برای اینکه درسنامهٔ فرمول کسر مصری با دو جمله به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


همهٔ اعداد گویای بین صفر و یک را نمی‌توان به‌صورت یک کسر مصری با دوجمله نوشت. برای مثال، برای اینکه \(\frac{3}{7}\) را به‌صورت کسر مصری بنویسیم حداقل به سه جمله نیاز داریم و برای \(\frac{9}{11}\) حداقل به چهار جمله. اما اعداد گویای زیادی هستند که می‌توان آنها را به‌صورت یک کسر مصری با دو جمله نوشت. در این جلسه، روش‌هایی برای یافتن فرمول کسر مصری با دوجمله ارائه کنیم.

روش اول: شکستن کسر

در این روش، صورت کسر را به‌صورت مجموع دو عدد طبیعی متفاوت که هر دو شمارندهٔ مخرج هستند، می‌نویسیم.

مثال ۱. هریک از کسرهای زیر را به‌صورت یک کسر مصری با دو جمله بنویسید.

الف) \(\dfrac{5}{6}\)

ب) \(\dfrac{7}{12}\)

ج) \(\dfrac{11}{30}\)

از ما بپرسید

خیر! گاهی اوقات کافی است ابتدا صورت و مخرج را در یک عدد ثابت ضرب کنیم و سپس از روش شکستن کسر استفاده کنیم. برای مثال، فرض کنید بخواهیم \(\frac{4}{7}\) را به‌صورت مجموع یک کسر مصری با دو جمله بنویسیم. داریم:
\[\begin{aligned}\frac{4}{7}&=\frac{4\times2}{7\times2}=\frac{8}{14}\\[7pt]&=\frac{7}{14}+\frac{1}{14}\\[7pt]&=\frac{1}{2}+\frac{1}{14}\cdot\end{aligned}\]

مثال ۲. ابتدا صورت و مخرج هریک کسرهای زیر را در یک عدد ثابت مناسب ضرب کنید تا بتوانید با استفاده روش شکستن کسر، آنها را به‌صورت یک کسر مصری با دو جمله بنویسید.

الف) \(\dfrac{3}{5}\)

ب) \(\dfrac{6}{11}\)

ج) \(\dfrac{2}{9}\)

د) \(\dfrac{2}{11}\)

هـ) \(\dfrac{3}{11}\)

و) \(\dfrac{4}{11}\)

روش دوم: مخرج به‌علاوهٔ ۱ بر صورت بخش‌پذیر باشد

فرض کنید بخواهیم \(\frac{a}{b}\) را ‌به‌صورت یک کسر مصری با دو جمله بنویسیم. فقط در صورتی می‌توانیم از این روش استفاده کنیم که \(b+1\) بر \(a\) بخش‌پذیر باشد؛ یعنی عددی طبیعی مانند \(q\) وجود داشته باشد به‌طوری‌که
\[\begin{aligned}&b+1=aq\\&\Rightarrow b=aq-1.\end{aligned}\]
پس:
\[\frac{a}{b}=\frac{a}{aq-1}.\]

از ما بپرسید

چندبار دیگر متن بالا را بخوانید و به‌جای \(a\) و \(b\) اعداد دلخواهی قرار دهید و ببنید به‌ازای \(a\) و \(b\)ای که مثال زده‌اید، عددی طبیعی مانند \(q\) وجود دارد یا نه. اگر بازهم متوجه نشدید، مثال‌های زیر را با دقت بخوانید و راه‌حل آنها را با متن بالا مقایسه کنید.

مثال ۳. با توجه به توضیحات بالا، در هریک از کسرهای زیر، \(a\) و \(q\) را مشخص کنید.

الف) \(\dfrac{5}{14}\)

ب) \(\dfrac{8}{31}\)

اگر \(a\) و \(q\) اعدادی طبیعی باشند، داریم:
\[\frac{a}{aq-1}=\frac{1}{q}+\frac{1}{q(aq-1)}.\quad(1)\]

مثال ۴. با استفاده از رابطهٔ \((1)\)، هریک از کسرهای زیر را به‌صورت یک کسر مصری با دو جمله بنویسید.

الف) \(\dfrac{5}{14}\)

ب) \(\dfrac{8}{31}\)

ج) \(\dfrac{3}{8}\)

از ما بپرسید

بله! فرض کنید بخواهیم \(\frac{a}{aq-1}\) را با الگوریتم حریصانه به‌‌صورت کسر مصری بنویسیم. چون \(a>1\)، پس \(\frac{1}{a}< 1\). بنابراین: \[\begin{aligned}\Big\lceil\frac{aq-1}{a}\Big\rceil&=\Big\lceil\frac{aq}{a}-\frac{1}{a}\Big\rceil\\[9pt]&=\Big\lceil q-\frac{1}{a}\Big\rceil\\[9pt]&=q.\end{aligned}\]در نتیجه: \[\begin{aligned}&\frac{a}{aq-1}-\frac{1}{\big\lceil\frac{aq-1}{a}\big\rceil}\\[9pt]&=\frac{a}{aq-1}-\frac{1}{q}\\[9pt]&=\frac{aq}{(aq-1)q}-\frac{aq-1}{(aq-1)q}\\[9pt]&=\frac{aq-aq+1}{(aq-1)q}\\[9pt]&=\frac{1}{(aq-1)q}\cdot\end{aligned}\] یعنی اگر با الگوریتم حریصانه کسر مصری \(\frac{aq}{(aq-1)q}\) را به‌دست آوریم، داریم:
\[\begin{aligned}\frac{a}{(aq-1)q}=\frac{1}{q}+\frac{1}{(aq-1)q}\end{aligned}\] که همان رابطهٔ \((1)\) است.

روش سوم: استفاده از شمارنده‌های مخرج

توجه کنید که این روش نیز مانند روش قبل، برای همهٔ کسرها نیست!

فرض کنید \(a\)، \(b\)، و \(c\) سه عدد طبیعی باشند. اگر \(a+b\) بر \(c\) بخش‌پذیر باشد. آن‌وقت داریم:
\[\frac{c}{ab}=\frac{1}{\frac{a(a+b)}{c}}+\frac{1}{\frac{b(a+b)}{c}}.\quad(2)\]

مثال ۵. با استفاده از رابطهٔ \((2)\)، هریک از کسرهای زیر را به‌‌صورت یک کسر مصری با دو جمله بنویسید.

الف) \(\dfrac{3}{14}\)

ب) \(\dfrac{4}{35}\)

ج) \(\dfrac{2}{45}\)

از ما بپرسید

بله! در واقع، در رابطهٔ \((2)\)، مشابه آنچه در مثال ۲ دیدید، صورت و مخرج کسر \(\frac{c}{ab}\) را در \(a+b\) ضرب می‌کنیم:
\[\begin{aligned}\frac{c}{ab}&=\frac{c(a+b)}{ab(a+b)}\\[9pt]&=\frac{c}{a+b}\times\frac{a+b}{ab}\\[9pt]&=\frac{c}{a+b}\times\big(\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\big)\\[9pt]&=\frac{c}{a+b}\times\big(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\big)\\[9pt]&=\frac{1}{\frac{a+b}{c}}\times\big(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\big)\\[9pt]&=\frac{1}{\frac{b(a+b)}{c}}+\frac{1}{\frac{a(a+b)}{c}}\cdot\end{aligned}\]

ساختن کسر مصری با استفاده از سه روش بالا

فرض کنید بخواهیم یک کسر مصری برای \(\frac{5}{121}\) پیدا کنیم. اگر از الگوریتم حریصانه استفاده کنیم، داریم:
\[\begin{aligned}\frac{5}{121}&=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}\\[7pt]&\qquad+\frac{1}{1527612795642093418846225}\cdot\end{aligned}\]
اما برای \(\frac{5}{121}\) کسرهای مصری دیگری نیز وجود دارد که با کمی خلاقیت و با استفاده از سه روش بالا می‌توان برخی از آنها را به‌دست آورد. برای نمونه، با استفاده از رابطهٔ \((1)\) داریم:
\[\begin{aligned}\frac{5}{121}&=\frac{1}{121}+\frac{4}{121}\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{11}\times\frac{4}{11}\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{11}\times\frac{4}{4\times3-1}\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{11}\times\big(\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times11}\big)\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{11}\times\big(\frac{1}{3}+\frac{1}{33}\big)\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{11\times3}+\frac{1}{11\times33}\\[7pt]&=\frac{1}{121}+\frac{1}{33}+\frac{1}{363}\cdot\end{aligned}\]

مثال ۶. برای هریک از اعداد زیر، حداقل یک کسر مصری بسازید.

الف) \(\dfrac{8}{11}\)

ب) \(\dfrac{4}{49}\)

ج) \(\dfrac{24}{35}\)

زنگ تفریح

ویدئوی زیر، قسمتی از یک انمیشین معروف است. حداقل دو اشتباه در این ویدئو هست؛ آنها را پیدا کنید.

برای مشاهدهٔ پاسخ، اینجا را کلیک کنید.

تمرین‌های بیشتر

برای درک عمیق‌تر دو فرمول کسر مصری که در این جلسه با آنها آشنا شدید، حتماً تمرین‌های این جلسه را حل کنید.

تمرین‌های فرمول کسری مصری

اشتراک
اطلاع از
2 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

چرا در مثال 2 قسمت(ج) 2/9 رو در 2 ضرب نکنیم بعد 1/18 و 1/6 رو بدست می یاریم دیگه لازم نیست در 5 یا 6 ضرب کنیم.