قضیهٔ میانه-مساحت. میانهٔ مثلث، آن را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم می‌کند.

اثبات. در مثلث \(ABC\)، میانهٔ \(AM\) و ارتفاع \(AH\) را رسم می‌کنیم.

چون \(AM\) میانه است، پس \(BM=CM\). بنابراین، داریم:
\[\begin{aligned}S_{ABM}&=\frac{1}{2}AH\times BM\\[7pt]&=\frac{1}{2}AH\times CM\\[7pt]&=S_{ACM}.\end{aligned}\]
یعنی \(AM\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABM\) و \(ACM\) تقسیم کرده است.


عکس قضیهٔ میانه-مساحت. پاره‌خطی که یک مثلث را به دو مثلث هم‌مساحت تقسیم کند، میانهٔ آن مثلث است.

اثبات. فرض کنید \(AD\) مثلث \(ABC\) را به دو مثلث هم‌مساحت \(ABD\) و \(ACD\) تقسیم کرده باشد.

اگر \(AH\) ارتفاع مثلث \(ABC\) باشد، آن‌وقت داریم: \[\begin{aligned}&S_{ABD}=S_{ACD}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1}{2}AH\times BD=\frac{1}{2}AH\times CD\\[7pt]&\Rightarrow BD=CD.\end{aligned}\]
یعنی \(AD\) میانهٔ مثلث \(ABC\) است.

هوش ET

مسئلهٔ هفته

در چهارضلعی \(ABCD\)، دو قطر \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(E\) قطع کرده‌اند. می‌دانیم سه پاره‌خط \(AB\)، \(BC\)، و \(BD\) برابرند و اندازهٔ زاویهٔ \(CBD\) دو برابر اندازهٔ زاویهٔ \(DBA\) است.

دوازده زاویهٔ داخلی مثلث‌های \(AEB\)، \(BEC\)، \(CED\)، و \(DEA\) را در نظر بگیرید. اگر اندازهٔ همهٔ این دوازده‌تا زاویه، برحسب درجه، اعدادی صحیح باشند، و بدانیم اندازهٔ دقیقاً شش‌تا از این زاویه‌ها، برحسب درجه، عددی اول است، آن‌وقت همهٔ مقدار‌های ممکن برای زاویهٔ \(DCA\) را به‌دست آورید.

ارسال پاسخمسئله‌های بیشتر

 

جدید: ری‌آزمون فصل‌های ۳ و ۴ ریاضی نهم منتشر شد.

آزمون آنلاین

چقدر بلدم؟!
ورود به سامانهٔ ری‌آزمون

 

ویدئوی هفته

ویدئوهای بیشتر

  

جدید: درسنامه توان منتشر شد.

درسنامه توان

درسنامه‌های تکمیلی

 

صفر به توان صفر 0^0

 

اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات