۱. اگر $A\subseteq\mathbb{N}$، $n(A)=8$، و  $A\oplus A$ دارای \(20\) عضو زوج و \(16\) عضو فرد باشد، تعداد اعضای فرد $A$ چند تاست؟ (نماد \(\oplus\)، علامت جمع دونه‌به‌دونه است.) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

۲. مجموعهٔ $A=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ را به چند طریق می‌توان به چهار زیرمجموعه‌اش افراز کرد، که شرایط زیر برقرار باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
$\bullet$ این چهار زیرمجموعه \(4\) عضوی، \(2\) عضوی، \(2\) عضوی، و \(1\) عضوی باشند.
$\bullet$ مجموع اعضای هر زیرمجموعه عددی زوج باشد.
$\bullet$ \(2\)، \(3\)، و \(4\) در یک زیرمجموعه باشند.
$\bullet$ \(6\) و \(8\) در یک زیرمجموعه نباشند.

۳. چندتا از مجموعه‌های زیر با مجموعهٔ $\big\{\frac{9}{2},\frac{10}{3},\frac{11}{4},\dots,\frac{1399}{1392}\big\}$ برابر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
$\big\{x\in\mathbb{Q}\mid \frac{1399}{1392}\leq x\leq \frac{9}{2}\big\}$
$\big\{\frac{m}{n}\mid m,n\in\mathbb{N},9\leq m<1400,1<n\leq 1392\big\}$
$\big\{\frac{x+9}{x+2}\mid x\in\mathbb{W},x\leq 1399\big\}$

۴. در یک بازی فوتبال بین دو تیم $A$ و $B$ می‌دانیم در پایان نیمهٔ نخست تیم $A$ برنده به رختکن رفته و در این نیمه، بازی ۳ گل داشت، همچنین در نیمهٔ دوم حداکثر ۴ گل زده شده که سهم تیم $B$ حداقل نیمی از این گل‌ها بود. با چه احتمالی بازی مساوی تمام شده است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

۵. اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $\{b^2,a+1\}=\{9,-b^2\}$، آنگاه همهٔ مقدارهای ممکن برای $a+b$ را بیابید.

۶. اگر \(A=\{2,3,4,6,8,9\}\) و \(P=\{ab\mid a\in A,\,b\in A\}\)، آن‌وقت \(n(P)\) را بیابید.

۷. فرض کنید:\[\begin{aligned}A&=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\\B&=\{22,33,44,55,66,77,88,99\}\\C&=\{202,303,404,505,606,707,808,909\}.\end{aligned}\] اگر \(P=\{abc\mid a\in A,\,b\in B,\, c\in C\}\)، آن‌وقت \(n(P)\) را بیابید.

۸. یازده زیرمجموعهٔ غیرمساوی از مجموعهٔ \(\{x\mid x\in\mathbb{N},\,x\leq10\}\) طوری انتخاب می‌کنیم که از هر دوتای آنها، یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. اگر \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌ترتیب مجموعه‌های \(7\)، \(5\)، و \(3\) عضوی از این یازده مجموعه باشند، آن‌وقت تعداد اعضای \(A\cup(B-C)\) را تعیین کنید.

۹. چند زیرمجموعهٔ چهار عضوی از اعداد طبیعی فرد وجود دارد به‌طوری‌که حاصل‌جمع اعضای آن زیرمجموعه برابر \(24\) باشد؟

۱۰. اگر مجموعهٔ سه عضوی \(\{x,y,z\}\) زیرمجموعهٔ اعداد صحیح باشد و \(xyz=30\)، آن‌وقت چند مجموعهٔ \(\{x,y,z\}\) وجود دارد؟

۱۱. اگر \(A=\{1,2,3,4,5,10\}\)، \(B=\{5,8,9,10\}\)، و \(C=\{0,3,4,5,6,7,8\}\)، و شکل زیر نمودار وِن سه مجموعهٔ \(A\)، \(B\)، و \(C\) باشد، آن‌وقت ناحیهٔ سایه‌خورده حداکثر چند عضو دارد؟

۱۲. چهار نامه برای چهار نفر نوشته شده است. روی چهار پاکت، نام این چهار نفر را نوشته‌ایم. این چهار نامه را به‌تصادف درون چهار پاکت می‌گذاریم. چقدر احتمال دارد که هر چهار نامه در پاکت اشتباه قرار گیرند؟

۱۳. علی، حمید، و حسین، سه نفر از \(11\) نفری هستند که به‌طور تصادفی در یک صف پشت‌سرهم ایستاده‌اند. چقدر احتمال دارد که علی بین حمید و حسین باشد؟ (لزومی ندارد که این سه نفر پشت‌سرهم باشند.)

۱۴. فرض کنید مجموعهٔ \(A\) شامل همهٔ حالت‌هایی باشد که در پرتاب پنج سکه، دقیقاً دوبار بار رو ظاهر شود. درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف) \(n(A)\) برابر است با تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی یک مجموعهٔ پنج عضوی.
ب) \(n(A)\) برابر است با نصف تعداد حالت‌هایی که می‌توان با ارقام \(1\) و \(2\) عدد پنج رقمیِ مضرب \(3\) نوشت.

۱۵. الف) چند مجموعهٔ \(A\) در رابطه‌های \(A\cap X=A\) و \(A\cup X=\{1,2,3\}\) صدق می‌کند؟
ب) چند مجموعهٔ \(X\) در رابطه‌های \(A\cup X=A\) و \(A\cap X=\{1,2,3\}\) صدق می‌کند؟

۱۶. برای سه مجموعهٔ دلخواه \(A\)، \(B\)، و \(C\)، درستی تساوی زیر را بررسی کنید.
\[A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C).\]

۱۷. فرض کنید $A$، $B$ و $C$ سه مجموعهٔ دلخواه باشند. رابطهٔ $(\star)$ (تساوی زیر) را در نظر بگیرید.
\[A-(B\cup C)=(A-B)\cup (A-C) \qquad (\star)\]با ذکر دلیل درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
الف) اگر $A\cap(B\cup C)=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
ب) اگر $(A\cap B)\cup(A\cap C)-(A\cap B\cap C)=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
ج) اگر $(A\cap B)-C=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
د) اگر $A=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.

۱۸. مریم یک عدد دو رقمی به‌تصادف انتخاب کرده است. احتمال اینکه حاصل‌ضرب ارقام آن عددی زوج باشد، چقدر است؟

۱۹. سی دانش‌آموز در یک مسابقهٔ ریاضی شرکت کرده‌اند. آنها باید سه مسئله را حل می‌کردند.
\(\bullet\) \(20\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(16\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(10\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(11\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(7\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(5\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(4\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
می‌خواهم بدانم چند دانش‌آموز هیچ مسئله‌ای را حل نکرده‌اند.
می‌توانید کمکم کنید؟ (خوراک مغز برای مصرف یک‌سال، صفحهٔ ۳۵، پرسش جایزه‌دار)

۲۰. به‌زودی!

۲۱. به‌زودی!

….