مسابقه ریاضی

۴۱. مجموعه‌های \(A\)، \(B\)، و \(C\) به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.
\[\begin{aligned}A&=\{2x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\B&=\{3x\mid x\in\mathbb{Z}\}\\C&=\{5x\mid x\in\mathbb{Z}\}.\end{aligned}\]
مجموعه‌ای که در نمودار ون زیر مشخص شده کدام است؟

۱) اعداد صحیحی که مضرب \(2\) یا \(3\) یا \(5\) هستند.
۲) اعداد صحیحی که مضرب \(2\) و \(3\) و \(5\) هستند.
۳) اعداد صحیحی که مضرب \(6\) یا \(10\) یا \(15\) هستند.
۴) اعداد صحیحی که مضرب \(6\) و \(10\) و \(15\) هستند.

پاسخ تشریحی


۴۲. در یک بازی فوتبال بین دو تیم $A$ و $B$ می‌دانیم در پایان نیمهٔ نخست تیم $A$ برنده به رختکن رفته و در این نیمه، بازی ۳ گل داشت، همچنین در نیمهٔ دوم حداکثر ۴ گل زده شده که سهم تیم $B$ حداقل نیمی از این گل‌ها بود. با چه احتمالی بازی مساوی تمام شده است؟
۱) $\frac{1}{3}$
۲) $\frac{1}{4}$
۳) $\frac{1}{6}$
۴) $\frac{1}{8}$

پاسخ تشریحی


۴۳. در آزمایش ریختن دو تاس مشابه، کدام گزینه نادرست است؟
۱) احتمال \(4\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر احتمال \(4\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۲) احتمال \(5\) بودن مجموع دو عدد رو شده بیشتر از احتمال \(4\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۳) احتمال \(12\) بودن مجموع دو عدد رو شده برابر احتمال \(1\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.
۴) احتمال \(10\) بودن مجموع دو عدد رو شده کمتر از احتمال \(20\) بودن حاصل‌ضرب دو عدد رو شده است.

پاسخ تشریحی


۴۴. دو دایره یکدیگر را در نقطه‌های \(A\) و \(B\) قطع کرده‌اند. اگر \(AC\) قطری از دایرهٔ اول و \(AD\) قطری از دایرهٔ دوم باشد، کدام گزینه صحیح است؟
۱) مثلث \(BCD\) متساوی‌الاضلاع است.
۲) مثلث \(BCD\) متساوی‌الساقین است.
۳) مثلث \(BCD\) قائم‌الزاویه است.
۴) نقاط \(B\)، \(C\)، و \(D\) مثلث تشکیل نمی‌دهند.

پاسخ تشریحی


۴۵. کدام گزینه همواره صحیح است؟‌
۱) اگر در نمایش اعشاری عدد \(a\)، همهٔ اعداد طبیعی دیده شوند، \(a\) حتماً گنگ است.
۲) اگر \(a\) گنگ باشد، در نمایش اعشاری آن تمام اعداد طبیعی دیده می‌شوند.
۳) اگر نمایش اعشاری عدد \(a\) فقط از صفر و یک تشکیل شده باشد، \(a\) حتماً گنگ است.
۴) اگر نمایش اعشاری عدد \(a\) فقط از یک و \(9\) تشکیل شده باشد، \(a\) حتماً گویا است.

پاسخ تشریحی


۴۶. چندتا از تساوی‌های زیر اتحاد هستند؟
\[\begin{aligned}&a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)\\&(a-1)(a^2-2)=a^3-3a+2\\&x^4+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\end{aligned}\]
۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی


۴۷. فرض کنید \(p\) و \(q\) عددهایی حقیقی هستند و \(x^2+px+q\) تجزیه نمی‌شود. کدام چندجمله‌ای تجزیه نمی‌شود؟
۱) \(x^2+px-q\)
۲)‌ \(x^2-px+q\)
۳) \(x^4+px^2+q\)
۴) \(x^4-px^2-q\)

پاسخ تشریحی


۴۸. می‌دانیم \(x^2+2\sqrt{2}\,x+k\) را می‌توان تجزیه کرد. بیشترین مقدار \(k\) کدام است؟
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی


۴۹. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) است و \(P(7)=6\)، \(P(8)=7\)،‌ \(P(9)=8\)، و \(P(10)=10\). مقدار \(P(11)\) کدام است؟
۱) \(11\)
۲) \(12\)
۳) \(13\)
۴) \(14\)

پاسخ تشریحی


۵۰. فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای درجهٔ \(3\) با ضرایب صحیح است. کدام گزینه ممکن است صحیح باشد؟
۱) \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۲) \(1-\sqrt{2}\) و \(2-\sqrt{3}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۳) \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.
۴) \(\sqrt{6}\) و \(5\) دو ریشهٔ \(P(x)\) هستند.

پاسخ تشریحی


۵۱. فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) عددهایی حقیقی و غیر صفر هستند و \(a<b\) و \(c<d\). چندتا از عبارت‌های زیر حتماً درست هستند؟
\[\begin{aligned}&a+c < b+d\\&a\times c < b\times d\\&a-c < b-d\\&a\div c < b\div d.\end{aligned}\]
۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی


۵۲. فرض کنید \(P(x)\) و \(Q(x)\) چندجمله‌ای هستند و \(P(x)<Q(x)\) یک نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است. چندتا از عبارت‌های زیر همواره درست هستند؟
\(\bullet\) درجهٔ \(P\) از درجهٔ \(Q\) کمتر است.
\(\bullet\) درجهٔ \(P\) با درجهٔ \(Q\) برابر است.
\(\bullet\) \(Q(x) < P(x)\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.
\(\bullet\) \(\big(P(x)\big)^2 <\big(Q(x)\big)^2\) نامعادلهٔ یک‌مجهولی درجهٔ اول است.
۱) یکی
۲)‌ دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی


\(\bullet\) در دو سؤال ۵۳ و ۵۴، فرض کنید \(P(x)\)، \(Q(x)\)، \(S(x)\)، و \(T(x)\) چندجمله‌ای هستند و
\[\begin{aligned}A&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x) < Q(x)\}\\B&=\{x\in\mathbb{R}\mid S(x) < T(x)\}\\C&=\{x\in\mathbb{R}\mid P(x)+S(x) < Q(x)+T(x)\}.\end{aligned}\]

۵۳. چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) حتماً زیرمجموعهٔ \(C\) هستند؟
۱) یکی
۲)‌ دوتا
۳) سه‌تا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی


۵۴. \(C\) حتماً زیرمجموعهٔ چندتا از مجموعه‌های \(A\cap B\)، \(A\)، \(B\)، و \(A\cup B\) است؟
۱) یکی
۲) دوتا
۳) چهارتا
۴) هیچی

پاسخ تشریحی


۵۵. محیط مثلث محدود به محور طول‌ها، محور عرض‌ها، و خط به معادلهٔ \(4x-3y=1\) کدام است؟
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)
۴) \(12\)

پاسخ تشریحی


۵۶. خط به معادلهٔ \(2x+3y=6\) را نسبت به خط \(y=2\) قرینه کرده‌ایم. معادلهٔ خط به‌دست آمده کدام است؟
۱) \(2x-3y=6\)
۲) \(3x-2y=6\)
۳) \(-2x+3y=6\)
۴) \(3x+2y=6\)

پاسخ تشریحی


۵۷. چند هشت‌ضعلی منتظم با محیط‌های متمایز وجود دارند که سه‌تا از ضلع‌هایشان روی خط‌های \(y=6\)، \(y=x+2\)، و \(x=2\) قرار دارند؟
۱) یکی
۲) دوتا
۳) سه‌تا
۴) چهارتا

پاسخ تشریحی


۵۸. مجموعهٔ‌ همهٔ نقاط \(\Big[{x\atop y}\Big]\) که \(x^2+y^2+6x-2y+10=0\)، در صفحهٔ مختصات چه شکلی را نشان می‌دهد؟
۱) یک نقطه
۲) یک خط
۳) دو خط متقاطع
۴) دایره

پاسخ تشریحی


۵۹. مجموعهٔ‌ همهٔ نقاط \(\Big[{x\atop y}\Big]\) که \(x^2+y^2-6x+2y+9=0\)، در صفحهٔ مختصات چه شکلی را نشان می‌دهد؟
۱) یک نقطه
۲) یک خط
۳) دو خط متقاطع
۴) دایره

پاسخ تشریحی


۶۰. مجموعهٔ‌ همهٔ نقاط \(\Big[{x\atop y}\Big]\) که \(x^2-y^2+6x+2y+8=0\)، در صفحهٔ مختصات چه شکلی را نشان می‌دهد؟
۱) یک نقطه
۲) یک خط
۳) دو خط متقاطع
۴) دایره

پاسخ تشریحی


 

 

مسابقه ریاضی

دیدگاه بگذارید

avatar
  Subscribe  
Notify of