دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۱ کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم بسنجند.
معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.

تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.

۱. اگر $A\subseteq\mathbb{N}$، $n(A)=8$، و  $A\oplus A$ دارای \(20\) عضو زوج و \(16\) عضو فرد باشد، تعداد اعضای فرد $A$ چند تاست؟ (نماد \(\oplus\)، علامت جمع دونه‌به‌دونه است.) (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲. مجموعهٔ $A=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ را به چند طریق می‌توان به چهار زیرمجموعه‌اش افراز کرد، که شرایط زیر برقرار باشد؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)
$\bullet$ این چهار زیرمجموعه \(4\) عضوی، \(2\) عضوی، \(2\) عضوی، و \(1\) عضوی باشند.
$\bullet$ مجموع اعضای هر زیرمجموعه عددی زوج باشد.
$\bullet$ \(2\)، \(3\)، و \(4\) در یک زیرمجموعه باشند.
$\bullet$ \(6\) و \(8\) در یک زیرمجموعه نباشند.

پاسخ تشریحی

۳. در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، کدام گزینه نادرست است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)
۱) احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر احتمال \(4\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۲) احتمال \(5\) بودن مجموع دو عدد رو شده بیشتر از احتمال \(4\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۳) احتمال \(12\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر احتمال \(1\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۴) احتمال \(10\) بودن مجموع دو عدد رو شده کمتر از احتمال \(20\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.

پاسخ تشریحی

۴. در یک بازی فوتبال بین دو تیم $A$ و $B$ می‌دانیم در پایان نیمهٔ نخست تیم $A$ برنده به رختکن رفته و در این نیمه، بازی ۳ گل داشت، همچنین در نیمهٔ دوم حداکثر ۴ گل زده شده که سهم تیم $B$ حداقل نیمی از این گل‌ها بود. با چه احتمالی بازی مساوی تمام شده است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، بهمن ۹۶)

پاسخ تشریحی

۵. اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $\{b^2,a+1\}=\{9,-b^2\}$، آنگاه همهٔ مقدارهای ممکن برای $a+b$ را بیابید.

۶. اگر \(A=\{2,3,4,6,8,9\}\) و \(P=\{ab\mid a\in A,\,b\in A\}\)، آن‌وقت \(n(P)\) را بیابید.

۷. فرض کنید:\[\begin{aligned}A&=\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\\B&=\{22,33,44,55,66,77,88,99\}\\C&=\{202,303,404,505,606,707,808,909\}.\end{aligned}\] اگر \(P=\{abc\mid a\in A,\,b\in B,\, c\in C\}\)، آن‌وقت \(n(P)\) را بیابید.

۸. یازده زیرمجموعهٔ غیرمساوی از مجموعهٔ \(\{x\mid x\in\mathbb{N},\,x\leq10\}\) طوری انتخاب می‌کنیم که از هر دوتای آنها، یکی زیرمجموعهٔ دیگری باشد. اگر \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌ترتیب مجموعه‌های \(7\)، \(5\)، و \(3\) عضوی از این یازده مجموعه باشند، آن‌وقت تعداد اعضای \(A\cup(B-C)\) را تعیین کنید.

۹. چند زیرمجموعهٔ چهار عضوی از اعداد طبیعی فرد وجود دارد به‌طوری‌که حاصل‌جمع اعضای آن زیرمجموعه برابر \(24\) باشد؟

۱۰. اگر مجموعهٔ سه عضوی \(\{x,y,z\}\) زیرمجموعهٔ اعداد صحیح باشد و \(xyz=30\)، آن‌وقت چند مجموعهٔ \(\{x,y,z\}\) وجود دارد؟

۱۱. اگر \(A=\{1,2,3,4,5,10\}\)، \(B=\{5,8,9,10\}\)، و \(C=\{0,3,4,5,6,7,8\}\)، و شکل زیر نمودار وِن سه مجموعهٔ \(A\)، \(B\)، و \(C\) باشد، آن‌وقت ناحیهٔ سایه‌خورده حداکثر چند عضو دارد؟

۱۲. چهار نامه برای چهار نفر نوشته شده است. روی چهار پاکت، نام این چهار نفر را نوشته‌ایم. این چهار نامه را به‌تصادف درون چهار پاکت می‌گذاریم. چقدر احتمال دارد که هر چهار نامه در پاکت اشتباه قرار گیرند؟

۱۳. علی، حمید، و حسین، سه نفر از \(11\) نفری هستند که به‌طور تصادفی در یک صف پشت‌سرهم ایستاده‌اند. چقدر احتمال دارد که علی بین حمید و حسین باشد؟ (لزومی ندارد که این سه نفر پشت‌سرهم باشند.)

۱۴. فرض کنید مجموعهٔ \(A\) شامل همهٔ حالت‌هایی باشد که در پرتاب پنج سکه، دقیقاً دوبار بار رو ظاهر شود. درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف) \(n(A)\) برابر است با تعداد زیرمجموعه‌های دو عضوی یک مجموعهٔ پنج عضوی.
ب) \(n(A)\) برابر است با نصف تعداد حالت‌هایی که می‌توان با ارقام \(1\) و \(2\) عدد پنج رقمیِ مضرب \(3\) نوشت.

۱۵. الف) چند مجموعهٔ \(A\) در رابطه‌های \(A\cap X=A\) و \(A\cup X=\{1,2,3\}\) صدق می‌کند؟
ب) چند مجموعهٔ \(X\) در رابطه‌های \(A\cup X=A\) و \(A\cap X=\{1,2,3\}\) صدق می‌کند؟

۱۶. برای سه مجموعهٔ دلخواه \(A\)، \(B\)، و \(C\)، درستی تساوی زیر را بررسی کنید.
\[A\cap (B-C)=(A\cap B)-(A\cap C).\]

۱۷. فرض کنید $A$، $B$ و $C$ سه مجموعهٔ دلخواه باشند. رابطهٔ $(\star)$ (تساوی زیر) را در نظر بگیرید.
\[A-(B\cup C)=(A-B)\cup (A-C) \qquad (\star)\]با ذکر دلیل درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
الف) اگر $A\cap(B\cup C)=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
ب) اگر $(A\cap B)\cup(A\cap C)-(A\cap B\cap C)=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
ج) اگر $(A\cap B)-C=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.
د) اگر $A=\varnothing$، آن‌وقت رابطهٔ $(\star)$ برقرار است.

۱۸. مریم یک عدد دو رقمی به‌تصادف انتخاب کرده است. احتمال اینکه حاصل‌ضرب ارقام آن عددی زوج باشد، چقدر است؟

۱۹. سی دانش‌آموز در یک مسابقهٔ ریاضی شرکت کرده‌اند. آنها باید سه مسئله را حل می‌کردند.
\(\bullet\) \(20\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول را حل کردند.
\(\bullet\) \(16\) دانش‌آموز مسئلهٔ دوم را حل کردند.
\(\bullet\) \(10\) دانش‌آموز مسئلهٔ سوم را حل کردند.
\(\bullet\) \(11\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول و دوم را حل کردند.
\(\bullet\) \(7\) دانش‌آموز مسئلهٔ اول و سوم را حل کردند.
\(\bullet\) \(5\) دانش‌آموز مسئلهٔ دوم و سوم را حل کردند.
\(\bullet\) \(4\) دانش‌آموز هر سه مسئله را حل کردند.
می‌خواهم بدانم چند دانش‌آموز هیچ مسئله‌ای را حل نکرده‌اند.
می‌توانید کمکم کنید؟ (خوراک مغز برای مصرف یک‌سال، صفحهٔ ۲۵، پرسش جایزه‌دار)

۲۰. مجموعه‌های \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.
\[\begin{aligned}A&=\{2x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\B&=\{3x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\C&=\{5x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\end{aligned}\]
مجموعه‌ای که در نمودار ون زیر مشخص شده کدام است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۷)

۱) اعداد صحیحی که مضرب \(2\) یا \(3\) یا \(5\) هستند.
۲) اعداد صحیحی که مضرب \(2\) و \(3\) و \(5\) هستند.
۳) اعداد صحیحی که مضرب \(6\) یا \(10\) یا \(15\) هستند.
۴) اعداد صحیحی که مضرب \(6\) و \(10\) و \(15\) هستند.

پاسخ تشریحی

۲۱. خانواده‌ای سه فرزند دارد. اگر بدانیم یکی از فرزندان آنها پسر است، چقدر احتمال دارد که دو فرزند دیگر نیز پسر باشند؟ (مشابه تمرین ۹ صفحهٔ ۳۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم)

۲۲. اعضای مجموعهٔ \(\Big\{(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\times n\,\big|\,n\in\mathbb{W},n\leq5\Big\}\) را مشخص کنید.(آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۳. با نقاط مشخص شده روی شکل، مثلثی به‌دلخواه رسم‌ می‌کنیم. احتمال آنکه این دو مثلث دو شرط زیر را داشته باشد، چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)
\(\bullet\) یکی از رئوس حتماً \(A\) باشد.
\(\bullet\) دو رأس دیگر همزمان روی \(d’\) نباشند.

پاسخ تشریحی

۲۴. مجموعهٔ \(A=\{1,2,\dots,18\}\) مفروض است. چند زیرمجموعهٔ حداکثر \(5\) عضوی از \(A\) می‌توان نوشت که شامل اعضای \(1\)، \(2\)، و \(3\) باشند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، فروردین ۹۶)

پاسخ تشریحی

۲۵. با توجه به مجموعه‌های زیر، تعیین کنید که حاصل \(\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}\) را به‌دست آورید. (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
\[\begin{aligned}A&=\{3k+2\mid k\in\mathbb{N},1\leq k\leq100\}\\B&=\{5k\mid k\in\mathbb{Z},-100<k\leq100\}.\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

۲۶. چند زیرمجموعه از مجموعهٔ \(A=\{a,b,c,d,e,f\}\) می‌توان نوشت که حداقل در \(2\) عضو مشترک باشند؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)

پاسخ تشریحی

۲۷. مجموعهٔ \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) را یک «مجموعهٔ جذاب» می‌نامیم در صورتی‌که سه شرط زیر را دارا باشد: (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)
شرط اول: \(A\subseteq\mathbb{N}\)
شرط دوم: اعضای مجموعهٔ \(A\)، از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
شرط سوم: به‌ازای هر دو عضو متوالی آن مانند \(a_i\) و \(a_{i+1}\) داشته باشیم: \(\big(a_i,a_{i+1}\big)=1\).
با ذکر دلیل، مجموعه‌های جذاب را مشخص کنید:
\[\begin{aligned}&\bullet\;\big\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\end{aligned}\]

پاسخ تشریحی

۲۸. مریم ارقام \(1\) تا \(9\) را روی نُه کارت نوشته و در کیسه‌ای می‌اندازد. سپس، \(4\) کارت از آن خارج می‌کند و آنها را به‌ترتیب بیرون آمدن کنارهم قرار می‌دهد. احتمال آنکه عدد چهاررقمی به‌دست بیاید که اختلاف رقم‌های یکان و هزارگان آن \(4\) باشد، چقدر است؟ (آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد، اردیبهشت ۹۵)

پاسخ تشریحی

۲۹.