برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است.
قضیه های هندسه
قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.
قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$.
عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و \(B_1\) پدید آیند به‌طوری‌که $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.
قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث $180$ درجه است.
قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.
اصل ض‌ز‌ض. اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند. (در ریاضیات «اصل» عبارتی است که درستی آن بدون استدلال پذیرفته شود.)
قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.
اثبات (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث)
قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.
عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.
قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. در هر مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های پای ساق باهم برابرند.
عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. اگر مثلثی دو زاویهٔ برابر داشته باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است.
قضیهٔ فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.
عکس قضیهٔ فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه است.
قضیهٔ وتر و یک ضلع. اگر وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.
قضیهٔ نیم‌ساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.
عکس قضیهٔ نیم‌ساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.
قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.
قضیهٔ کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.
قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به آن زاویه برابر است.
قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه، نصف وتر است.
عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلع‌های قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است.
قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.
عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه باشد، آن‌وقت آن زاویه قائمه است.
مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به‌طول ضلع \(a\). مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی به‌ضلع \(a\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است.
اندازهٔ قطر مکعب. طول قطر هر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.
قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.
عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.
قضیه‌های همرسی
قضیهٔ همرسی میانه‌ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.
نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد میشود.
قضیهٔ نسبت در میانه های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.
میشه اثباتای مربوط به مستطیل و متوازی الاضلاع مثلث ها ( ادامه قضایا)و… بزاریدبعد میشه بعضی از رابطه ها مثل هرون را اثبات کنید ممنون اگه این کارو کنید که اتفاقا مربوط به همین دوره اول دبیرستان خیلی خوب میشه.
قضیهٔ هرون در کتابهای درسی دورهٔ دوم دبیرستان است. میشه لطفاً بگید که قضیهٔ هرون در کجای دورهٔ اول دبیرستان آمده است؟
در سایت تکمیلی، تمام تمرین‌های کتابهای تکمیلی و مسائل آزمون‌های پیشرفت تحصیلی با قضیه‌های بالا ثابت شده‌اند.
سلام در قسمت مکعب اشتباه کردید در قسمت اخر نوشتید AB به توان دو برابر است با رادیکال 3 a در صورتی که
اصلا به توان دو ندارد.
اصلاح شود با تشکر
سلام.
ممنون که تذکر دادید.
اصلاح شد.
اثباتا بیشتر کنید
قضیه‌ها برای هندسهٔ دورهٔ اول دبیرستان هستند. البته، تعداد کمی از قضیه‌های بالا اضافی هستند که برای این نوشتیم که در برخی از آزمون‌های پیشرفت تحصیلی سمپاد، از آنها باید استفاده می‌شد. البته، اعتقاد داریم که چنین سؤالاتی فراتر از حد دورهٔ اول دبیرستان هستند و نباید در آزمون‌های پیشرفت تحصیلی گنجانده می‌شدند.
اگر در مدرسهٔ شما بیش از این قضیه‌ها را به شما می‌گویند، احتمالاً می‌خواهند هندسهٔ دورهٔ دوم دبیرستان را به شما تدریس کنند که کار درستی نیست.
در آینده، هندسهٔ دورهٔ دوم دبیرستان و قضیه‌های مربوط به آن را هم خواهیم نوشت.
عالی بود.
ممنون
سلام ببخشید در مورد قضیه منلاعوس که در حلی یک مطرح شده و من متوجه نشدم میشود در کانال مطلب بگذارید ممنون
سلام.
قضیهٔ منلائوس جزء مباحث درسی نیست و مطرح شدن آن در دورهٔ اول دبیرستان مناسب نیست.
آیا شما به قضیه‌های تالس و تشابه تسلط دارید؟ اگر این دو قضیه را نشناسید و به آنها مسلط نباشید، درک قضیهٔ منلائوس تقریباً غیرممکن است!
البته، قضیه‌های تالس و تشابه هم جزء مباحث درسی دورهٔ اول دبیرستان نیست.
می‌توانید به [email protected] یا آیدی تلگرام [email protected] پیام بفرستید تا منابع و کتاب‌هایی را به شما معرفی کنیم که در آنها اثبات قضیهٔ منلائوس وجود دارد.