قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.

قضیه خطوط موازی و مورب


فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورده است.
حکم. $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.


اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم زاویه‌های \(A_1\) و \(B_1\) برابر نباشند. پس یکی از آنها از دیگری بزرگ‌تر است. فرض کنیم زاویهٔ \(B_1\) از زاویهٔ \(A_1\) بزرگ‌تر باشد. در این‌صورت می‌توانیم، مطابق شکل زیر، زاویهٔ \(XBA\) را برابر با زاویهٔ \(A_1\) جدا کنیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

توجه کنید که \(X\) نمی‌توند روی خط \(\ell_1\) باشد. (چرا؟)


می‌دانیم که از هر نقطهٔ بیرون از یک خط فقط یک خط موازی با آن می‌توان رسم کرد. پس \(XB\) موازی \(\ell_2\) نیست.
پس امتداد \(ٓXB\) خط \(\ell_2\) را قطع می‌کند. محل برخورد \(XB\) و \(\ell_2\) را \(Y\) می‌نامیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری) داریم:
\[\widehat{A}_1 > ِY\widehat{B}A.\]
اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.


پرسش. مسعود اثباتی برای قضیهٔ بالا نوشته است. تفاوت اثبات مسعود با اثبات بالا فقط در انتهای آن (نوشتهٔ قرمز رنگ) است. او انتهای اثبات را این‌گونه نوشته است:


زاویهٔ \(A_1\)، زاویهٔ خارجی مثلث \(ABY\) است. پس بنابه قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث داریم:
\[\begin{aligned}&\widehat{A}_1=Y\widehat{B}A+A\widehat{Y}B\\&\Rightarrow\widehat{A}_1 > Y\widehat{B}A.\end{aligned}\]اما فرض کرده بودیم که \(Y\widehat{B}A\) (یا همان \(X\widehat{B}A\)) با \(\widehat{A}_1\) برابر است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه \(A_1\) با \(B_1\) برابر است.


چرا استدلال مسعود نادرست است؟ 


عکس قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آیند به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$، آنگاه $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.
قضیه خطوط موازی و مورب


فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط $\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ پدید آورده است به‌طوری‌که $‎\widehat{A}_1=‎\widehat{B}_1‎‎$.
حکم. خط‌های $\ell_1$ و $\ell_2$ موازی‌اند.


اثبات. از برهان خلف استفاده می‌کنیم.
فرض کنیم \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی نباشند. پس این دو خط یکدیگر را در نقطه‌ای مانند \(D\) قطع می‌کنند.

قضیه خطوط موازی و مورب

نقطهٔ \(E\) را روی \(\ell_1\) چنان انتخاب می‌کنیم که \(BE=AD\).

قضیه خطوط موازی و مورب

از \(A\) به \(E\) وصل می‌کنیم و برای سادگی، زاویه‌ها را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

قضیه خطوط موازی و مورب

دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) در حالت ض‌ز‌ض همنهشت‌اند. (چرا؟)

از همنهشتی دو مثلث \(ABD\) و \(ABE\) نتیجه می‌شود: \[\widehat{A}_2=\widehat{B}_2.\quad(1)\] پس داریم:
\[\left.\begin{aligned}&\widehat{A}_1=\widehat{B}_1\quad\text{فرض مسئله}\\&\widehat{A}_2=\widehat{B}_2\quad(1)\\&\widehat{B}_1+\widehat{B}_2=180^\circ\end{aligned}\right\}\Rightarrow\widehat{A}_1+\widehat{A}_2=180^\circ.\quad(2)\]

چون \(\widehat{A}_1+\widehat{A}_2+\widehat{A}_3=180^\circ\)، پس مجموع زاویه‌های \(A_1\) و \(A_2\) کمتر از \(180\) درجه است. یعنی رابطهٔ \((2)\) نادرست است. بنابراین، به تناقض رسیدیم. در نتیجه، \(\ell_1\) و \(\ell_2\) موازی‌اند.

 

مسئلهٔ هفته

در شکل زیر، معنای بردارهای قرمز و آبی به‌ترتیب جمع و ضرب است. و دایره‌های خالی باید با اعداد صحیح پر شوند. دایرهٔ زردرنگ را با چه عدد (عددهایی) می‌توان پر کرد؟
شمارنده

ارسال پاسخ مسئله‌های بیشتر

 

1512

آزمون فصل‌های ۱ و ۲ ریاضی نهم (کتاب درسی)

تعداد سؤال: ۱۲ سؤال
زمان: ۱۵ دقیقه

توضیح: همهٔ سؤالات این آزمون در سطح مسائل فصل‌های ۱ و ۲ کتاب ریاضی نهم است. (بیشتر پرسش‌ها کپی مسائل کتاب ریاضی نهم هستند!) پس از پایان آزمون، نمرهٔ شما و میانگین نمرات همهٔ دفعاتی که آزمون اجرا شده است، نمایش داده می‌شود.
**توجه: پس از اتمام آزمون روی گزینهٔ «یه آزمون دیگه؟!» کلیک کنید.

اگر بتوانید حداقل سه‌بار (پشت سر هم) در این آزمون نمرهٔ کامل بگیرید، تسلط شما به مباحث کتاب درسی، در حد مطلوب است.

1 / 12

اگر \(A\) زیرمجموعهٔ \(B\) و \(C\) باشد، آنگاه عبارت‌(های) درست را علامت بزنید.

2 / 12

عبارت‌هایی که یک مجموعه را مشخص می‌کنند، علامت بزنید.

3 / 12

اگر \(A=\big\{x\in\mathbb{Z}\mid-20\leq x\leq20\big\}\) و \(B=\big\{x\in\mathbb{N}\mid x^2\leq49\big\}\)، و \(C=\{-3,4,6,7\}\)، آنگاه عبارت (عبارت‌های) درست را علامت بزنید.

4 / 12

اگر \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\leq6\}\) و \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid-2\leq x\leq3\}\)، آن‌وقت \(n(A\cap B)+n(A\cup B)\) برابر است با:

5 / 12

عدد (عددهای) گویا را علامت بزنید.

6 / 12

در یک کلاس، از \(30\) نفر دانش‌آموز \(16\) نفر والیبال و \(20\) نفر فوتبال بازی می‌کنند. چند نفر فقط فوتبال بازی می‌کنند؟

7 / 12

اگر \(a=0.25\)، \(b=-\frac{1}{4}\)، و \(c=2\frac{1}{2}\)، آنگاه حاصل عبارت \(|a+b|+2|a-b-c|\) برابر است با:

8 / 12

اگر \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) و \(A\cap B=\{3,5\}\)، آن‌وقت \((A-B)\cup(B-A)\) برابر است با:

9 / 12

خانواده‌ای سه فرزند دارد. چقدر احتمال دارد که این خانواده حداقل یک دختر و حداقل یک پسر داشته باشند؟

10 / 12

کدام عبارت‌ (عبارت‌ها) ناحیهٔ زرد نمودار ون زیر را نشان می‌دهد؟
مجموعه

11 / 12

کدام عدد (عددها) بین \(2\) و \(3\) قرار دارند؟

12 / 12

عبارت‌های درست را علامت بزنید.

امتیاز شما

میانگین نمرات: 43%

آزمون‌های بیشتر

ویدئوی هفته

یک مسئلهٔ احتمال که اکثر افراد (با اطمینان!) به آن پاسخ نادرست می‌دهند.


ویدئوهای بیشتر

  

معرفی کتاب

معما

کتاب‌های بیشتر

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
23 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سلام
لطفا اثبات مسئله زیر بگید
یک نقطه ای بیرون خط داریم چرا یک خط موازی با ان خط بیشتر نمیتوان کشید؟

سلام
مسئله‌ای که گفتید، در واقع، اصل پنجم اقلیدس است. و اثبات ندارد! در مدتی بیش از دوهزار سال بعضی از بهترین ریاضیدانان برای اثبات اصل پنجم اقلیدس تلاش کردند؛ ولی در نهایت ثابت شد که با استفاده از چهار اصل اول اقلیدس، نمی‌توان اصل پنجم را ثابت کرد.
فورکوش بویوئی، ریاضیدان قرن نوزدهم میلادی، در نامه‌ای به پسرش یانوش، نوشت:

تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی‌ها تلاش کنی. من پنچ و خم‌های این راه را از اول تا آخر آن می‌شناسم، این شب بی‌پایان را که همهٔ روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است، سپری کرده‌ام. التماس می‌کنم که دانش موازی‌ها را رها کنی. من در این اندیشه بودم که خود را در راه حقیقت فدا کنم. حاضر بود شهیدی باشم که این نقص هندسه را مرتفع سازد و پاک‌شدهٔ آن را به عالم بشریت تقدیم نماید. من زحمتی عظیم و سترگ کشیدم. آنچه را که من آفریدم به مراتب برتز از آفریدهٔ دیگران است. ولی بازهم رضای خاطر به‌دست نیاوردم … وقتی دریافتم که هیچ‌کس نمی‌تواند به پایان این شب ظلمانی راه‌ یابد، بازگشتم: بی‌تسلای خاطر بازگشتم؛ در حالی که برای خود و بشریت متأسف بودم.

ولی یانوش بویوئی جوان از این اخطار نهراسید و در پاسخ این نامه نوشت:

اکنون نقشهٔ قطعی من این است که به محض اینکه مطالب را کامل و مرتب کنم و فرصتی به‌دست آورم، کتابی دربارهٔ موازی‌ها چاپ کنم. چیزهایی که کشف کرده‌ام به‌اندازه‌ای شگفت‌انگیزند که خودم حیرت‌زده شده‌ام. و بدبختی جبران‌ناپذیری خواهد بود اگر اینها از دست بروند. پدر جان، وقتی آنها را ببینید، خواهید فهمید که چه می‌گویم. در شرایط کنونی، تنها چیزی که می‌توانم بگویم این است که از هیچ، دنیای تازه و شگفت‌انگیز آفریده‌ام.

یانوش بویوئی هندسه‌های نااقلیدسی را کشف کرده بود.

برای اطلاعات بیشتر و دقیق‌تر دربارهٔ اصل پنجم اقلیدس، تاریخچهٔ هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی، و اصول و قضیه‌های آنها، کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی و بسط آنها را بخوانید.

سلام .الان اگر از برهان خلف نریم چطوری می تونیم ثابت کنیم که زاویه های به وجود اومده با هم برابر هستن .در حد کلاس پاره نهم

سلام
اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب در حد کلاس نهم نیست؛ به همین دلیل اثبات آن نه در کتاب درسی آمده است و نه در کتاب تکمیلی.

اما از ما خواستن که ما جواب بدیم

پس از شما بیش از کتاب ریاضی نهم و ریاضی تکمیلی نهم خواسته شده…

بله .من الان چیکار کنم

راه‌حل‌هایی هستند که نادرست‌اند! می‌توانید از آنها استفاده کنید!
برای مثال، در کامنت‌های زیر یکی از دوستان پیشنهاد داده که از همنهشتی مثلث‌ها و اینکه فاصلهٔ دو خط موازی همه‌جا یکسان است برای اثبات استفاده شود.

با سلام و خسته نباشید. برای اثبات قضیه خطوط موازی و مورب میتونیم از دو راس AوB خطی عمود بر خط مقابلشان رسم کنیم بعد هم نهشتی دو مثلث ایجاد شده را اثبات کنیم؟

می‌خواهید از اینکه طول عمودهای رسم شده برابر است استفاده کنید؟ آیا (بدون استفاده از قضیهٔ خطوط موازی و مورب) می‌توانید ثابت کنید که طول‌ عمودهای رسم شده برابر است؟

بله معذرت می خواهم نمیتونیم ثابت کنیم
خیلی ممنون

خب چرا تو عکسش انقدر کش دادید تا اثبات کنید تو همون مرحله اول B1=A1 و B1 زاویه خارجیه پس حکم رد میشه

اگر منظورتان این است که چرا از قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری) استفاده نکرده‌ایم، پاسخ این است که چون در آن قضیه یک قسمت را بدون اثبات پذیرفته‌ایم. (چرا \(F\) درون زاویهٔ \(ACD\) است؟)
برای اینکه خیالمان راحت باشد که در اثبات آن قسمت از قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری)، از عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب استفاده نمی‌شود، قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری) را به‌کار نبرده‌ایم.

اگر منظورتان این است که چرا از قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث استفاده نکرده‌ایم، پاسخ این است که چون می‌خواهیم قضیه‌ها را به‌ترتیب ثابت کنیم، نباید از قضیه‌های بعدی در قضیه‌های قبلی استفاده کنیم؛ چون ممکن است استدلالمان دچار دور تسلسل شود و در نتیجه، استدلال نادرست شود. (همان‌ کاری که مسعود در پرسش آبی‌رنگ بالا انجام داده است.)

باسلام و خسته نباشید.واقعاً چرا استدلال مسعود نادرست است؟

سلام
مسعود از «قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث» استفاده کرده است؛ برای اثبات قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث از چه قضیه‌ای استفاده می‌شود؟

یک ایراد اساسی وجود داره
شما در اثباتها از این موضوع استفاده می‌کنید که جمع زوایای مثلث ۱۸۰ درجه است در حالی‌که در خود اثبات جمع زوایا از قضیه‌ی خطوط موازی مورب استفاده میشه.

«ایراد اساسی» کجاست؟
در اثبات قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث از قضیهٔ خطوط موازی و مورب استفاده می‌شود. دقت کنید که در اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نمی‌شود.

آیا منظورتان این است که در عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب نباید از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده شود؟! توجه کنید که در اثبات قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث از عکس قضیهٔ خطوط موازی و مورب استفاده نمی‌‌شود.

خیر
ایراد من به اثبات خطوط موازی و مورب هست نه به عکس آن.
البته اثبات خود قضیه را اینجا ندیدم

واقعا ندیده‌اید؟!!!
نوشتهٔ بالا با قضیهٔ خطوط موازی و مورب و اثبات آن آغاز می‌شود.

سلام مرسی

سلام
سپاس فراوان

اثبات قضایا کاملا مهمه ، معلما وقتی میخان حل کنن به اثبات کار دارن و تو امتحانا میارن اما شما اصلا اثبات نکردین و فقط میگین بعداا

به‌دلیل درخواست‌های مکرر کاربران، اثبات همهٔ قضیه‌های هندسهٔ‌ کتاب‌های ریاضی تکمیلی هشتم و نهم نوشته شد.