم‌ساز زاویه‌های $A$ و $B$ یکدیگر را در نقطهٔ $O$ قطع کرده‌اند. از نقطهٔ $O$ خطی موازی با $AB$ رسم شده است که ضلع‌های $AC$ و $BC$ را به‌ترتیب در $D$ و $E$ قطع کرده است. اگر $DE=7$ و \(AD=2\)، آنگاه طول $BE$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۳ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۱۰. در چهارضلعی $ABCD$ عمودمنصّف‌های ضلع‌های $AB$ و $CD$ یکدیگر را در نقطهٔ $M$ قطع کرده‌اند. اگر $M$ روی ضلع $AD$ باشدو $B\widehat{A}D=C\widehat{D}A$، آن‌وقت با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۶ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) دو پاره‌خط $AC$ و $BD$ برابرند.
ب) دو مثلث $AMB$ و $CMD$ همنهشت‌اند.

۱۱. روی ربع دایرهٔ $AOB$ امتداد دو وتر مساوی $AM$ و $‌BN$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کنند. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۷ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) هر نقطه روی $OD$ از $OA$ و $OB$ فاصلهٔ یکسانی دارد.
ب) هر نقطه روی $OD$ از $AD$ و $BD$ فاصلهٔ یکسانی دارد.

۱۲. چهار نقطهٔ $A$، $B$، $C$ و $D$ روی یک دایره چنان قرار دارند که $ABCD$ یک چهارضلعی است و $AB=BC$. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۸ صفحهٔ ۵۱  کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) هر نقطه روی $BD$ از دو پاره‌خط $AB$ و $BC$ فاصلهٔ یکسان دارد.
ب) هر نقطه روی $BD$ از دو پاره‌خط $AD$ و $CD$ فاصلهٔ یکسان دارد.

۱۳. در یک دایره قطر $RS$، عمودمنصّف وتر $AB$ است. نقطهٔ دلخواه $P$ را روی قطر $RS$ در نظر بگیرید. امتداد پاره‌خط‌های $AP$ و $BP$ دایره را به‌ترتیب در نقاط $C$ و $D$ قطع کرده‌اند. اگر $AD=3$ و $BD=5$، آن‌وقت طول \(AC\) و \(BC\) چقدر است؟ (مشابه تمرین ۹ صفحهٔ ۵۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۱۴. چهار نقطهٔ $A$،‌ $B$، $C$ و $D$ روی دایره‌ای به‌ قطر $2\sqrt{2}$ قرار دارند به‌طوری‌که $ABCD$ یک چهارضلعی و $BD$ قطر دایره است. اگر $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $BAD$ و طول $AD$ برابر $2$ باشد، آنگاه محیط $ABCD$ چقدر است؟ (مشابه تمرین ۱۰ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۱۵. خطی با دو ضلع زاویهٔ $xOy$ در نقطه‌های $A$ و $B$ برخورد کرده است. اگر نیم‌سازهای دو زاویهٔ $xAB$ و $yBA$ باهم در نقطهٔ $C$ برخورد کنند، آن‌وقت با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۱۱ صفحهٔ ۵۲ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) $CO$ نیم‌ساز زاویهٔ $xOy$ است.
ب) $CO$ نیم‌ساز زاویهٔ $ACB$ است.

۱۶. $AM$ میانهٔ مثلث $ABC$ است. نقطه‌های $D$ و $E$ بیرون از مثلث $ABC$ چنان قرار دارند که $B$ و $C$ به‌ترتیب درون زاویه‌های $DAC$ و $EAB$ هستند و دو مثلث $ABD$ و $ACE$ به رأس $A$ متساوی‌الساقین‌اند. اگر میانهٔ $AM$ را به‌اندازهٔ خودش امتداد دهیم و نقطهٔ حاصل را $N$ بنامیم، آن‌وقت با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۶ صفحهٔ ۵۵ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) دو مثلث $EAD$ و $ABN$ هم‌نهشت هستند.
ب) دو مثلث $EAD$ و $ACN$ هم‌نهشت هستند.

۱۷. مثلث $ABC$ به رأس $A$ متساوی‌الساقین است. خط $\ell$ ضلع‌های $AB$، $BC$ و امتداد ضلع $AC$ را به‌ترتیب در نقطه‌های $E$،
$F$ و $G$ قطع کرده است، به‌طوری‌که دو پاره‌خط $EF$ و $GF$ برابر شده‌اند. ثابت کنید دو پاره‌خط $BE$ و $CG$ برابرند. (مشابه تمرین ۱ صفحهٔ ۵۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۱۸. در مثلث $ABC$ که ضلع $AC$ بزرگتر از $AB$ است، نیم‌ساز زاویهٔ $BAC$ با عمودمنصف ضلع $BC$ در نقطهٔ $D$ (خارج از مثلث $ABC$) برخورد می‌کند. ثابت کنید زاویهٔ $BDC$ مکمل زاویهٔ $BAC$ است. (مشابه تمرین ۲ صفحهٔ ۵۶ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۱۹. در چهارضلعی $ABCD$ داریم: $AB=BC=CD$. اگر $A\widehat{B}C=70^\circ$، $B\widehat{C}D=170^\circ$ و محل برخورد دو قطر این چهارضلعی را $O$ بنامیم، آن‌وقت با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید. (مشابه تمرین ۱۰ صفحهٔ ۵۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)
الف) مثلث $AOD$ متساوی‌الساقین است.
ب) دو مثلث $BOC$ و $DOC$ همنهشت‌اند.

۲۰. در چهارضلعی محدب $ABCD$، دو مثلث $ABD$ و $ADC$ هم‌نهشت‌اند. اگر نقطهٔ $O$ محل برخورد قطرهای چهارضلعی $ABCD$ باشد، آیا دو مثلث $ABO$ و $DCO$ هم‌نهشت‌اند؟ چرا؟

۲۱. علی روی محور اعداد صحیح، نقاط $A$ و $B$ را به‌ترتیب متناظر با اعداد ۳ و صفر در نظر گرفت. او به مرکز $A$ و شعاع $AB$ دایره‌ٔ $c_1$ را رسم کرد تا محور اعداد را در نقطهٔ $D$ قطع کند. (نقطهٔ $D$ متناظر با عدد ۶ است.) سپس به مرکز $D$ و شعاع $DA$ دایرهٔ $c_2$ را رسم کرد تا دایرهٔ $c_1$ را در نقاط $M$ و $N$ قطع کند. در پایان، علی به مرکز $B$ و شعاع $BM$ دایرهٔ $c_3$ را رسم کرد. دایرهٔ $c_3$ محور اعداد را در دو نقطه قطع می‌کند؛ این دو نقطه متناظر با چه اعدادی هستند؟ چرا؟

۲۲. در یک صفحه، سه نقطهٔ متمایز $A$، $B$ و $C$ (که روی یک خط نیستند) را در نظر بگیرید. ابتدا به مرکز $A$ و شعاع $AC$ دایره‌ای رسم می‌کنیم؛ امتداد شعاع $AC$ این دایره را در نقطهٔ $D$ قطع می‌کند. سپس به مرکز $B$ و شعاع $BD$ دایرهٔ دیگری رسم می‌کنیم تا دایرهٔ اول را در نقطهٔ $E$ (متمایز از $C$ و $D$) قطع کند. ثابت کنید $AB$ و $CE$ موازی‌اند.

۲۳. برای قسمت «الف» مثال نقض بیاورید و درستی قسمت «ب» را ثابت کنید.
الف) اگر دو ضلع و زاویهٔ حاده از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه دو مثلث همنهشت هستند.
ب) اگر دو ضلع و زاویهٔ منفرجه از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه دو مثلث همنهشت هستند.

۲۴. روی ضلع $AC$ از مثلث $ABC$ نقطه‌های $D$ و $M$ را طوری انتخاب کرده‌ایم که $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $MBC$ باشد و $M$ وسط $AD$. اگر $BC=2BM$، آن‌وقت ثابت کنید $CD=AB$.

۲۵. پاره‌خط‌های $AB$، $CD$ و $EF$ در نقطه $O$ همرس‌اند. اگر $CD$ پاره‌خط $EF$ را نصف کرده باشد و $OE$ و $OF$ به‌ترتیب میانه‌ مثلث‌های $BCO$ و $ADO$ باشند، آن‌وقت ثابت کنید دو مثلث $BOE$ و $AOF$ هم‌نهشت‌ هستند.

۲۶. در مثلث $ABC$، $\widehat{B}=80^\circ$ و $\widehat{C}=40^\circ$. نقطهٔ $M$ روی ضلع $BC$ چنان قرار دارد که $CM=AB$. اندازهٔ $M\widehat{A}C-M\widehat{A}B$ چند درجه است؟

۲۷. چهار نقطهٔ $A$،‌ $B$، $C$ و $D$ روی دایره‌ای به‌ شعاع $r$ قرار دارند به‌طوری‌که $ABCD$ یک چهارضلعی و $BD$ قطر دایره است. اگر $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $BAD$ و طول $AD$ برابر $8$ و $r\in\{3,4,5\}$، آن‌وقت محیط $ABCD$ چه اعدادی می‌تواند باشد؟

۲۸. رضا روی محور اعداد صحیح، نقاط $A$ و $B$ را به‌ترتیب متناظر با اعداد $1$ و $4$ در نظر گرفت. او به مرکز $M$ دایره‌ای به شعاع $2$ رسم کرد؛ این دایره محور اعداد را در نقاط $A$ و $B$ قطع کرد. رضا پاره‌خط $BM$ را امتداد داد تا دایره را در نقطهٔ $C$ قطع کند. سپس به مرکز $A$ و شعاع $AC$ دایرهٔ دیگری رسم کرد؛ این دایره در چه نقاطی محور اعداد را قطع می‌کند؟

۲۹. در مستطیل $ABCD$، $AB>AD$. اگر عمود‌منصّف قطر $AC$ ضلع‌های $AB$ و $CD$ را به‌ترتیب در نقاط $E$ و $F$ قطع کند، آنگاه ثابت کنید که چهارضلعی $AECF$ لوزی است.

۳۰. در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$، به رأس $A$، نیم‌ساز زاویهٔ $B$ ضلع $AC$ را در نقطهٔ $D$ قطع کرده است. اگر $BD+AD=BC$، آن‌وقت اندازهٔ زاویهٔ $A$ چقدر است؟

۳۱. در مثلث $PQR$ دو ضلع $PQ$ و $PR$ برابرند. نقاط $X$ و $Y$ به‌ترتیب روی $PQ$ و $PR$ قرار دارند به‌طوری‌که $RX=QY$.
با ذکر دلیل، تعیین کنید که چرا هر دو عبارت زیر، نادرست هستند.
الف) دو مثلث $RXQ$ و $QYR$ هم‌نهشت‌اند.
ب) مثلث $PXY$ متساوی‌الساقین است.

۳۲. نقطهٔ $M$ روی دایره‌ای به قطر $AB$ و مرکز $O$ قرار دارد. از نقطه‌های $M$، $A$ و $B$ سه مماس بر نیم‌دایره رسم شده است. اگر مماسی که از نقطهٔ $M$ رسم شده با مماس‌های رسم شده از $A$ و $B$ به‌ترتیب در نقطه‌های $C$ و $D$ برخورد کند، آنگاه ثابت کنید $OC$ بر $OD$ عمود است.

۳۳. نقاط $R$ و $Q$ روی دایره‌ٔ $c$ به مرکز $P$ قرار دارند. نقطهٔ $S$ بیرون دایرهٔ $c$ قرار دارد به‌طوری‌که $SR$ و $SQ$ بر دایره مماس‌اند. اگر $PR=2$ و $SR=5$ آنگاه محیط چهارضلعی $PRSQ$ چقدر است؟

۳۴. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف) اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
ب) اگر وتر و یک زاویهٔ حاده از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک زاویهٔ حاده از مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
ج) اگر دو ضلع و زاویهٔ غیر بین این دو ضلع از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت هستند.
د) اگر دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با دو ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت هستند.
هـ) اگر اندازهٔ یک زاویه و طول میانهٔ رسم شده از آن زاویه از یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند،‌ آن دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
و) اگر دو ضلع و میانهٔ وارد بر ضلع سوم یک مثلث با اجزاء نظیر در مثلث دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

۳۵. چهار نقطهٔ متمایز $A$، $B$، ،$C$ و $D$ در یک صفحه قرار دارند به‌طوری‌که $AC=AD$. با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف)‌$AB$ روی عمودمنصّف $CD$ قرار دارد.
ب) $CD$ روی عمودمنصّف $AB$ قرار دارد.

۳۶. در مثلث $ABC$ داریم $AB=AC$ و $‎\widehat{A}=80^\circ‎$، عمودمنصّف‌های دو ساق مثلث، قاعدهٔ $BC$ را در $M$ و $N$ قطع می‌کند. کوچک‌ترین زاویهٔ مثلث $AMN$ چند درجه است؟

۳۷. در چهارضلعی محدب $ABCD$ قطر $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $A$ است. اگر $AB=4$، $AD=5$ و مساحت مثلث $ABC$ برابر $12$ باشد، آنگاه مساحت چهارضلعی $ABCD$ چقدر است؟

۳۸. در چهارضلعی محدب $ABCD$ دو زاویهٔ $A$ و $C$ قائمه هستند. اگر $AC$ نیم‌ساز زاویهٔ $A$ باشد،‌ آن‌وقت با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف) هر نقطه روی $AC$ از دو ضلع $AB$ و $AD$ فاصلهٔ یکسان دارد.
ب) هر نقطه روی $AC$ از دو ضلع $BC$ و $CD$ فاصلهٔ یکسان دارد.

۳۹. در مستطیل $ABCD$، نقطهٔ $M$ وسط ضلع $CD$ قرار دارد. نقطهٔ $K$ روی ضلع $BC$ چنان قرار دارد که $KM$ نیم‌ساز زاویهٔ $AKC$ است. اگر $A\widehat{K}M=60^\circ$، آن‌وقت اندازهٔ زاویهٔ $AMK$ چقدر است؟

۴۰. در مستطیل $ABCD$، $AB>AD$ و نقطه‌های $E$ و $F$ به‌ترتیب روی اضلاع $AB$ و $CD$ چنان قرار گرفته‌اند که $E\widehat{D}B=D\widehat{B}E$ و $F\widehat{D}B=F\widehat{B}D$. ثابت کنید که نقطهٔ $B$ روی عمودمنصّف $EF$ است.

۴۱. علی نقطهٔ $A$ را روی خط $\ell$ قرار داد و به شعاعی دلخواه دایره‌ای به مرکز $A$ رسم کرد. این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $B$ قطع کرد. سپس علی به شعاع $AB$ و مرکز $B$ دایرهٔ دیگری رسم کرد که دایرهٔ اول را در نقاط $M$ و $N$ قطع کرد. زاویهٔ $M\widehat{A}N$ چند درجه است؟

۴۲. نقطه‌های $P$ و $Q$ روی خط $\ell$ مفروض‌اند. به مرکز $P$ و شعاع$PQ$ دایرهٔ $c$ را رسم کرده‌ایم؛ این دایره خط $\ell$ را در نقطهٔ $R$ قطع می‌کند. به مرکز $R$ و شعاع $RP$ دایرهٔ دیگری رسم می‌کنیم تا دایرهٔ $c$ را در نقطهٔ $T$ قطع کند. اندازهٔ زاویهٔ $RQT$ چقدر است؟

۴۳. در مثلث $ABC$ نقطهٔ $D$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $AD=BD=CD$. اگر $AD=2$ و $AC=3$ آن‌وقت طول $A‌B$ را به‌دست آورید.

۴۴. در مثلث $ABC$، $\widehat{B}=80^\circ$ و $\widehat{C}=40^\circ$. نقطهٔ $M$ روی ضلع $BC$ قرار دارد به‌طوری‌که $CM=AB$؛ و نقطهٔ $D$ روی پاره‌خط $AC$ قرار دارد به‌طوری‌که $BD$ نیم‌ساز زاویهٔ $ABC$ است. ثابت کنید مثلث $ADM$ متساوی‌الساقین است.

۴۵. ثابت کنید:
الف) خطی که از مرکز دایره بر هر وتر عمود شود، وتر را نصف می‌کند.
ب) اگر فاصلهٔ مرکز دایره از دو وتر برابر باشد، آن دو وتر برابرند.

۴۶. پاره خط \(AC\) بر پاره‌خط \(BD\) عمود است و آن را در نقطهٔ \(H\) قطع کرده است. اگر $AB=AC=BD$، آن‌وقت اندازهٔ $A\widehat{C}B+A\widehat{D}B$ چقدر است؟

۴۷. در مثلث $ABC$، $AM$ میانه است و $AB=BM$. $MA$ را (از طرف $A$) به‌اندازهٔ خودش امتداد داده‌ایم تا نقطهٔ $D$ به‌دست آید. اگر $‎A\widehat{D}B+‎A\widehat{C}B=70^\circ‎‎$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $A‎\widehat{B}C‎$ چند درجه است؟

۴۸. ثابت کنید که اگر هر قطر یک چهارضلعی آن را به دو مثلث هم‌نهشت تقسیم کند آن‌وقت در این چهارضلعی هر دو زاویهٔ مجاور مکمل‌اند.

۴۹.

۵۰.

۵۱.

درسنامه‌های ریاضی

دیدگاه بگذارید

  Subscribe  
Notify of