۱۶. با توجه به مجموعه‌های زیر، تعیین کنید که حاصل \(\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}\) کدام است؟
\[\begin{aligned}A&=\{3k+2\mid k\in\mathbb{N},1\leq k\leq100\}\\B&=\{5k\mid k\in\mathbb{Z},-100<k\leq100\}.\end{aligned}\]
۱) \(\frac{100}{201}\)
۲) \(\frac{1}{10}\)
۳) \(\frac{20}{201}\)
۴) \(\frac{5}{101}\)

پاسخ تشریحی


۱۷. چندتا از گزاره‌های زیر درست است؟
\(\bullet\) هر عدد اعشاری غیر مختوم، یک عدد گنگ است.
\(\bullet\) حاصل‌جمع دو عدد گنگ مثبت، ممکن است گنگ نباشد.
\(\bullet\) مساحت مستطیلی به ابعاد \(\sqrt{a}\) و \(\sqrt{b}\)، همواره عددی اصم است.
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) صفر

پاسخ تشریحی


۱۸. چند زیرمجموعه از مجموعهٔ \(A=\{a,b,c,d,e,f\}\) می‌توان نوشت که حداقل در \(2\) عضو مشترک باشند؟
۱) \(24\)
۲) \(23\)
۳) \(22\)
۴) \(21\)

پاسخ تشریحی


۱۹. تفاضل صورت و مخرج کسر متعارفی مولد \(1.2\overline{3}\)، حتماً مضرب کدام‌یک از اعداد زیر است؟
۱) \(7\)
۲) \(2\)
۳) \(5\)
۴) \(9\)

پاسخ تشریحی


۲۰. اگر نامساوی‌های زیر معادل یکدیگر باشند، مقدار \(A+B\) چیست؟
\[\big|2x-3\big| < 1,\; A < 5x+4 < B\]
۱) \(14\)
۲) \(8\)
۳) \(23\)
۴) \(6\)

پاسخ تشریحی


۲۱. مجموعهٔ \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) را یک «مجموعهٔ جذاب» می‌نامیم در صورتی‌که سه شرط زیر را دارا باشد:
شرط اول: \(A\subseteq\mathbb{N}\)
شرط دوم: اعضای مجموعهٔ \(A\)، از کوچک به بزرگ مرتب شده باشد.
شرط سوم: به‌ازای هر دو عضو متوالی آن مانند \(a_i\) و \(a_{i+1}\) داشته باشیم: \(\big(a_i,a_{i+1}\big)=1\).
چندتا از مجموعه‌های زیر جذاب هستند؟
\[\begin{aligned}&\bullet\;\big\{n^2\mid n\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\big\{x\in\mathbb{N}\mid\frac{189}{x}\in\mathbb{N}\big\}\\&\bullet\;\{2k-7\mid k\in\mathbb{N},10\leq k\leq90\}\end{aligned}\]
۱) \(3\)
۲) \(2\)
۳) \(1\)
۴) صفر

پاسخ تشریحی


۲۲. اگر \(A=\Big[{m\atop n}\Big]\) محل برخورد دو خط \(d_1:y=-3x-2\) و \(d_2:\frac{y}{4}-2=\frac{x}{2}\) و \(O\) مبدأ مختصات باشد، کدام گزینه برابر است با محیط مثلث \(OAB\) که در آن \(B=\Big[{0\atop n}\Big]\)؟
۱) \(4+2\sqrt{5}\)
۲) \(4\sqrt{5}\)
۳) \(2+2\sqrt{5}\)
۴) \(6+2\sqrt{5}\)

پاسخ تشریحی


۲۳. چند عدد صحیح می‌توان به‌جای \(m\) در نابرابری زیر قرار داد؟
\[0.3\times10^{-4} < 2.7\times10^m < 5\times10^{-1}\]
۱) \(1\)
۲) \(2\)
۳) \(3\)
۴) \(4\)

پاسخ تشریحی


۲۴. قرینهٔ معکوس عبارت \(\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{147}+\sqrt{48}}{-3\sqrt{3}}\) چیست؟
۱) \(-3^{-1}\)
۲) \(-3\)
۳) \(-\sqrt{3}\)
۴) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

پاسخ تشریحی


۲۵. خط \(d\) از نقطهٔ \(M=\Big[{-3\atop4}\Big]\) می‌گذرد و محور عرض‌ها را در نقطهٔ \(-1\) قطع می‌کند. کدام‌یک از خط‌های زیر با خط \(d\) موازی است؟
۱) \(3y=-5x+6\)
۲) \(y=3x-1\)
۳) \(y=\frac{3}{5}x-1\)
۴) \(3x-5y=1\)

پاسخ تشریحی


۲۶. کدام دستگاه بی‌شمار جواب دارد؟

۱) \(\left\{\begin{aligned}&2x-7=y\\&3y-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}x\end{aligned}\right.\)

۲) \(\left\{\begin{aligned}&5-2y=3x\\&4y+6x=10\end{aligned}\right.\)

۳) \(\left\{\begin{aligned}&x-2y=4\\&-\frac{1}{3}y=\frac{-1}{6}x+\frac{2}{5}\end{aligned}\right.\)

۴) \(\left\{\begin{aligned}&\frac{y}{2}+3x=5\\&2y=3-6x\end{aligned}\right.\)

پاسخ تشریحی


۲۷. حاصل عبارت \(2\Big(\sqrt{x^2}+\sqrt{(2-x)^2}\Big)+x^2\) به‌ازای \(x=2-\sqrt{5}\) کدام است؟
۱)‌ \(7-2\sqrt{5}\)
۲) صفر
۳)‌ \(-2\sqrt{5}+9\)
۴)‌ \(5\)

پاسخ تشریحی


۲۸. اگر \(m\ne3n\)، آن‌وقت مقدار \(x\) در معادلهٔ زیر چیست؟
\[m(x+2)-3nx-6n=0.\]
۱) \(+2\)
۲)‌ \(-2\)
۳) \(+1\)
۴)‌ \(-1\)

پاسخ تشریحی


۲۹. اگر داشته باشیم \(2\sqrt[3]{A}=\dfrac{2}{3}\)، مقدار \(3\sqrt{A}\) کدام است؟‌
۱)‌ \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
۲) \(\frac{\sqrt{3}}{9}\)
۳)‌ \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
۴)‌ \(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)

پاسخ تشریحی


۳۰. محیط مستطیلی \(36\) متر است. اگر قطر آن را \(d\) بنامیم، مساحت مستطیل برابر است با:
۱)‌ \(324-d^2\)
۲) \(36-\sqrt{d}\)
۳) \(324-2\sqrt{d}\)
۴)‌ \(162-\frac{d^2}{2}\)

پاسخ تشریحی


۳۱. درجهٔ باقی‌ماندهٔ تقسیم \(2a^2-b^2a+2ab-b^3-3\) بر \(a+b\) نسبت به \(a\) چیست؟
۱)‌ \(1\)
۲) صفر
۳) \(2\)
۴) \(3\)

پاسخ تشریحی


۳۲. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک سه عبارت \(x^2-4y^2\)، \(x^2+4xy+4y^2\)،‌ و \(x^2-xy-6y^2\) کدام است؟
۱)‌ \(x-2y\)
۲) \(x^2\)
۳) \(x+2y\)
۴) \(y^2\)

پاسخ تشریحی


۳۳. در شکل زیر، \(MN\parallel BC\) و \(\widehat{A}=90^\circ\).

طول‌های \(MN\)،‌ \(BM\)، و \(BN\) به‌ترتیب عبارتند از:
۱) \(5\)،‌ \(6\)، و \(\sqrt{97}\)
۲)‌ \(5\)، \(6\)، و \(\sqrt{153}\)
۳) \(10\)، \(3\)، و \(\sqrt{97}\)
۴) \(10\)، \(9\)، و \(\sqrt{153}\)

پاسخ تشریحی


۳۴. مریم ارقام \(1\) تا \(9\) را روی نُه کارت نوشته و در کیسه‌ای می‌اندازد. سپس، \(4\) کارت از آن خارج می‌کند و آنها را به‌ترتیب بیرون آمدن کنارهم قرار می‌دهد. احتمال آنکه عدد چهاررقمی به‌دست بیاید که اختلاف رقم‌های یکان و هزارگان آن \(4\) باشد، چقدر است؟
۱) \(\frac{5}{18}\)
۲) \(\frac{5}{36}\)
۳) \(\frac{5}{72}\)
۴) \(\frac{5}{27}\)

پاسخ تشریحی


۳۵. به‌ازای کدام محدوده برای \(x\)، رابطهٔ زیر تعریف نشده نخواهد بود؟
\[\frac{1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{x^2-4}{x}}\]
۱) \(x=0,\;x\ne2\)
۲) \(x=0,\;x\ne-2\)
۳) \(\mathbb{R}-\{-2 < x < 2\}\)
۴) \(x < -3\)

پاسخ تشریحی


 

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات