قبل از اینکه راه‌حل را ببینید، خودتان مسئله را حل کنید! پس از وارد کردن جوابتان در کادر زیر، می‌توانید ببینید که بقیهٔ کاربران تکمیلی به این مسئله چگونه پاسخ داده‌اند.
Loading ...کلید هر لامپ به تعداد مجموع مقسوم‌علیه‌هایش فشار داده میشود. برای مثال، کلید لامپ \(4\) را \(1\)بار دیوانهٔ اول، \(2\)بار دیوانهٔ دوم، و \(4\)بار دیوانهٔ چهارم فشار می‌دهد. بنابراین، تعداد دفعاتی که کلید لامپ \(4\) فشار داده میشود برابر است با:\[1+2+4=7.\] پس برای اینکه شمارهٔ لامپهای روشن را بیابیم، باید اعداد کوچک‌تر یا مساوی \(100\) را مشخص کنیم که مجموع مقسوم‌علیه‌های هریک از آنها عددی فرد باشد.
مجموع مقسوم‌علیه‌های یک عدد وقتی فرد است که تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد آن عدد، فرد باشد.
تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد عدد \(18\)، فرد است. زیرا مقسوم‌علیه‌های \(18\) عبارتند از
\[{\color{red}1},2,{\color{red}3},6,{\color{red}9},18.\]
پس \(18\)، سه‌تا مقسوم‌علیه فرد دارد: \(1\)، \(3\)، و \(9\).
هر عدد، تعدادی مقسوم‌علیه فرد و تعدادی مقسوم‌علیه زوج دارد. می‌دانیم:
\(\bullet\) مجموع هر تعداد عدد زوج، عددی زوج است،
\(\bullet\) مجموع زوج‌تا عدد فرد، عددی زوج است،
\(\bullet\) و مجموع فردتا عدد فرد، عددی فرد است.
پس فقط در صورتی مجموع مقسوم‌علیه‌های یک عدد، عددی فرد است که تعداد مقسوم‌علیه‌های فرد آن، عددی فرد باشد.
هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت \(2^n\times k\) نوشت که \(n\) یک عدد صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد.
فرض کنید \(m=2^n\times k\) (که \(n\) یک عددی صحیح نامنفی و \(k\) عددی فرد باشد)، آنگاه مقسوم‌علیه‌های فرد \(m\) دقیقاً مقسوم‌علیه‌های \(k\) هستند. تعداد مقسوم‌علیه‌های \(k\) وقتی فرد است که \(k\) مربع کامل باشد.
یادآوری. باتوجه‌به تعریفِ شمارندهٔ یک عدد طبیعی، اگر $a$ شمارندهٔ عدد طبیعی $n$ باشد، آنگاه عددی طبیعی، مانند $b$ وجود دارد به‌طوری‌که $n=a\times b$. دراین‌صورت $b$ نیز شمارندهٔ $n$ است. برای مثال، اگر $n=24$ و $a=6$، آنگاه $b=4$ (اعداد \(4\) و \(6\) شمارنده‌های \(24\) هستند).
می‌خواهیم شمارنده‌های هر عدد طبیعی را به‌صورت جفت‌جفت بنویسیم. برای مثال، شمارنده‌های \(99\) را می‌توان به‌صورت زیر، جفت‌جفت نوشت:
\[\begin{aligned}99&=1\times99\\&=3\times33\\&=9\times11.\end{aligned}\]
همان‌طور که می‌بینید، جفتِ \(1\)، \(99\)، جفتِ \(3\)، \(33\)، و جفتِ \(9\)، \(11\) است.
اگر شمارنده‌های هر عدد طبیعی را (به‌صورت بالا) جفت‌جفت بنویسیم (بدون شمارشِ تعدادِ شمارنده‌ها) می‌توان نتیجه گرفت که تعدادِ شمارنده‌های همهٔ عددهای طبیعی، زوج است به‌جز اعدادی که در یکی از جفت‌ها یک شمارنده تکرار میشود. برای مثال، شمارنده‌های عدد \(81\) را در نظر بگیرید:
\[\begin{aligned}81&=1\times 81\\&=3\times 27\\&=9\times 9.\end{aligned}\]
در سطرِ آخرِ رابطهٔ بالا، جفتِ \(9\) خود \(9\) است.
واضح است که اگر در عددی شمارنده‌ها را جفت‌جفت بنویسیم و جفتِ یکی شمارنده‌ها خودش باشد، آن‌وقت آن عدد، مربع کامل است. پس فقط تعدادِ شمارنده‌های اعدادِ مربع کامل، فرد است.
به این ترتیب، عددهایی که به‌دنبال آنها هستم به‌صورت \(a^2\times2^n\) هستند که \(a\) عددی فرد و \(n\) یک عدد صحیح نامنفی است. این اعداد عبارتند از:
\[\begin{aligned}&1^2\times2^0=1\\&1^2\times2^1=2\\&1^2\times2^2=4\\&1^2\times2^3=8\\&1^2\times2^4=16\\&1^2\times2^5=32\\&1^2\times2^6=64\\[5pt]&3^2\times2^0=9\\&3^2\times2^1=18\\&3^2\times2^2=36\\&3^2\times2^3=72\\[5pt]&5^2\times2^0=25\\&5^2\times2^1=50\\&5^2\times2^2=100\\[7pt]&7^2\times2^0=49\\&7^2\times2^1=98\\[5pt]&9^2\times2^0=81.\end{aligned}\]
و حاصل‌جمع این اعداد برابر \(665\) است.
چرا خلاقیت ریاضی مهم است؟
در ویدئوی زیر، دکتر علیرضا علیپور (دبیر ریاضی برجستهٔ کشور و نویسندهٔ کتاب‌های مرجع المپیاد) به سؤالات مهمی دربارهٔ خلاقیت ریاضی با رویکرد آموزش حل مسئله، پاسخ می‌دهند.کلاس‌های خلاقیت ریاضی دکتر علیپور
به نظرم به تجزیه اعداد باید ربط داشته باشه….
مثلا عدد ۴ رد نگاه کنید، همه عامل‌های تشکیل دهنده‌اش ۲ هستش، یا ۱۸ رو نگاه کنین، ۱۸=۲×۳×۳
یعنی حتی عامل‌های فردش، زوج‌تاس….
*کلید شماره ۱ (۱)بار زده میشود…
*کلید شماره ۲ (۱+۲)بار
کلید شماره ۳ (۱+۳)بار
*کلید شماره ۴ (۱+۲+۴)بار
کلید شماره ۵ (۱+۵)بار
کلید شماره ۶ (۱+۲+۳+۶)بار
کلید شماره ۷ (۱+۷)بار
*کلید شماره ۸ (۱+۲+۴+۸)بار
کلید شماره ۹ (۱+۳+۹)بار
*کلید ۱۶
*کلید ۱۸
*کلید ۳۶
.
.
.