قضیه نیمساز

قضیه نیمساز. هر نقطه روی نیم‌ساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه فاصلهٔ یکسان دارد.

عکس قضیه نیمساز. اگر نقطه‌ای از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ یکسان داشته باشد، این نقطه روی نیم‌ساز آن زاویه قرار دارد.


فرض. نقطه‌ای مانند \(D\) روی نیم‌ساز زاویه‌ای مانند \(A\) قرار دارد.
حکم. فاصلهٔ نقطهٔ \(D\) از دو ضلع زاویهٔ \(A\) یکسان است.

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.


اثبات قضیهٔ نیم‌ساز. نقطهٔ دلخواه $D$ را روی نیم‌ساز زاویهٔ ${A}$ انتخاب می‌کنیم. از $D$ دو عمود $DH$ و $DK$ را بر ضلع‌های زاویهٔ $A$ رسم می‌کنیم. باید ثابت کنیم که \(DH=DK\).

قضیه نیمساز

دو مثلث $AHD$ و $AKD$ در حالت ززض هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AHD\) و \(AKD\) نتیجه می‌شود که $DH=DK$.


اثبات عکس قضیهٔ نیم‌ساز. نقطهٔ $M$ از دو ضلع زاویهٔ $A$ فاصلهٔ یکسان دارد؛ یعنی اگر دو عمود $MH$ و $MK$ را بر ضلع‌های زاویهٔ $A$ وارد کنیم، آنگاه $MH=MK$. باید ثابت کنیم که \(AM\) نیم‌ساز زاویهٔ \(HAK\) است.

قضیه نیمساز

دو مثلث $AMH$ و $AMK$ در حالت وتر و یک‌ضلع هم‌نهشت‌اند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(AMH\) و \(AMK\) نتیجه می‌شود که \(H\widehat{A}M=K\widehat{A}M\). پس $AM$ نیم‌ساز زاویهٔ $A$ است.

اشتراک
اطلاع از
8 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

اقا قضیه نیم ساز ها که این نیست .
اون تو مثلثه .

این قضیهٔ نیم‌ساز است، نه قضیهٔ نیم‌سازها.
آیا منظور شما از قضیهٔ نیم‌سازها، قضیهٔ همرسی نیم‌سازهاست؟

مگه am وتر نیس؟

پاره‌خط \(AM\) وتر مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ \(AMK\) و \(AMH\) است.
نیم‌خط \(AM\) نیم‌ساز زاویهٔ \(KAH\) است.

پس حالت وز هم درسته؟

حالت وز که احتمالاً منظورتون وتر و یک زاویه است، حالت خاصی از حالت ززض در مثلث‌های قائم‌الزاویه است.

لطفاً‌ متن زیر را بخوانید و کمی فکر کنید.
در همهٔ مثلث‌ها، اگر دو زاویه و ضلع غیر بین آنها از یک مثلث نظیر به نظیر با دو ضلع و زاویهٔ غیر بین آنها از مثلث دیگر برابر باشد، آن‌وقت زاویهٔ سوم هم برابر است. (برای مشاهدهٔ اثبات، اینجا را کلیک کنید.) پس دو مثلث‌ همنهشت هستند. (به این حالت می‌گوییم ززض)
عجیب است که کتاب‌های درسی حالتی ساخته‌اند به‌نام وز! یعنی اگر در دو مثلث قائم‌الزاویه، دو زاویه (زاویهٔ قائمه و یک زاویهٔ حاده) و وتر (که ضلع غیر بین آن دو زاویه است) برابر باشند، آن‌وقت دو مثلث قائم‌الزاویه همنهشت‌اند.
پس وز همان حالت ززض است ولی در مثلث قائم‌الزاویه. وقتی می‌دانیم چنین چیزی در همهٔ مثلث‌ها درست است، و اثبات آن هم بسیار ساده است،‌ چرا باید فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه از آن استفاده کنیم و …

در قضیه نیم ساز آیا این دو مثلث در حالت وز یا ز ض ز هم مشترکند درسته؟

حالت وز حالت خاص قضیهٔ ززض است. قضیهٔ ززض با استفاده از قضیهٔ زض‌ز نتیجه می‌شود. لطفاً یک‌بار اثبات آنها را در قضیه‌های هندسه بخوانید.

حالت وز خیلی مسخره است!! ما می‌دانیم که همهٔ مثلث‌ها در حالت ززض هم‌نهشت‌اند. حالت وز، در واقع همان حالت ززض در مثلث قائم‌الزاویه است (برابری وترها، یک زاویهٔ تند، و یک زاویهٔ قائمه). چرا باید در مثلث قائم‌الزاویه برای حالت ززض، اسم دیگری بگذاریم؟!