برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه‌ های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول و دوم دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است.

قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.

اثبات

قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

قضیه های هندسه

اثبات

عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و \(B_1\) پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.

قضیه های هندسه

اثبات

قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث $180$ درجه است.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.

اثبات

اصل ض‌ز‌ض. اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند. (در ریاضیات «اصل» عبارتی است که درستی آن بدون استدلال پذیرفته شود.)

توضیحات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.

اثبات (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث)

قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. در هر مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های پای ساق باهم برابرند.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. اگر مثلثی دو زاویهٔ برابر داشته باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است.

اثبات

قضیهٔ فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.

اثبات

عکس قضیهٔ فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد،‌ آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیهٔ وتر و یک ضلع. اگر وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ نیم‌ساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ نیم‌ساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.

اثبات

قضیهٔ کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به ‌آن زاویه برابر است.

اثبات

قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلع‌های قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است.

اثبات

قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه‌ باشد، آن‌وقت آن زاویه قائمه است.

اثبات

مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به‌طول ضلع \(a\). مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی به‌ضلع \(a\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است.

اثبات

اندازهٔ قطر مکعب. طول قطر هر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.

اثبات

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات

عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات


قضیه‌های همرسی

قضیهٔ همرسی میانه‌ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.

اثبات

نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد می‌شود.

اثبات

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات

قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. در هر مثلث، هر سه نیمساز داخلی همرسند.

 


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

68 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
Zkho
مهمان
5 ماه قبل

سلام،آیا کتابی یا مرجع یا منبعی وجود دارد که بتوان موقع نیاز ، به تمامی قضایای هندسه دسترسی داشت؟ و آنها را بدون اثبات ،مثل جدول ضرب حفظ کرد؟

اخلاقی‌نیا
Admin
پاسخ به  Zkho
5 ماه قبل

سلام
در همین صفحه تعداد زیادی از قضایای هندسه نوشته شده است که برای دیدن اثبات آن‌ها باید روی کلمهٔ اثبات که در زیر آن نوشته شده است، کلیک کنید. به زودی صورت قضایای دیگر به این صفحه اضافه می‌شود.
ولی ماهیت قضایای هندسه با جدول ضرب خیلی متفاوت است. حفظ کردن قضیه‌ها بدون دیدن نمونه‌هایی از نحوهٔ استفاده از آن‌ها، کمک زیادی در حل مسائل به شما نمی‌کند.

سجاد رضوانی
Member
1 سال قبل

سلام اثبات زاویه ای که از برخورد نیم ساز های یک زاویه داخلی و یک زاویه خارجی بوجود می اید برابر نصف زاویه داخلی سوم است چجوریه

محمدرضا
مهمان
پاسخ به  سجاد رضوانی
1 ماه قبل

سلام، تو مثلثی که به وجود می آد زوایا رو حساب کن و 180 رو از اونها کم کن

ناشناس
مهمان
1 سال قبل

سلام اثبات این قضیه که (اگر دو پاره خط همدیگر را قطع کنند، عمود منصف هایشان نیز همدیگر را قطع می کنند) چطوریه؟

محمدرضا
مهمان
پاسخ به  ناشناس
1 ماه قبل

سلام، به نظرم با برهان خلف، یعنی اینکه فرض کنیم همدیگرو قطه نکنن بعد به تناقض برسیم می شه

مرتضی
مهمان
1 سال قبل

سلام.سطح abc1در ریاضیات چه مبحثی است؟

مرتضی
مهمان
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

راستش در یک آموزشگاه سویدی شرکت کردم که میگه سطح دانش ریاضیت بایدabc1باشه

امیر مسعود
مهمان
1 سال قبل

لطفا راهنمایی کنید. ثابت کنید اگر قطری از دایره بر وتری عمود شود وتر و کمان نظیرش را نصف میکند

محمدحسین
مهمان
1 سال قبل

ث
قضیه:اگر یک چهارضلعی محاطی باشد ، آنگاه دو زاویه مقابل آن مکمل است.
لطفا یکی اثباتش رو بفرسته

نیما اصغری
Member
1 سال قبل

برای قضیه آخر اثبات نگذاشتید و اسم قضیه رو هم اشتباه نوشتید باید می شد قضیه همرسی نیمساز ها در مثلث

مبین
مهمان
1 سال قبل

سلام کسی میدونه قضیه دندان کوسه توی هندسه چیه

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  مبین
1 سال قبل

سلام بله جمع سه زاویه تند چهارضلعی مقعر برابر زاویه بیرونی (خارجی) زاویه بیشتر از 180 هست

رادوین سالاری
Member
1 سال قبل

سلام خیلی ببخشید من یک سوال دارم به جواب شون هم نیاز دارم توی سوالات مختلف مطرح شده
اگر در یک چهارضلعی دو زاویه مجاور هم 90 درجه باشند اثبات کنید چهارضلعی مذکور مستطیل است (البته اگر مربع میشه اونو بگید چون یک سوال اینطوری گفته بود)

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

میشه بگید چند تاش رو ؟ چون کنجکاو شدم عجیبه منم نتونستم اثبات کنم

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

ببخشید میشه بگید آیا طول سه ضلع از این چند ضلعی برابرند ؟ اگر بله میشه بگید چرا و چجوریه ؟؟

سید محسن حسینی
مهمان
پاسخ به  رادوین سالاری
8 ماه قبل

تمام ذوزنقه های قائم الزاویه

تتت
مهمان
2 سال قبل

سلام. اگر تو یه مثلث قائم الزاویه ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر باشه میتونیم بگیم که مثلثش متساوی الساقینه ؟ چون هم میانه برابر با نصف وتره و هم ارتفاع ولی خوب نمیتونیم بگیم که حتما بر هم منطبق هستند و ممکنه فقط برابر باشند.(چون اگه میانه و ارتفاع بر هم منطبق باشند متساوی الساقینه)
توی این مطلب به این که در قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف اونه و اینکه اگه میانه وارد بر یک ضلع نصف اون ضلع بود مثلث قائم الزاویه است اشاره شده ولی نمیدونم که ایا میتونیم بگیم که اگر در مثلث قائم الزاویه پاره خطی که از راس روبروی وتر به وتر وصل میشه نصف وتر باشه اون پاره خط ( ارتفاع وارد بر وتر)میانه هم هست
اگه این درسته لطفا اثباتشم بگید
باتشکر

تتتت
مهمان
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

سلام. اینکه ارتفاع وارد وتر نصف وتره فرض مسئلس.
حالا میخوام بدونم که این ارتفاع میانه هم هست یا نه ؟
یعنی ارتفاع و میانه فقط اندازشون با هم برابره یا دقیقا یکی هستن؟

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  تتت
1 سال قبل

سلام ببینید ارتفاع وارد بر وتر لزوما نصف وتر نیست فقط در یک حالت میشه اونم جبری رفتم که اگر دو ضلع قایم a,b باشند اون وقت باید a^2+b^2=ab باشد تا این اتفاق بیفتد و طبق تمرین 5 ص 95 کتاب تکمیلی نهم میدونیم در اون صورت a=b=0 یعنی چنین چیزی غیر ممکن است !!

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  تتت
1 سال قبل

البته ببخشید یه اشتباهی کردم در اصل باید a^2+b^2-2ab=0 یعنی (a-b) به توان 2 = 0 یعنی a=b یا همونطور که ادمین عزیز گفتند مثلث قایم الزاویه متساوی الساقین باشد

Mavis
مهمان
2 سال قبل

سلام
میشه لطفا جزوه تکمیلی تیزهوشان هندسه هفتم تا نهم رو بزارید؟

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام ببخشید اثباتی هندسی ( بدون استفاده از بردار و … ) برای قضیه همرسی ارتفاع ها دارید ؟ چون من جایی پیدا نکردم

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

خیلی ممنون عالی بود 🙂

رضا عسکری
Member
2 سال قبل

سلام راستش من مقداری گیج شدم. الان مثلا اگر در سوالی ما نیاز به قضیه عمود منصف داشتیم باید انرا ثابت کنیم مثل شما که در بالا ثابت کردین یا اینکه کافیست بنویسیم چون عمود منصف است پس این ضلع با این ضلع برابرند؟

ایلیا لرستانی
Member
2 سال قبل

اثبات برابر بودن ضلع های رو به رو در متوازی الاضلاع؟
اثبات برابر بودن قطر های مستطیل؟
اثبات مکمل بودن ضلعهای مجاور به قاعده در متوازی الاضلاع؟

؛):)
مهمان
2 سال قبل

سلام وقتتون بخیر یه سوال
این اثبات هایی که اینجا نوشته شدن کامل و تکمیلن یعنی
من همینقدر رو بخونم در اثبات مشکلی نخواهم داشت؟
خوشحال میشم اگه پاسخ بدید مرسی اط اطلاعات مفیدتون.

Sigma10
مهمان
2 سال قبل

بسیار کامل و عالی
??

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام یه سوالی در صفحه مربوط به نابرابری زاویه خارجی داشتم میشه پاسخ بدین ؟

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بسیار ممنونم 🙂

bella
مهمان
2 سال قبل

درود بهتون خیلی کامل بود. فقط این نکات خوب نیاز ب یه ذهن خوب داره که بتونه مسایل رو حل کنه

yasaman bakhtiari
Member
2 سال قبل

سلام خسته نباشید. یک سوال داشتم، برای اثبات فرمول حجم کره روش های مختلفی وجود داره، یکی از روش ها این است که در نظر می‌گیریم یک کره به شعاع r و یک استوانه به شعاع قائده r و ارتفاع 2r داریم، که در آن دو مخروط قرار دارد، و ادعا میکنیم که حجم استوانه منهای حجم مخروط ها برابر با حجم کره است و به اثبات این ادعا می‌پردازیم و ابتدا دو صفحه را در کره و استوانه در نظر می‌گیریم ….. خواستم ببینم اسم این روش چیه؟ و این که میتونید در ادامه اثباتش بهم کمک کنید؟ ممنون که پاسخگو هستید

??.??????? ジ ↬
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بجای یوتیوب لینک اون رو در دیدئو بدید (توی اینترنت سرچش کنید اونوقت منظورم رو میفهمید)

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام ایا اثبات ساده در حد اول دبیرستان برای قضیه هرون داریم ؟ همچنین برای قضیه تشابه تالس ( خط موازی در مثلث) و قضیه ملانئوس

رقیه ماهی
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

بله درس دادن تو هشتم

??.??????? ジ ↬
Member
پاسخ به  رادوین سالاری
2 سال قبل

بله این هم اثبات قضیه هرون در حد دبیرستان و متوسطه اول:
https://file.io/WDzss8z3am75
برو داخل لینک و بزن روی دانلود اونوقت برات عکس اثبات دانلود میشه (از سینوس کسینوس هم توی اثبات استفاده نشده)

??.??????? ジ ↬
Member
پاسخ به  ??.??????? ジ ↬
2 سال قبل

ببخشید فایل نمیدونم چرا ولی حذف شده از این لینک استفاده کن:comment image

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  ??.??????? ジ ↬
2 سال قبل

سلام خیلی ممنونم 🙂

م.م
مهمان
3 سال قبل

سلام
لطفا درسنامه فصل ۶ (هفتم) رو هم بزارید
ممنون

mohammad
مهمان
3 سال قبل

خیلی ممنون ازتون

elGhostXD
Member
3 سال قبل

میشه اثباتای مربوط به مستطیل و متوازی الاضلاع مثلث ها ( ادامه قضایا)و… بزاریدبعد میشه بعضی از رابطه ها مثل هرون را اثبات کنید ممنون اگه این کارو کنید که اتفاقا مربوط به همین دوره اول دبیرستان خیلی خوب میشه.

shayan sahih
Member
3 سال قبل

سلام در قسمت مکعب اشتباه کردید در قسمت اخر نوشتید AB به توان دو برابر است با رادیکال 3 a در صورتی که
اصلا به توان دو ندارد.
اصلاح شود با تشکر

elGhostXD
Member
3 سال قبل

اثباتا بیشتر کنید

حسین ربابی
مهمان
4 سال قبل

عالی بود.
ممنون

بهشتی
مهمان
4 سال قبل

سلام ببخشید در مورد قضیه منلاعوس که در حلی یک مطرح شده و من متوجه نشدم میشود در کانال مطلب بگذارید ممنون