مسائل سخت هندسه
هوش ET

چند توصیه

۱. ابزار حل مسائل هندسه، اصول، تعاریف، و  قضیه‌های هندسه هستند. باید ابزارهایی را که در اختیار دارید، کاملاً بشناسید و بدانید چگونه و کجا از آنها استفاده کنید.
در صفحه‌های ۴۷، ۴۸، و ۴۹ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، شانزده اصل و قضیه نوشته شده است. همهٔ مسئله های هندسهٔ کتاب‌های ریاضیات تکمیلی هشتم و نهم را می‌توان فقط با استفاده از همین اصول و قضیه‌ها حل کرد.

قضیه‌های هندسه به همراه اثبات دقیق و کامل آنها (رایگان)

۲. در اغلب مسائل سخت هندسه، رسم شکل واضح و دقیق، می‌تواند روشن‌کنندهٔ راه‌حل باشد. (اکیداً‌ توصیه‌می‌کنیم که از نرم‌افزار جئوجبرا برای ترسیم شکل‌ها استفاده کنید.)

دانلود رایگان نرم‌افزار جئوجبرا

۳. اگر می‌خواهید کمی با شیوهٔ کار بزرگان دنیای ریاضیات آشنا شوید، بعد از اینکه یک مسئلهٔ سخت را حل کردید (یا کسی آن را برایتان حل کرد)، به‌دنبال راه‌حل دیگری برای همان مسئله باشید. مریم میرزاخانی، بی‌شک یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان معاصر جهان است. متن زیر دربارهٔ او نوشته شده است.

راز موفقیت مریم، پشتکار و جدیتش در کار بود. با خودش روراست بود و می‌دانست دنبال چیست. وقتی را که بقیه صرف دودوزه‌بازی و زیرآب‌زنی می‌کردند، او صرف کار علمی‌اش می‌کرد. هر مسئله‌ای را از چند روش حل می‌کرد. در المپیاد باهم، هم‌قطار بودیم. مریم آن موقع با هیجان از اینکه فلان مسئله را از چند روش حل کرده می‌گفت و حاسدانش که خیل عظیمی از کسانی بودند که «توهم نبوغ» داشتند، مسخره‌اش می‌کردند. یک ژانر جوک ساخته بودند با مضمون اینکه مریم میرزاخانی هر مسئله را از چند روش حل کرده. مریم به این هجویات وقعی نمی‌گذاشت و مسئله‌هایش را حل می‌کرد و شد آنچه شد. آن زمان، مریم مهربان برای من «نازنین مریم» بود. بعد هم که یک پروفسور استنفورد با شهرت جهانی شد، هنوز هم به چشم من همان «نازنین مریم» بود. دختر نازکدلی که دلش نمی‌آمد دل کسی را بشکند. جایزهٔ فیلدز مریم میرزاخانی باعث شد تا جامعه، مریم میرزاخانی بیشتر از قبل بشناسد. آشنا شدن جامعه با امثال مریم میرزاخانی می‌تواند باعث علاقه‌مندی شهروندان (به‌خصوص نوجوانان) به علم و پژوهش شود.

نوشتهٔ یاسمن فرزان (عضو هیئت علمی IPM)
مجلهٔ دانستنیها، شمارهٔ ۱۸۴، مرداد ۹۶.

قضیه های هندسه
مریم میرزاخانی

۴. وقتی راه‌حلی را خواندید، همیشه سؤال زیر را از خود بپرسید و چند دقیقه‌ای دربارهٔ پاسخ آن بیندیشید.

از کجا چنین ایده‌ای به ذهن کسی که این راه‌حل را نوشته، آمده است؟!

معرفی یک کتاب

در فصل دوم کتاب «روش‌های حل مسئله‌های مقدماتی هندسه»، توضیحات مفصلی دربارهٔ چگونگی دستیابی به راه‌حل یک مسئله، نوشته شده است. برای دانلود رایگان فصل دوم این کتاب، اینجا را کلیک کنید. این کتاب یکی از منابع کتاب ریاضیات تکمیلی نهم است (مورد [۲] صفحهٔ ۱۴۷ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم را ببینید). خواندن این کتاب برای دانش‌آموزان علاقه‌مند به هندسه و معلمان ریاضی بسیار مفید است.

مسائل سخت هندسه
جلد کتاب روش‌های حل مسئله‌های مقدماتی هندسه

حل مسائل سخت هندسه کتاب ریاضی تکمیلی نهم

در بخش «امتداد دادن یک ضلع، رسم خط موازی، و …» از فصل سوم کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، چندین مسئلهٔ نسبتاً سخت آمده است. در ادامه، توضیحاتی دربارهٔ ارتباط این مسائل با یکدیگر داده شده است. همچنین، برخی از این مسائل از چند روش متفاوت حل شده‌اند.

بعد از خواندن راه‌حل‌های زیر، با شجاعت بیشتر به مسئله‌ها نگاه کنید و تلاش کنید که راه‌حل‌های دیگری برای آنها بسازید. این تلاش باعث می‌شود که کم‌کم زبان مسئله‌ها را متوجه شوید! مسئله‌ها خودشان راه‌حل را می‌گویند! پس اگر با زبان مسئله‌ها آشنا شوید، می‌توانید به‌سادگی آنها را حل کنید. مانند کسانی که زبان هندوانه‌ها و خربزه‌ها را بلدند و اغلب انتخاب‌های خوبی دارند!!

مسائل سخت هندسه


مسئلهٔ ۱ می‌خواهد که برابری دو پاره‌خط را ثابت کنیم. کتاب ریاضیات تکمیلی نهم برای مسئلهٔ ۱ دو راه‌حل دارد. در راه‌حل‌ها اول (راه‌حل مصطفی) از امتداد دادن یک ضلع به‌اندازهٔ ضلع دیگر استفاده شده است، و در راه‌حل دوم (راه‌حل فرزانه) از رسم خطی موازی با یکی از ضلع‌های مثلث. 
در هر دو راه‌حل، مثلث‌هایی همنهشت ساخته شده‌اند که یکی از ضلع‌های آنها همان پاره‌خط‌هایی هستند که باید برابری‌‌شان را ثابت کنیم. 

۱. مثلث $ABC$ به رأس $A$ متساوی‌الساقین است. نقطهٔ دلخواه $D$ را روی ضلع $AB$ قرار دهید. ضلع $AC$ را از طرف $C$ به‌اندازهٔ $BD$ امتداد دهید و نقطهٔ حاصل را $E$ بنامید. اگر محل برخورد $BC$ و $DE$، نقطهٔ $F$ باشد، آنگاه ثابت کنید اندازهٔ دو پاره‌خط $DF$ و $EF$ برابر است.

راه‌حل مصطفی

راه‌حل فرزانه

سه راه‌حل دیگر

در راه‌حل مسئلهٔ ۲، عکس مسئلهٔ ۱ ثابت می‌شود. راه‌حل‌های مسئلهٔ ۲ مشابه راه‌حل‌های مسئلهٔ ۱ هستند. 

۲. در مثلث $ABC$ از وسط ضلع $BC$ خطی بر نیم‌ساز زاویهٔ $A$ عمود شده است که اضلاع (یا امتداد اضلاع) $AB$ و $AC$ را به‌ترتیب در نقاط $E$ و $F$ قطع کرده است. ثابت کنید $BE=CF$.

چهارتا راه‌حل


در هریک از سه‌ مسئلهٔ زیر، یکی از شرط‌های حالت‌های همنهشتی دو مثلث حذف شده و به‌جای آن شرط دیگری اضافه شده است. (شرط دیگر، برابری مجموع دو یا چند ضلع است.)

در مسئلهٔ ۳، اگر یکی از اضلاع زاویهٔ حاده مثلث اول با ضلع متناظرش در مثلث دیگر برابر بود، حالت زض‌ز یا حالت ززض را داشتیم. اما در این مسئله، مجموع دو ضلع زاویهٔ حاده با مجموع اضلاع متناظر در مثلث دیگر برابر است. 

در مسئلهٔ ۴ می‌دانیم یک زاویه و یکی از اضلاع آن از مثلث اول با اجزاء نظیر در مثلث دوم برابر است. اگر ضلع دیگر این زاویه‌ها نیز برابر بودند، حالت ض‌ز‌ض را داشتیم. اما در این مسئله، مجموع دو ضلع از مثلث اول با مجموع دو ضلع در مثلث دیگر برابر هستند. 

در مسئلهٔ ۵، اگر یک ضلع از یک مثلث با ضلع متناظرش در مثلث دیگر برابر بود، آن‌وقت حالت زض‌ز یا حالت ززض را داشتیم. اما در این مسئله، تساوی هیچ ضلعی داده نشده است و فقط می‌دانیم که دو مثلث، محیط‌های برابر دارند. 

در هر سه راه‌حل، پاره‌خط‌هایی می‌سازیم که اندازهٔ آن مساوی با حاصل‌جمع‌های برابر داده شده باشد. سؤال اساسی این است که چگونه و با امتداد دادن کدام ضلع‌ها چنین پاره‌خط‌هایی بسازیم. برای یافتن پاسخ این سؤال اساسی، به پرسش‌هایی که در انتهای هر راه‌حل آمده است پاسخ دهید. 

۳. ثابت کنید اگر یک زاویهٔ حاده و مجموع اضلاع این زاویه از یک مثلث قائم‌الزاویه با یک زاویهٔ حاده و مجموع اضلاع این زاویه از مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگر برابر باشند، آن دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

راه‌حل

۴. فرض کنید یک زاویه و یکی از ضلع‌های آن زاویه‌ از یک مثلث با اجزاء نظیر از مثلث دیگر برابر باشند. ثابت کنید اگر مجموع دو ضلع دیگر این دو مثلث باهم برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

راه‌حل

۵. اگر دو زاویه و محیط یک مثلث با دو زاویه و محیط مثلثی دیگر برابر باشند، ثابت کنید این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

راه‌حل


مسئلهٔ ۶ می‌خواهد برابری دو پاره‌خط را ثابت کنیم. در دوتا از راه‌حل‌های ارائه شده، مثلث‌هایی همنهشت ساخته شده‌اند که برابری یکی از ضلع‌های آنها منجر به اثبات برابری آن دو پاره‌خط می‌شود (مانند ایده‌های حل مسائل ۱ و ۲). در راه‌حل سوم از قضیهٔ مثلث 90، 60، 30 استفاده شده است. این قضیه جزء مباحث کتاب ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم نیست؛ اما برخی از معلمان این قضیه را در سال نهم مطرح می‌کنند. (برای اثبات قضیهٔ 90، 60، 30 فقط به همنهشتی مثلث‌ها و خواص مثلث متساوی‌الساقین نیاز داریم.) 

۶. نقطهٔ $M$ روی ضلع $AC$ از مثلث متساوی‌الاضلاع $ABC$ قرار دارد. نقطهٔ $N$ را روی امتداد $BC$ (از طرف $C$) چنان انتخاب می‌کنیم که $BM=NM$. ثابت کنید $AM=CN$.

سه‌تا راه‌حل


تمرین ۲۰ صفحهٔ ۱۰۱ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، تمرین ۱۵ صفحهٔ ۵۹ و تمرین ۳ صفحهٔ ۶۱ کتاب ریاضیات تکمیلی نهم، و همچنین سؤال ۷۳ آزمون پیشرفت تحصیلی بهمن ۹۶ سمپاد، مشابه مسئلهٔ ۷ هستند.

مسئلهٔ ۷ می‌خواهد ثابت کنیم که مجموع دو پاره‌خط با پاره‌خطی دیگر برابر است.
در راه‌حل‌ اول، یکی از پاره‌خط‌های کوچک را به اندازهٔ دیگری امتداد داده‌ایم تا پاره‌خط جدیدی ساخته شود. سپس، دو مثلث هم‌نهشت ساخته‌ایم و از همنهشتی آنها نتیجه گرفته‌ایم که پاره‌خط جدید و پاره‌خط بزرگ برابرند.
در راه‌حل دوم، به اندازهٔ یکی از پاره‌خط‌های کوچک، روی پاره‌خط بزرگ جدا کرده‌ایم. سپس ثابت کرده‌ایم که قسمت باقی‌مانده از پاره‌خط بزرگ با پاره‌خط کوچک دیگر برابر است.
به‌طور خلاصه، از دو ایده استفاده کرده‌ایم:
۱. به‌هم چسباندن پاره‌خط‌های کوچک
۲. تقسیم پاره‌خط بزرگ 

۷. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ دایره‌ای را به سه کمان برابر تقسیم کرده‌اند و $M$ نقطه‌ای دلخواه روی کمان $AC$ است. ثابت کنید وتر $MB$ با مجموع وترهای $MA$ و $MC$ برابر است.

دوتا راه‌حل


مسئله‌های ۸ و ۹ نیز مانند مسئلهٔ ۷ هستند. هر دو می‌خواهند ثابت کنیم که مجموع دو پاره‌خط با پاره‌خطی دیگر برابر است.

در راه‌حل مسئلهٔ ۸ از ایدهٔ به‌هم چسباندن دو پاره‌خط کوچک، و در راه‌حل مسئلهٔ ۹ از ایدهٔ تقسیم پاره‌خط بزرگ استفاده کرده‌ایم. سعی کنید راه‌حل‌های دیگری نیز برای مسئله‌های ۸ و ۹ بسازید. 

۸. در مربع $ABCD$ نقطهٔ $E$ روی ضلع $CD$ قرار دارد. اگر $F$ روی ضلع $BC$ چنان قرار داشته باشد که $AF$ نیم‌ساز زاویهٔ $BAE$ شود، آنگاه ثابت کنید $BF+DE=AE$.

راه‌حل

۹. در مثلث $ABC$ زاویهٔ $C$ قائمه است. روی اضلاع $AC$ و $BC$ مربع‌های $ACMN$ و $BCPQ$ ساخته شده است. اگر از $N$ و $Q$ به‌ترتیب عمودهای $NH$ و $QK$ بر امتداد $AB$ رسم شوند، آنگاه ثابت کنید $NH+QK=AB$.

راه‌حل


کتاب ریاضیات تکمیلی نهم برای اینکه اهمیت حل کردن یک مسئله از چندین راه‌حل را نشان دهد و تأکید کند که حل یک مسئله از چندین راه‌حل (واقعاً) متفاوت کار چندان پیچیده‌ای نیست، برای مسئلهٔ ۱۰ چهارتا راه‌حل (واقعاً) متفاوت ارائه کرده است. حتماً این راه‌حل‌ها را بخوانید تا بتوانید با ایده‌ها و طرز تفکرهای متفاوت آشنا شوید. 

۱۰. در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$ و $CD$برابرند. اگر $A\widehat{B}C=70^\circ$ و $B\widehat{C}D=170^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویهٔ $B\widehat{A}D$ چند درجه است؟

راه‌حل ارغوان

راه‌حل سمن

راه‌حل نرگس 

راه‌حل شقایق

راه‌حل تکمیلی 

تفاوت مسئلهٔ‌ ۱۰ و ۱۱ فقط در اندازهٔ زاویه‌های \(ABC\) و \(BCD\) است. آیا می‌توان هریک از راه‌حل‌های مسئلهٔ‌ ۱۰ را برای مسئلهٔ ۱۱ نیز به‌کار برد؟

۱۱. در چهارضلعی $ABCD$ سه ضلع $AB$، $BC$ و $CD$ برابرند. اگر $A\widehat{B}C=150^\circ$ و $B\widehat{C}D=90^\circ$، آنگاه اندازهٔ زاویه‌های $BAD$ و $CDA$ چقدر است؟

دوتا راه‌حل

می‌توان با استفاده مسائل ۱۰ و ۱۱ و ایدهٔ راه‌حل تکمیلی، مسئلهٔ زیر را طرح کرد:

در چهارضلعی \(ABCD\) سه‌ ضلع \(AB\)، \(BC\)، و \(CD\) برابرند. اگر مجموع زاویه‌های \(B\) و \(C\) برابر \(240\) درجه باشد، آن‌وقت ثابت کنید که نیمساز زاویه‌های \(B\) و \(C\) یکدیگر را روی ضلع \(AD\) قطع می‌کنند. 


۱۲. در مثلث $ABC$،‌ $\widehat{B}=120^\circ$ و نیم‌ساز‌های زاویه‌های $A$ و $C$ یکدیگر را در نقطهٔ $H$ قطع کرده‌اند. اگر روی امتداد ضلع‌های $AB$ و $‌BC$ (از طرف $B$)، به‌ترتیب نقطه‌های $P$ و $Q$ را چنان انتخاب کنیم که سه پاره‌خط $AP$، $CQ$ و $AC$ برابر شوند، آنگاه ثابت کنید زاویهٔ $PHQ$ قائمه است.

راه‌حل


۱۳. سه نقطهٔ $A$، $B$ و $C$ روی یک دایره چنان قرار دارند که سه زاویهٔ مثلث $ABC$ حاده هستند. اگر دو ارتفاع $AH$ و $BG$ یکدیگر را در نقطهٔ $D$ قطع کنند و امتداد $AH$ با دایره در نقطهٔ $M$ برخورد کند، آنگاه ثابت کنید پاره‌خط‌های $DH$ و $MH$ باهم برابرند.

راه‌حل


تحقیقات نشان داده‌اند کسانی که فقط به مسائل سخت و پیچیده می‌اندیشند، پس از مدتی نمی‌توانند مسائل ساده را حل کنند! 

۱۴. دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های $A$ و $B$ قطع کرده‌اند. اگر $AC$ قطری از دایرهٔ اول و $AD$ قطری از دایرهٔ دوم باشد، آنگاه ثابت کنید نقطه‌های $B$، $C$ و $D$ روی یک خط راست قرار دارند.

راه‌حل


مسئلهٔ ۱۵ مشابه مسئلهٔ ۷ است. یک‌بار دیگر، توضیحات مسئلهٔ‌ ۷ را بخوانید و سعی کنید که برای مسئلهٔ ۱۵ چند راه‌حل بسازید. 

۱۵. در مثلث $ABC$، $\widehat{A}=120^\circ$. روی نیم‌ساز زاویهٔ $A$ نقطهٔ $D$ طوری انتخاب شده است که $AD=AB+AC$. اندازهٔ زاویه‌های مثلث $BDC$ چقدر هستند؟

راه‌حل


۱۶. در مثلث $ABC$، $AB=AC$ و $\widehat{A}=80^\circ$. نقطهٔ $D$ درون مثلث $ABC$ چنان قرار دارد که $D\widehat{B}C=10^\circ$ و $D\widehat{C}B=30^\circ$. ثابت کنید مثلث $ADB$ متساوی‌الساقین است.

راه‌حل


۱۷. دو خط عمود برهم ضلع‌های مربع $ABCD$ را به‌ترتیب در نقطه‌های $M$، $N$، $P$ و $Q$ قطع کرده‌اند. ثابت کنید دو پاره‌خط $MP$ و $QN$ برابرند.

راه‌حل


 

درسنامه‌های ریاضی

2
دیدگاه بگذارید

2 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
  Subscribe  
Notify of
علی نوروزی

مرسی

A_H_B_R

دستتون درد نکنه