دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۳ ریاضی دهم بسنجند. معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
اگر مسئله‌ای مربوط به فصل ۳ ریاضی دهم دارید و نمی‌توانید آن را حل کنید، آن را در قسمت کامنت‌های این صفحه بنویسید.
در صورتی که کارشناسان سایت تکمیلی تشخیص دهند که مسئلهٔ شما قابلیت اضافه شدن به مسائل این صفحه را دارد، آن را با پاسخ تشریحی در همین صفحه قرار می‌دهند.
اگر \(a=\sqrt[3]{5}+1\)، حاصل عبارت \(a(a^2-3a+3)\) را بیابید.
از آنجایی‌که جایگذاری به صورت مستقیم، محاسبات را دشواری می‌کند، سعی می‌کنیم عبارت خواسته شده را تغییر دهیم:
\[\begin{aligned}&a(a^2-3a+3)\\&=a^3-3a^2+3a\\&=a^3-3a^2+3a {\color{red}\,-\,1+1}\\&=(a-1)^3+1\quad (*)\end{aligned}\]
اکنون مقدار \(a=\sqrt[3]{5}+1\) را در رابطه \((*)\) جایگذاری کنیم.
\[\begin{aligned}& ({\color{red}a}-1)^3+1\\&=\big({\color{red}\sqrt[3]{5}+1}-1\big)^3+1\\&=(\sqrt[3]{5})^3+1\\&=6.\end{aligned}\]
اگر \(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}=3\)، حاصل عبارت \(A=\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\) را بیابید.
چون \(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}\) و \(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\) مزدوج یکدیگرند، پس با ضرب طرفین دو عبارت داده شده در یکدیگر داریم:
\[\begin{aligned}& 3A=\big(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-4}\big)\big(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-4}\big)\\&\Rightarrow3A=\big(\sqrt{a+2}\big)^2-\big(\sqrt{a-4}\big)^2\\&\Rightarrow 3A=(a+2)-(a-4)\\&\Rightarrow3A=6\\&\Rightarrow A=2.\end{aligned}\]
اگر \(\frac{x^{10}}{1+x^{20}}=0.1\) ، آنگاه \(A=x^5+\frac{1}{x^5}\) چه مقادیری می‌تواند داشته باشد؟
\[\begin{aligned}&A=\frac{\sqrt x}{x+1}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{x+1}{\sqrt x}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}=\frac{x}{\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}\\[7pt]&\Rightarrow \frac{1}{A}={\sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}.\end{aligned}\]
با این تغییر، \(\frac{1}{A}=3\).
\[\begin{aligned}&\frac{x^2+1}{x}=7\\[7pt]& \Rightarrow x+\frac{1}{x}=7\\[7pt]&\Rightarrow x+\frac{1}{x}{\color{red}+2}=7{\color{red}+2}\\[7pt]&\Rightarrow (\sqrt x+\frac{1}{\sqrt x})^2=9\\[7pt]& \Rightarrow (\frac{1}{A})^2=9\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{A}=\pm3. \end{aligned}\]
با توجه به اینکه \(\frac{1}{A}>0\) بنابراین \(+3\) قابل قبول است.
بنابراین، \(A=\frac{1}{3}\).
اگر \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) باشد، حاصل \(x^3+3x\) را بیابید.
از اتحاد مکعب دو جمله‌ای داریم:
\[(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\]
می‌توانیم صورت اتحاد را با فاکتورگیری از دو جمله وسط به شکل زیر تغییر دهیم.
\[(a\pm b)^3=a^3\pm 3ab(a\pm b)\pm b^3\]
حال به کمک صورت فوق از اتحاد مکعب دو جمله‌ای، می‌توان از \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) نتیجه گرفت که \(x^3+3x=2\sqrt{3}\).
با در نظر گرفتن \(a=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\) و \(b=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) داریم:
\[\begin{aligned}& x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\\&\Rightarrow x^{\color{red} 3}=\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)^{\color{red}3} \\& \Rightarrow x^3={\color{red}(2+\sqrt{3})}-3\left({\color{blue}\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}}\right)\left({\color{blue}\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}\right)\left({\color{green}\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}}\right)-{\color{red}(2-\sqrt{3})}\\&\Rightarrow x^3={\color{red}(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3})} -3{\color{blue}\sqrt[3]{4-3}}\times{\color{green}x}\\&\Rightarrow x^3={\color{red}2\sqrt{3}}-3{\color{green}x} \\&\Rightarrow x^3+3x=2\sqrt{3}.\end{aligned}\]
اگر
\[\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{A}{x-1}\] آنگاه مقدار \(A\) را بیابید.
به کمک اتحاد مزدوج و اتحاد چاق و لاغر عبارت زیر را گویا می‌کنیم.
\[\begin{aligned}\frac{A}{x-1}&=\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\\[7pt]&=\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}\times{\color{red}\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\times{\color{green}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x})^3-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x})^2-1}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\\[7pt]&=\frac{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}}{x-1}.\end{aligned}\]
بنابراین، \(A=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}\).
اگر \[a^2+b^2+ab-a+b+1=0\] آنگاه حاصل \(\dfrac{a+2}{b+2}\) را بیابید.
ابتدا عبارت \(a^2+b^2+ab-a+b+1=0\) را تغییر می‌دهیم تا بتوانیم مقادیر \(a\) و \(b\) را بیابیم. داریم:
\[\begin{aligned}&a^2+b^2+ab-a+b+1=0\\&\Rightarrow{\color{red}2\times}(a^2+b^2+ab-a+b+1)={\color{red}2\times}0\\&\Rightarrow{\color{red}2\times}a^2+{\color{red}2\times}b^2+{\color{red}2\times}ab-{\color{red}2\times}a+{\color{red}2\times}b+{\color{red}2\times}1=0\\&\Rightarrow {\color{blue}a^2}+{\color{green}a^2}+{\color{blue}b^2}+{\color{purple}b^2}+{\color{blue}2ab}-{\color{green}2a}+{\color{purple}2b}+{\color{green}1}+{\color{purple}1}=0\\&\Rightarrow {\color{blue}(a+b)^2}+{\color{green}(a-1)^2}+{\color{purple}(b+1)^2}=0 .\end{aligned}\]
با توجه به اینکه \((a+b)^2\)، \((a-1)^2\)، و \((b+1)^2\) سه مقدار نامنفی هستند، بنابراین هرکدام باید برابر صفر باشد (درسنامهٔ مجموع مربعات را بخوانید). یعنی:
\[\begin{aligned}&{\color{blue}(a+b)^2}+{\color{green}(a-1)^2}+{\color{purple}(b+1)^2}=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&(a-1)^2=0\Rightarrow a=1\\&(b+1)^2=0\Rightarrow b=-1\\&(a+b)^2=0\Rightarrow a=-b\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
پس
\[\frac{a+2}{b+2}=\frac{1+2}{-1+2}=3.\]
اگر
\[a=\frac{4^{0.75}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+9^{0.25}\] آنگاه مقدار \(a^2+\dfrac{1}{a^2}\) را بیابید.
ابتدا نمایش رادیکالی اعداد \(4^{0.75}\) و \(9^{0.25}\) را به‌دست می‌آوریم:
\[4^{0.75}=2\sqrt{2} ,\; 9^{0.25}=\sqrt{3}.\]
\[\begin{aligned}4^{0.75}&=(2^2)^\frac{3}{4}\\&=2^{2\times\frac{3}{4}}\\&=2^\frac{3}{2}\\&=\sqrt{2^3}\\&=\sqrt{2^2\times 2}\\&=2\sqrt{2}\end{aligned}\]
و
\[\begin{aligned}9^{0.25}&=9^\frac{1}{4}\\&=(3^2)^\frac{1}{4}\\&=3^{2\times\frac{1}{4}}\\&=3^\frac{1}{2}\\&=\sqrt{3}.\end{aligned}\]
اکنون عبارت \(a\) را به ساده‌ترین صورت ممکن می‌نویسیم: \(a=1+\sqrt{2}\).
ابتدا سمت چپ تساوی را به کمک اتحاد مزدوج، گویا می‌کنیم. داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\times{\color{red}\frac{\sqrt{x}+1}{{\sqrt{x}+1}}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\times{\color{red}\frac{\sqrt{x}-1}{{\sqrt{x}-1}}}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2}{x-1}\times{\color{blue}\frac{x+1}{x+1}}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2(x+1)}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2x+2}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}\\[8pt]&=\frac{2x+3}{x^2-1}.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{ax+b}{x^2-1}\\[8pt]&\Rightarrow\frac{2x+3}{x^2-1}=\frac{ax+b}{x^2-1}\\&\Rightarrow 2x+3=ax+b\\& \Rightarrow a=2 , b=3\\& \Rightarrow ab=6. \end{aligned}\]
