برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است.
چه کتابی بخونم؟!
با پشتیبانی Takmili
روی لینک زیر کلیک کنید تا با ویژگی‌های این کتاب و طرح «چه کتابی بخونم؟!» آشنا شوید.
قضیه های هندسه
قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.
قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$.
عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و \(B_1\) پدید آیند به‌طوری‌که $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.
قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث $180$ درجه است.
قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.
اصل ض‌ز‌ض. اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند. (در ریاضیات «اصل» عبارتی است که درستی آن بدون استدلال پذیرفته شود.)
قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.
اثبات (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث)
قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.
عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.
قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. در هر مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های پای ساق باهم برابرند.
عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. اگر مثلثی دو زاویهٔ برابر داشته باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است.
قضیهٔ فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.
عکس قضیهٔ فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.
قضیهٔ وتر و یک ضلع. اگر وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ نیمساز. هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.
عکس قضیهٔ نیمساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیمساز آن زاویه قرار دارد.
قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.
قضیهٔ کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.
قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به آن زاویه برابر است.
چه کتابی بخونم؟!
با پشتیبانی Takmili
روی لینک زیر کلیک کنید تا با ویژگی‌های این کتاب و طرح «چه کتابی بخونم؟!» آشنا شوید.قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه، نصف وتر است.
عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلعهای قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است.
قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.
عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه باشد، آن‌وقت آن زاویه قائمه است.
مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به‌طول ضلع \(a\). مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی به‌ضلع \(a\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است.
اندازهٔ قطر مکعب. طول قطر هر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.
قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.
عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.
قضیه‌های همرسی
قضیهٔ همرسی میانه‌ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.
نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد میشود.
قضیهٔ نسبت در میانه های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.
قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. در هر مثلث، هر سه نیمساز داخلی همرسند.
برای قضیه آخر اثبات نگذاشتید و اسم قضیه رو هم اشتباه نوشتید باید می شد قضیه همرسی نیمساز ها در مثلث
ممنون که تذکر دادید.
سلام کسی میدونه قضیه دندان کوسه توی هندسه چیه
سلام بله جمع سه زاویه تند چهارضلعی مقعر برابر زاویه بیرونی (خارجی) زاویه بیشتر از 180 هست
سلام خیلی ببخشید من یک سوال دارم به جواب شون هم نیاز دارم توی سوالات مختلف مطرح شده
اگر در یک چهارضلعی دو زاویه مجاور هم 90 درجه باشند اثبات کنید چهارضلعی مذکور مستطیل است (البته اگر مربع میشه اونو بگید چون یک سوال اینطوری گفته بود)
سلام
یه عالمه چهارضلعی میشه مثال زد که دو زاویهٔ ۹۰ درجه داشته باشن ولی مستطیل نباشن.
میشه بگید چند تاش رو ؟ چون کنجکاو شدم عجیبه منم نتونستم اثبات کنم
مثلاً چهارضلعی \(ABCD\) را طوری رسم کنید که زاویه‌های \(A\) و \(B\) قائمه باشند، و زاویه‌ها \(C\) و \(D\) به‌ترتیب \(100\) و \(80\) درجه باشند.
ببخشید میشه بگید آیا طول سه ضلع از این چند ضلعی برابرند ؟ اگر بله میشه بگید چرا و چجوریه ؟؟
برابری ضلع‌ها جزء شرایط مسئله‌ای که گفتید، نبود.
سلام. اگر تو یه مثلث قائم الزاویه ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر باشه میتونیم بگیم که مثلثش متساوی الساقینه ؟ چون هم میانه برابر با نصف وتره و هم ارتفاع ولی خوب نمیتونیم بگیم که حتما بر هم منطبق هستند و ممکنه فقط برابر باشند.(چون اگه میانه و ارتفاع بر هم منطبق باشند متساوی الساقینه)
توی این مطلب به این که در قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف اونه و اینکه اگه میانه وارد بر یک ضلع نصف اون ضلع بود مثلث قائم الزاویه است اشاره شده ولی نمیدونم که ایا میتونیم بگیم که اگر در مثلث قائم الزاویه پاره خطی که از راس روبروی وتر به وتر وصل میشه نصف وتر باشه اون پاره خط ( ارتفاع وارد بر وتر)میانه هم هست
اگه این درسته لطفا اثباتشم بگید
باتشکر
سلام
اینکه در یک مثلث قائم‌الزاویه، میانهٔ وارد بر وتر نصف وتر است، درست است. ولی نمی‌دانم چطور نتیجه گرفتید که ارتفاع وارد بر وتر هم نصف وتر است!
برای حل چنین سؤالاتی می‌توانید از جئوجبرا استفاده کنید. شکل زیر با جئوجبرا رسم شده است و همان‌طور که می‌بینید، میانه و ارتفاع مثلث \(ABC\) برهم منطبق نیستند.
سلام. اینکه ارتفاع وارد وتر نصف وتره فرض مسئلس.
حالا میخوام بدونم که این ارتفاع میانه هم هست یا نه ؟
یعنی ارتفاع و میانه فقط اندازشون با هم برابره یا دقیقا یکی هستن؟
سلام
اگر ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر باشد، آن‌وقت ارتفاع و میانه باید برهم منطبق باشند، و در نتیجه مثلث قائم‌الزاویه، متساوی‌الساقین هم هست.
سلام ببینید ارتفاع وارد بر وتر لزوما نصف وتر نیست فقط در یک حالت میشه اونم جبری رفتم که اگر دو ضلع قایم a,b باشند اون وقت باید a^2+b^2=ab باشد تا این اتفاق بیفتد و طبق تمرین 5 ص 95 کتاب تکمیلی نهم میدونیم در اون صورت a=b=0 یعنی چنین چیزی غیر ممکن است !!
البته ببخشید یه اشتباهی کردم در اصل باید a^2+b^2-2ab=0 یعنی (a-b) به توان 2 = 0 یعنی a=b یا همونطور که ادمین عزیز گفتند مثلث قایم الزاویه متساوی الساقین باشد
سلام
میشه لطفا جزوه تکمیلی تیزهوشان هندسه هفتم تا نهم رو بزارید؟
سلام
چنین جزوه‌ای وجود ندارد و شما نمی‌توانید هندسه تیزهوشان را با جزوه یا مدل‌های فرمولی و تستی و بازاری به‌خوبی یاد بگیرید.
برای اینکه هندسه را در سطح تیزهوشان به‌خوبی و عمیق بیاموزید باید مسائل خوب و متنوع حل کنید و با کتابهای سطح بالا کار کنید. یکی از این کتاب‌ها در بالای همین صفحه معرفی شده است. نوشتهٔ «چگونه مسائل سخت هندسه را حل کنیم؟» را نیز بخوانید.
سلام ببخشید اثباتی هندسی ( بدون استفاده از بردار و … ) برای قضیه همرسی ارتفاع ها دارید ؟ چون من جایی پیدا نکردم
سلام
اینجا را کلیک کنید.
خیلی ممنون عالی بود 🙂
سلام راستش من مقداری گیج شدم. الان مثلا اگر در سوالی ما نیاز به قضیه عمود منصف داشتیم باید انرا ثابت کنیم مثل شما که در بالا ثابت کردین یا اینکه کافیست بنویسیم چون عمود منصف است پس این ضلع با این ضلع برابرند؟
سلام
در هندسه، یک‌بار قضیه‌ها را ثابت میکنیم و بعداً فقط از آنها استفاده میکنیم.
همان‌طور که گفتید، اگر در جایی از قضیهٔ عمودمنصف استفاده میکنیم، صرفاً می‌نویسیم: «بنابه قضیهٔ عمودمنصف …»
اثبات برابر بودن ضلع های رو به رو در متوازی الاضلاع؟
اثبات برابر بودن قطر های مستطیل؟
اثبات مکمل بودن ضلعهای مجاور به قاعده در متوازی الاضلاع؟
سؤالات شما قضیه نیستند. و صرفاً تمرین هستند. با استفاده از قضیه‌های بالا می‌توان این تمرین‌ها را حل کرد.
برای اثبات برابر بودن ضلعهای روبه‌روی در متوازی‌الاضلاع، قطر متوازی‌الاضلاع را رسم کنید و ثابت کنید که دو مثلث ایجاد شده همنهشت هستند.
برای اثبات برابر بودن قطرهای مستطیل \(ABCD\)، دو قطر مستطیل را رسم کنید و ثابت کنید که دو مثلث \(ABC\) و \(ABD\) همنهشت هستند.
برای اثبات مکمل بودن ضلعهای مجاور به قاعده در متوازی‌الاضلاع، ضلع‌ها را امتداد دهید و از قضیهٔ خطوط موازی و مورب استفاده کنید.
سلام وقتتون بخیر یه سوال
این اثبات هایی که اینجا نوشته شدن کامل و تکمیلن یعنی
من همینقدر رو بخونم در اثبات مشکلی نخواهم داشت؟
خوشحال میشم اگه پاسخ بدید مرسی اط اطلاعات مفیدتون.
سلام
همهٔ اثبات‌های نوشته شده دقیق و کامل هستند.
اگر در هر کدام هم مشکل داشتید، زیر پست مربوط به آن، کامنت بگذارید. در این سایت همهٔ کامنت‌ها بررسی و پاسخ داده میشود.
بسیار کامل و عالی
🥰🥰
سلام یه سوالی در صفحه مربوط به نابرابری زاویه خارجی داشتم میشه پاسخ بدین ؟
سلام
پاسخ پرسش شما در صفحهٔ مربوطه نوشته شده است.
بسیار ممنونم 🙂
درود بهتون خیلی کامل بود. فقط این نکات خوب نیاز ب یه ذهن خوب داره که بتونه مسایل رو حل کنه
سلام خسته نباشید. یک سوال داشتم، برای اثبات فرمول حجم کره روش های مختلفی وجود داره، یکی از روش ها این است که در نظر می‌گیریم یک کره به شعاع r و یک استوانه به شعاع قائده r و ارتفاع 2r داریم، که در آن دو مخروط قرار دارد، و ادعا میکنیم که حجم استوانه منهای حجم مخروط ها برابر با حجم کره است و به اثبات این ادعا می‌پردازیم و ابتدا دو صفحه را در کره و استوانه در نظر می‌گیریم ….. خواستم ببینم اسم این روش چیه؟ و این که میتونید در ادامه اثباتش بهم کمک کنید؟ ممنون که پاسخگو هستید
سلام
فکر کنم منظورتون روش کاوالیری باشه.
اینجا را کلیک کنید.
(برای مشاهدهٔ ویدئو باید از فیلترشکن استفاده کنید. اگر فیلترشکن ندارید، اطلاع بدید که به طریق دیگر ویدئو را به‌دست شما برسانیم.)
می‌توانید عبارت “Volume of sphere proof” را گوگل کنید تا اثبات‌های متنوعی از فرمول حجم کره را ببینید.
بجای یوتیوب لینک اون رو در دیدئو بدید (توی اینترنت سرچش کنید اونوقت منظورم رو میفهمید)
سلام ایا اثبات ساده در حد اول دبیرستان برای قضیه هرون داریم ؟ همچنین برای قضیه تشابه تالس ( خط موازی در مثلث) و قضیه ملانئوس
سلام
خیر! آیا این قضیه‌ها را به شما درس می‌دهند؟
بله درس دادن تو هشتم
آیا شما همهٔ مسئله‌های کتابهای ریاضی تکمیلی را حل کرده‌اید و به آنها مسلط شده‌اید که سراغ چنین قضیه‌هایی رفته‌اید؟!
بله این هم اثبات قضیه هرون در حد دبیرستان و متوسطه اول:
https://file.io/WDzss8z3am75
برو داخل لینک و بزن روی دانلود اونوقت برات عکس اثبات دانلود میشه (از سینوس کسینوس هم توی اثبات استفاده نشده)
ببخشید فایل نمیدونم چرا ولی حذف شده از این لینک استفاده کن:
سلام خیلی ممنونم 🙂
سلام
لطفا درسنامه فصل ۶ (هفتم) رو هم بزارید
ممنون
خیلی ممنون ازتون
میشه اثباتای مربوط به مستطیل و متوازی الاضلاع مثلث ها ( ادامه قضایا)و… بزاریدبعد میشه بعضی از رابطه ها مثل هرون را اثبات کنید ممنون اگه این کارو کنید که اتفاقا مربوط به همین دوره اول دبیرستان خیلی خوب میشه.
قضیهٔ هرون در کتابهای درسی دورهٔ دوم دبیرستان است. میشه لطفاً بگید که قضیهٔ هرون در کجای دورهٔ اول دبیرستان آمده است؟
در سایت تکمیلی، تمام تمرین‌های کتابهای تکمیلی و مسائل آزمون‌های پیشرفت تحصیلی با قضیه‌های بالا ثابت شده‌اند.
سلام در قسمت مکعب اشتباه کردید در قسمت اخر نوشتید AB به توان دو برابر است با رادیکال 3 a در صورتی که
اصلا به توان دو ندارد.
اصلاح شود با تشکر
سلام.
ممنون که تذکر دادید.
اصلاح شد.
اثباتا بیشتر کنید
قضیه‌ها برای هندسهٔ دورهٔ اول دبیرستان هستند. البته، تعداد کمی از قضیه‌های بالا اضافی هستند که برای این نوشتیم که در برخی از آزمون‌های پیشرفت تحصیلی سمپاد، از آنها باید استفاده می‌شد. البته، اعتقاد داریم که چنین سؤالاتی فراتر از حد دورهٔ اول دبیرستان هستند و نباید در آزمون‌های پیشرفت تحصیلی گنجانده می‌شدند.
اگر در مدرسهٔ شما بیش از این قضیه‌ها را به شما می‌گویند، احتمالاً می‌خواهند هندسهٔ دورهٔ دوم دبیرستان را به شما تدریس کنند که کار درستی نیست.
در آینده، هندسهٔ دورهٔ دوم دبیرستان و قضیه‌های مربوط به آن را هم خواهیم نوشت.
عالی بود.
ممنون
سلام ببخشید در مورد قضیه منلاعوس که در حلی یک مطرح شده و من متوجه نشدم میشود در کانال مطلب بگذارید ممنون
سلام.
قضیهٔ منلائوس جزء مباحث درسی نیست و مطرح شدن آن در دورهٔ اول دبیرستان مناسب نیست.
آیا شما به قضیه‌های تالس و تشابه تسلط دارید؟ اگر این دو قضیه را نشناسید و به آنها مسلط نباشید، درک قضیهٔ منلائوس تقریباً غیرممکن است!
البته، قضیه‌های تالس و تشابه هم جزء مباحث درسی دورهٔ اول دبیرستان نیست.
می‌توانید به [email protected] یا آیدی تلگرام [email protected] پیام بفرستید تا منابع و کتاب‌هایی را به شما معرفی کنیم که در آنها اثبات قضیهٔ منلائوس وجود دارد.