قضیه فیثاغورس. در هر مثلث قائم‌الزاویه مربع اندازهٔ وتر با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر است.

عکس قضیه فیثاغورس. اگر در مثلثی مربع اندازهٔ یک ضلع با مجموع مربع‌های اندازهٔ دو ضلع دیگر برابر باشد،‌ آن مثلث قائم‌الزاویه است.


فرض. مثلثی، مانند \(ABC\)، یک زاویهٔ قائمه، مانند زاویهٔ \(C\)، دارد.
حکم. \(AB^2=AC^2+BC^2\).

در عکس قضیه، جای فرض و حکم عوض می‌شود.

قضیه های هندسه


اثبات قضیهٔ فیثاغورس. فرض کنیم \(ABC\) یک مثلث قائم‌الزاویه باشد که \(\widehat{C}=90^\circ\) و اضلاع زاویه‌های حادهٔ آن به‌صورت زیر نام‌گذاری شده باشند.

قضیه فیثاغورس

می‌خواهیم ثابت کنیم که \(a^2+b^2=c^2\).

مربعی به ضلع \(a+b\) رسم می‌کنیم و مطابق شکل زیر، هر ضلع آن را به دو قسمت با اندازه‌های \(a\) و \(b\) تقسیم می‌کنیم.

قضیه فیثاغورس

واضح است که مساحت مربع \(DEFG\) برابر است با: \[\begin{aligned}S_{DEFG}&=(a+b)^2\\&=a^2+b^2+2ab.\quad(1)\end{aligned}\]

در شکل، نقاط روی ضلع‌های \(DE\)، \(EF\)، \(FG\)، و \(GD\) را به‌ترتیب \(M\)، \(N\)، \(P\)، و \(Q\) می‌نامیم. حال، اگر چهارضلعی \(MNPQ\) را رسم کنیم، چهار مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌شود که بنابه حالت ض‌ز‌ض، هریک از آنها با مثلث \(ABC\) همنهشت است(؟). در نتیجه، اندازهٔ وتر هریک از این مثلث‌های قائم‌الزاویه برابر \(c\) است و اندازهٔ زاویه‌های حادهٔ آنها به‌صورت زیر است.

قضیه فیثاغورس

اکنون به‌سادگی می‌توان نشان داد که چهارضلعی \(MNPQ\) مربع است. (چگونه؟)


پس مساحت مربع \(DEFG\) از مجموع مساحت چهار مثلث قائم‌الزاویهٔ همنهشت و یک مربع به ضلع \(c\) نیز به‌دست می‌آید: \[\begin{aligned}S_{DEFG}&=4\Big(\frac{1}{2}ab\Big)+c^2\\[7pt]&=2ab+c^2.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه می‌شود:
\[\begin{aligned}&a^2+b^2+2ab=2ab+c^2\\&\Rightarrow a^2+b^2=c^2.\end{aligned}\]


اثبات عکس قضیهٔ فیثاغورس. فرض کنید در مثلث \(ABC\) داشته باشیم، \(AB^2+AC^2=BC^2\). می‌خواهیم ثابت کنیم که \(\widehat{A}=90^\circ\).

یک زاویهٔ قائمه رسم می‌کنیم و آن را \(\widehat{A’}\) می‌نامیم. روی ضلع‌های این زاویه، نقاط \(B’\) و \(C’\) را طوری انتخاب می‌کنیم که \(A’B’=AB\) و \(A’C’=AC\).

قضیه فیثاغورس
در این‌صورت \[BC=B’C’.\quad(1)\] (چرا؟)

قضیه فیثاغورس
در نتیجه، دو مثلث \(ABC\) و \(A’B’C’\) در حالت ض‌ض‌ض همنهشت هستند. (چرا؟)


از همنهشتی دو مثلث \(ABC\) و \(A’B’C’\) نتیجه می‌شود: \[\widehat{A}=\widehat{A^\prime}=90^\circ.\]

 

تجزیه عبارتهای جبری



نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

29 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
اصغر
مهمان
1 سال قبل

سلام.
نمیشه مثلث دوم در عکس قضیه فیثاغورس رو از ضلع AB یا AC مثلث اول تقارن بدیم؟
منظورم اینه که این طوری از اثبات هم‌نهشتی دو مثلث تقارن یافته، می‌شه نتیجه گرفت که چون زاویه A1 و A2 مجموعشون 180 درجه ست و چون زاویه A1 و A2 با هم برابرند، پس اندازشون 90 درجه هستش.

Takmili
Admin
پاسخ به  اصغر
1 سال قبل

سلام
در راه‌حل شما، چرا مجموع زاویه‌های \(A_1\) و \(A_2\) برابر \(180\) درجه است؟

strange
Member
1 سال قبل

ببخشید در اثبات عمس قضیه فیثاغورس چطوری از هم نهشتی دو مثلث میشه فهمدی که Â=Á=90

Takmili
Admin
پاسخ به  strange
1 سال قبل

توجه کنید که در ابتدای راه‌حل، زاویهٔ‌ \(A^{\prime}\) را خودمان قائمه رسم کردیم.

اصغر سگ سیبیل
مهمان
2 سال قبل

عالی بود

F.z...b
مهمان
2 سال قبل

سلام میشه با برهان خلف اثباتش کرد؟
اگر اثبات میشه لطف کنید این مطلب رو هم اضافه کنید

Takmili
Admin
پاسخ به  F.z...b
2 سال قبل

سلام
برای مطالعهٔ همهٔ اثبات‌های متفاوت قضیهٔ فیثاغورس، اینجا را کلیک کنید.

....
مهمان
2 سال قبل

می شه لطفا بگید از کجا به این می فهمیم که ۲ab=c²؟ (اثبات اول)

Takmili
Admin
پاسخ به  ....
2 سال قبل

من هرچه گشتم ندیدم جایی نوشته باشیم \(2ab=c^2\). و اصلاً \(2ab\) با \(c^2\) برابر نیست!

....
مهمان
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

ببخشید منظورم a² + b² = c² بود.

Takmili
Admin
پاسخ به  ....
2 سال قبل

در رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) مساحت مستطیل \(DEFG\) را به‌‌صورت دو عبارت جبری متفاوت، به‌دست آورده‌ایم. در انتهای راه‌حل، این دو عبارت جبری را برابر هم قرار داده‌ایم و با حذف \(2ab\) از طرفین تساوی، به \(a^2+b^2=c^2\) رسیده‌ایم.

محمدرضا
مهمان
2 سال قبل

این قضیرو هم میشه با روابط بین کسینوس ها هم اثبات کرد

Takmili
Admin
پاسخ به  محمدرضا
2 سال قبل

منظورتان با استفاده از قضیهٔ کسینوس‌هاست؟ آیا در اثبات قضیهٔ کسینوس‌ها از قضیهٔ فیثاغورس استفاده نمی‌کنید؟

K.M
Member
3 سال قبل

سلام
ببخشید یک سوال داشتم. وقتی ما مثلا قضیه P را اثبات می کنیم هنگام اثبات عکس قضیه P می توانیم در اثبات‌مان از خود P استفاده کنیم؟
باتشکر

Takmili
Admin
پاسخ به  K.M
3 سال قبل

سلام
بله! می‌توانیم.

مهمان
مهمان
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

به نظر من نمیشه از قضیه برای عکسش استفاده کرد . در این صورت نصف سوالات اثباتی از بین می رفت .

Takmili
Admin
پاسخ به  مهمان
1 سال قبل

احتمالاً شما مفهوم قضیه و عکس آن را به‌خوبی درک نکرده‌اید.
در اثبات قضیه‌ها نباید دور ایجاد شود. مثلا‌ً‌ نمی‌توان در اثبات قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث از قضیهٔ زاویه‌ٔ خارجی استفاده کرد و همزمان در اثبات قضیهٔ زاویهٔ خارجی هم از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده کرد!
در اثبات قضیه فیثاغورس و عکس آن دور ایجاد نمی‌شود.

ali
مهمان
پاسخ به  Takmili
10 ماه قبل

وقتی هنوز قضیه فیثاغورس برای ما اثبات نشده است با چه منظقی میتوان از آن برای اثبات چیزی استفاده کرد ؟ وقتی این اثبات ارزشمند است که با پایه ی ریاضیات اثبات شود ، نه با قضیه ای که هنوز در مسعله اثبات نشده است

Takmili
Admin
پاسخ به  ali
10 ماه قبل

متوجه منظور شما نشدم!
در نوشتهٔ‌ بالا که اثبات قضیهٔ فیثاغورس هست و مشکلی هم ندارد.

یک مرد مومن
Member
3 سال قبل

سلام
ببخشید معنی مربع سیاه در استدلال های هندسی چیست؟

Takmili
Admin
پاسخ به  یک مرد مومن
3 سال قبل

سلام
آیا در نوشتهٔ بالا از «مربع سیاه» استفاده شده است؟
لطفاً سؤالتان را کمی‌ دقیق‌تر یا با یک مثال تشریح کنید.

یک مرد مومن
Member
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

اشتباه شد ببخشید

Setare alinejad
مهمان
4 سال قبل

میشه لطفا قضیه فیثاغورس و عکسشو به صورت یه قضیه ی دو شرطی بنویسین؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Setare alinejad
4 سال قبل

در یک مثلث، یک زاویه قائمه است اگر و تنها اگر مربع یک ضلع برابر مجموع مربعات دو ضلع دیگر باشد.

Bahram Rajabi
مهمان
4 سال قبل

سلام ببخشید شما توی این خط(هر یک از ان ها با مثلث ABC همنهشت است (؟)) جلوی است علامت سوال گذاشتین اون برای چیه؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Bahram Rajabi
4 سال قبل

برای اینکه خواننده خودش فکر کند و دو ضلع و زاویه‌ٔ بینِ برابر را پیدا کند.

Amir
مهمان
4 سال قبل

عالییییییبیییییی

رادمهر طلوع حسن پور
مهمان
پاسخ به  Amir
4 سال قبل

نه اینطور نیست
بسیار عالی

ميتي
مهمان
پاسخ به  رادمهر طلوع حسن پور
3 سال قبل

عالي?????????