برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه‌ های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است.

چه کتابی بخونم؟!

با پشتیبانی Takmili

روی لینک زیر کلیک کنید تا با ویژگی‌های این کتاب و طرح «چه کتابی بخونم؟!» آشنا شوید.

هندسه از ابتدا تا صفحهٔ پشتیبانی


قضیه های هندسه

قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند.

اثبات

قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

قضیه های هندسه

اثبات

عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و \(B_1\) پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.

قضیه های هندسه

اثبات

قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث. مجموع زاویه‌های هر مثلث $180$ درجه است.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث. اندازهٔ هر زاویهٔ خارجی در یک مثلث دلخواه برابر است با مجموع اندازه‌های زاویه‌های داخلی غیرمجاورش.

اثبات

اصل ض‌ز‌ض. اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند. (در ریاضیات «اصل» عبارتی است که درستی آن بدون استدلال پذیرفته شود.)

توضیحات

قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است.

اثبات (بدون استفاده از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث)

قضیهٔ زض‌ز. اگر دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ض‌ض‌ض. اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلثی دیگر برابر باشد، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ ززض. اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ عمودمنصّف. هر نقطه روی عمودمنصّفِ یک پاره‌خط از دو سر آن پاره‌خط فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ عمودمنصّف. اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی عمودمنصّف پاره‌خط قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. در هر مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های پای ساق باهم برابرند.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث متساوی‌الساقین. اگر مثلثی دو زاویهٔ برابر داشته باشد، آن مثلث متساوی‌الساقین است.

اثبات

قضیهٔ فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.

اثبات

عکس قضیهٔ فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد،‌ آن مثلث قائم‌الزاویه است.

اثبات

قضیهٔ وتر و یک ضلع. اگر وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.

اثبات

قضیهٔ نیم‌ساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.

اثبات

عکس قضیهٔ نیم‌ساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.

اثبات

قضیهٔ شعاع و مماس. شعاع دایره در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.

اثبات

قضیهٔ کمان و وتر. وترهای نظیر دو کمان برابر، برابرند و برعکس.

اثبات

قضیهٔ زاویهٔ محاطی. اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی با نصف کمان روبه‌رو به ‌آن زاویه برابر است.

اثبات

چه کتابی بخونم؟!

با پشتیبانی Takmili

روی لینک زیر کلیک کنید تا با ویژگی‌های این کتاب و طرح «چه کتابی بخونم؟!» آشنا شوید.

هندسه از ابتدا تا صفحهٔ پشتیبانی


قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویهٔ \(30\) درجه، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ مثلث 90، 60، 30.  در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر یکی از ضلع‌های قائمه، نصف وتر باشد، آن‌وقت زاویهٔ روبه‌رو به آن ضلع قائمه برابر \(30\) درجه است.

اثبات

قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول میانهٔ وارد بر وتر، نصف وتر است.

اثبات

عکس قضیهٔ میانهٔ وارد بر وتر. اگر در مثلثی، میانهٔ رسم شده از یک زاویه، نصف طول ضلع مقابل به آن زاویه‌ باشد، آن‌وقت آن زاویه قائمه است.

اثبات

مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع به‌طول ضلع \(a\). مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی به‌ضلع \(a\) برابر \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است.

اثبات

اندازهٔ قطر مکعب. طول قطر هر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر طول یال آن است.

اثبات

قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات

عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات


قضیه‌های همرسی

قضیهٔ همرسی میانه‌ها. در هر مثلث، هر سه میانه همرسند.

اثبات

نتیجهٔ قضیهٔ همرسی میانه‌ها. از برخورد میانه‌های مثلث، شش مثلث هم‌مساحت ایجاد می‌شود.

اثبات

قضیهٔ نسبت در میانه‌ های مثلث. در هر مثلث، میانه‌ها به نسبت \(2\) به \(1\) یکدیگر را قطع می‌کنند.

اثبات

قضیهٔ همرسی نیم‌سازها. در هر مثلث، هر سه نیمساز داخلی همرسند.

 

آنالیز ترکیبی

آزمون تیزهوشان

تست هوش

جادوی مریم میرزاخانی

محسن کیهانی

53 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

برای قضیه آخر اثبات نگذاشتید و اسم قضیه رو هم اشتباه نوشتید باید می شد قضیه همرسی نیمساز ها در مثلث

سلام کسی میدونه قضیه دندان کوسه توی هندسه چیه

سلام بله جمع سه زاویه تند چهارضلعی مقعر برابر زاویه بیرونی (خارجی) زاویه بیشتر از 180 هست

سلام خیلی ببخشید من یک سوال دارم به جواب شون هم نیاز دارم توی سوالات مختلف مطرح شده
اگر در یک چهارضلعی دو زاویه مجاور هم 90 درجه باشند اثبات کنید چهارضلعی مذکور مستطیل است (البته اگر مربع میشه اونو بگید چون یک سوال اینطوری گفته بود)

میشه بگید چند تاش رو ؟ چون کنجکاو شدم عجیبه منم نتونستم اثبات کنم

ببخشید میشه بگید آیا طول سه ضلع از این چند ضلعی برابرند ؟ اگر بله میشه بگید چرا و چجوریه ؟؟

سلام. اگر تو یه مثلث قائم الزاویه ارتفاع وارد بر وتر نصف وتر باشه میتونیم بگیم که مثلثش متساوی الساقینه ؟ چون هم میانه برابر با نصف وتره و هم ارتفاع ولی خوب نمیتونیم بگیم که حتما بر هم منطبق هستند و ممکنه فقط برابر باشند.(چون اگه میانه و ارتفاع بر هم منطبق باشند متساوی الساقینه)
توی این مطلب به این که در قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف اونه و اینکه اگه میانه وارد بر یک ضلع نصف اون ضلع بود مثلث قائم الزاویه است اشاره شده ولی نمیدونم که ایا میتونیم بگیم که اگر در مثلث قائم الزاویه پاره خطی که از راس روبروی وتر به وتر وصل میشه نصف وتر باشه اون پاره خط ( ارتفاع وارد بر وتر)میانه هم هست
اگه این درسته لطفا اثباتشم بگید
باتشکر

سلام. اینکه ارتفاع وارد وتر نصف وتره فرض مسئلس.
حالا میخوام بدونم که این ارتفاع میانه هم هست یا نه ؟
یعنی ارتفاع و میانه فقط اندازشون با هم برابره یا دقیقا یکی هستن؟

سلام ببینید ارتفاع وارد بر وتر لزوما نصف وتر نیست فقط در یک حالت میشه اونم جبری رفتم که اگر دو ضلع قایم a,b باشند اون وقت باید a^2+b^2=ab باشد تا این اتفاق بیفتد و طبق تمرین 5 ص 95 کتاب تکمیلی نهم میدونیم در اون صورت a=b=0 یعنی چنین چیزی غیر ممکن است !!

البته ببخشید یه اشتباهی کردم در اصل باید a^2+b^2-2ab=0 یعنی (a-b) به توان 2 = 0 یعنی a=b یا همونطور که ادمین عزیز گفتند مثلث قایم الزاویه متساوی الساقین باشد

سلام
میشه لطفا جزوه تکمیلی تیزهوشان هندسه هفتم تا نهم رو بزارید؟

سلام ببخشید اثباتی هندسی ( بدون استفاده از بردار و … ) برای قضیه همرسی ارتفاع ها دارید ؟ چون من جایی پیدا نکردم

خیلی ممنون عالی بود 🙂

سلام راستش من مقداری گیج شدم. الان مثلا اگر در سوالی ما نیاز به قضیه عمود منصف داشتیم باید انرا ثابت کنیم مثل شما که در بالا ثابت کردین یا اینکه کافیست بنویسیم چون عمود منصف است پس این ضلع با این ضلع برابرند؟

اثبات برابر بودن ضلع های رو به رو در متوازی الاضلاع؟
اثبات برابر بودن قطر های مستطیل؟
اثبات مکمل بودن ضلعهای مجاور به قاعده در متوازی الاضلاع؟

سلام وقتتون بخیر یه سوال
این اثبات هایی که اینجا نوشته شدن کامل و تکمیلن یعنی
من همینقدر رو بخونم در اثبات مشکلی نخواهم داشت؟
خوشحال میشم اگه پاسخ بدید مرسی اط اطلاعات مفیدتون.

بسیار کامل و عالی
🥰🥰

سلام یه سوالی در صفحه مربوط به نابرابری زاویه خارجی داشتم میشه پاسخ بدین ؟

بسیار ممنونم 🙂

درود بهتون خیلی کامل بود. فقط این نکات خوب نیاز ب یه ذهن خوب داره که بتونه مسایل رو حل کنه

سلام خسته نباشید. یک سوال داشتم، برای اثبات فرمول حجم کره روش های مختلفی وجود داره، یکی از روش ها این است که در نظر می‌گیریم یک کره به شعاع r و یک استوانه به شعاع قائده r و ارتفاع 2r داریم، که در آن دو مخروط قرار دارد، و ادعا میکنیم که حجم استوانه منهای حجم مخروط ها برابر با حجم کره است و به اثبات این ادعا می‌پردازیم و ابتدا دو صفحه را در کره و استوانه در نظر می‌گیریم ….. خواستم ببینم اسم این روش چیه؟ و این که میتونید در ادامه اثباتش بهم کمک کنید؟ ممنون که پاسخگو هستید

بجای یوتیوب لینک اون رو در دیدئو بدید (توی اینترنت سرچش کنید اونوقت منظورم رو میفهمید)

سلام ایا اثبات ساده در حد اول دبیرستان برای قضیه هرون داریم ؟ همچنین برای قضیه تشابه تالس ( خط موازی در مثلث) و قضیه ملانئوس

بله درس دادن تو هشتم

بله این هم اثبات قضیه هرون در حد دبیرستان و متوسطه اول:
https://file.io/WDzss8z3am75
برو داخل لینک و بزن روی دانلود اونوقت برات عکس اثبات دانلود میشه (از سینوس کسینوس هم توی اثبات استفاده نشده)

ببخشید فایل نمیدونم چرا ولی حذف شده از این لینک استفاده کن:comment image

سلام خیلی ممنونم 🙂

سلام
لطفا درسنامه فصل ۶ (هفتم) رو هم بزارید
ممنون

خیلی ممنون ازتون

میشه اثباتای مربوط به مستطیل و متوازی الاضلاع مثلث ها ( ادامه قضایا)و… بزاریدبعد میشه بعضی از رابطه ها مثل هرون را اثبات کنید ممنون اگه این کارو کنید که اتفاقا مربوط به همین دوره اول دبیرستان خیلی خوب میشه.

سلام در قسمت مکعب اشتباه کردید در قسمت اخر نوشتید AB به توان دو برابر است با رادیکال 3 a در صورتی که
اصلا به توان دو ندارد.
اصلاح شود با تشکر

اثباتا بیشتر کنید

عالی بود.
ممنون

سلام ببخشید در مورد قضیه منلاعوس که در حلی یک مطرح شده و من متوجه نشدم میشود در کانال مطلب بگذارید ممنون