استقراء قوی، استقراء قهقرایی، استقراء روی اعداد صحیح

ملاحظاتی دربارهٔ تعریف بازگشتی دنباله‌ها و آرایه‌ها

تعریف بازگشتی آرایه‌ها

حسابان متناهی (ویدئوی اول)

حسابان متناهی (ویدئوی دوم)

تعریف بازگشتی دنباله‌ها

خاصیت یا اصل خوش‌ترتیبی

تمرین‌های هفتهٔ هفتم

۱. رابطه زیر را با استقرا ثابت کنید.
\[\big(1+x\big)\big(1+x^2\big)\dots\big(1+x^{2^n}\big)=1+x+\dots+x^{2^{n+1}}-1\]

۲. ثابت کنید اگر \(2\cos\varphi=x+\frac{1}{x}\)، آنگاه به‌ازای هر عدد صحیح مثبت \(n\)، \(2\cos n\varphi=x^n+\frac{1}{n}\).

۳. دنبالهٔ \(\big\{x_n\big\}_{n\geq0}\) از اعداد صحیح، با شرط اولیه \(x_0=2\) و رابطه بازگشتی
\[x_n=x_{n-1}^2-x_{n-1}+1\] که به‌ازای \(n\geq1\) برقرار است، تعریف شده است. ثابت کنید به‌ازای هر دو مقدار متمایز \(m\) و \(n\)، مقادیر \(x_m\) و \(x_n\) نسبت به‌هم اول هستند.

۴. دنبالهٔ کنوث، با رابطه بازگشتی زیر تعریف می‌شود:
\[\left\{\begin{aligned}&k_0=1\\[7pt]&k_{n+1}=1+\min\big(2k_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor},3k_{\lfloor\frac{n}{3}\rfloor}\big);\quad n\geq0\end{aligned}\right.\]ثابت کنید به ازای هر \(n\geq0\)، \(k_n\geq n\).

۵. ثابت کنید برای تمام اعداد صحیح \(n\geq0\)، \(10|(n^5-n)\).

کتاب هوش et

ریاضی تکمیلی

مسئلهٔ هفتهٔ بیست‌وششم

مسئلهٔ هشت وزیر. چگونه \(8\) وزیر را در یک صفحهٔ شطرنج قرار دهیم به‌ طوری‌که هیچ‌کدام دیگری را تهدید نکند.

هشت وزیر

ارسال پاسخمسائل بیشتر

 

ویدئوی هفته

دانلود مقالهٔ کانویویدئوهای بیشتر

 

کتاب هوش فرازمینی et

0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات