قضیه خطوط موازی و مورب
پیشرفت تحصیلی سمپاد

قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

قضیه خطوط موازی و مورب


فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورده است.
حکم. $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.


اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم زاویه‌های \(A_1\) و \(B_1\) برابر نباشند. پس یکی از آنها از دیگری بزرگ‌تر است. فرض کنیم زاویهٔ \(B_1\) از زاویهٔ \(A_1\) بزرگ‌تر باشد. در این‌صورت می‌توانیم، مطابق شکل زیر، زاویهٔ \(XBA\) را برابر با زاویهٔ \(A_1\) جدا کنیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

توجه کنید که \(X\) نمی‌توند روی خط \(\ell_1\) باشد. (چرا؟)


می‌دانیم که از هر نقطهٔ بیرون از یک خط فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. پس \(XB\) موازی \(\ell_2\) نیست.
پس امتداد \(ٓXB\) خط \(\ell_2\) را قطع می‌کند. محل برخورد \(XB\) و \(\ell_2\) را \(Y\) می‌نامیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری) داریم:
\[\widehat{A}_1 > ِY\widehat{B}A.\]
اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.


پرسش. مسعود اثباتی برای قضیهٔ بالا نوشته است. تفاوت اثبات مسعود با اثبات بالا فقط در انتهای آن (نوشتهٔ قرمز رنگ) است. او انتهای اثبات را این‌گونه نوشته است:


زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=Y\widehat{B}A+A\widehat{Y}B\\&\Rightarrow\widehat{A}_1 > Y\widehat{B}A.\end{aligned}\]اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.


چرا استدلال مسعود نادرست است؟ 


عکس قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.
قضیه خطوط موازی و مورب


فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آورده است به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.
حکم. خط‌های $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.


اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی نباشند. پس این دو خط یکدیگر را در نقطه‌ای مانند \(D\) قطع می‌کنند.

قضیه خطوط موازی و مورب

نقطهٔ \(E\) را روی \(\ell_1\) چنان انتخاب می‌کنیم که \(BE=AD\).

قضیه خطوط موازی و مورب

از \(A\) به \(E\) وصل می‌کنیم و برای سادگی، زاویه‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) در حالت ض‌ز‌ض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) نتیجه می‌شود: \[\widehat{A}_2=\widehat{B}_2.\quad(1)\] پس داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{B}_1\quad\text{فرض مسئله}\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_2\quad(1)\\&\widehat{B}_1+\widehat{B}_2=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}_1+\widehat{A}_2=180^\circ.\quad(2)\]

چون \(\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=180^\circ\)، پس مجموع زاویه‌های \(A_1\) و \(A_2\) کمتر از \(180\) درجه است. یعنی رابطهٔ \((2)\) نادرست است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه، \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی‌اند.

 


5
دیدگاه بگذارید

avatar
3 Comment threads
2 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
4 Comment authors
Ali Nسید آرش خادمTakmiliمتین میرزابیاتی Recent comment authors
  Subscribe  
Notify of
Ali N
Member
علی نوروزی

سلام مرسی

سید آرش خادم
Member
سید آرش خادم

سلام
سپاس فراوان

متین میرزابیاتی
Member
متین میرزابیاتی

اثبات قضایا کاملا مهمه ، معلما وقتی میخان حل کنن به اثبات کار دارن و تو امتحانا میارن اما شما اصلا اثبات نکردین و فقط میگین بعداا

Takmili
Admin

سلام.
اثبات همهٔ قضیه‌های این بخش، به‌غیر از قضیهٔ خطوط موازی و مورب، قضیه‌های ض‌زض، زض‌ز، و ض‌ض‌ض، و عکس قضیهٔ فیثاغورس، در کتابهای درسی هشتم و نهم هست.
آیا منظورتان این است که اثبات بقیهٔ قضیه‌ها (به‌غیر از چهار قضیهٔ بالا) را بنویسیم؟ اثبات اینها در کتاب‌های درسی هست؛ اگر نمی‌توانید آنها را اثبات کنید یا نمی‌توانید در کتاب‌های درسی پیدایشان کنید، احتمالاً به دلیل این است که معلمتان آنها را به شما درس نداده است! (اگر باورتان نمی‌شود(!)، به آیدی تلگرام TakmiliKomak@ پیام بفرستید تا شمارهٔ صفحهٔ اثبات همهٔ این قضیه‌ها را در کتاب درسی به شما بگویم.)
اگر منظورتان این است که قضیهٔ خطوط موازی و مورب، قضیه‌های ض‌زض، زض‌ز، و ض‌ض‌ض، و عکس قضیهٔ فیثاغورس، را اثبات کنیم، دقت کنید که حتی کتاب ریاضیات تکمیلی هم اثبات اینها را نخواسته! اگر معملتان هم می‌خواهد، کارش اشتباه است؛ چون اثبات این قضیه‌ها، جزء مباحث کتاب درسی ریاضی و ریاضی تکمیلی نهم نیست. (با این حال، اگر اثباتشان را خواستید، به به آیدی تلگرام TakmiliKomak@ پیام بفرستید.)

و البته، دقت کنید که کتاب ریاضیات تکمیلی اثبات هیچ‌کدام از این قضیه‌ها را نخواسته است؛ اگر می‌خواست حتماً اثبات همهٔ آنها را می‌نوشتیم.

Takmili
Admin

به‌دلیل درخواست‌های مکرر کاربران، اثبات همهٔ قضیه‌های هندسهٔ‌ کتاب‌های ریاضی تکمیلی هشتم و نهم نوشته شد.