معمولاً دانش‌آموزان در عملیات پخشی (توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع)، مشکل خاصی ندارند؛ اما در فاکتورگیری (که برعکس عملیات پخشی است)، دچار مشکل می‌شوند!
\[\begin{aligned}&\overset{\text{~~~پخشی~~~}}{\longrightarrow}\\[-4pt]a(b+&c)=ab+ac\\[-4pt]&\underset{\text{فاکتورگیری}}{\longleftarrow}\end{aligned}\]
اگر با فاکتورگیری مشکل دارید، مثال‌ها و تمرین‌های زیر بخوانید و به نحوهٔ نوشتن راه‌حل‌ها دقت کنید تا ایرادهای شما در این موضوع بسیار مهم برطرف شود.

یک تمرین اساسی

همیشه پس از اینکه حاصل‌ضرب دو یا چند عبارت جبری را به‌دست آوردید، از خودتان بپرسید که اگر حاصل را به شما داده بودند، چگونه باید آن را تجزیه می‌کردید. برای مثال، وقتی حاصل \((x+3)(y+1)\) را به‌دست آورید:
\[\begin{aligned}&(x+3)(y+1)\\&=x(y+1)+3(y+1)\\&=xy+x+3y+3\\&=\Big({\color{blue}x}y+{\color{blue}x}\times1\Big)+\Big({\color{red}3}y+{\color{red}3}\times1\Big)\qquad\text{دسته‌بندی}\\&={\color{blue}x}(y+1)+{\color{red}3}(y+1)\qquad\text{3 و x فاکتورگیری از}\\&=(y+1)({\color{blue}x}+{\color{red}3})\qquad\text{y+1 فاکتورگیری از}\end{aligned}\]
از خودتان بپرسید که چگونه باید \(xy+x+3y+3\) را تجزیه کنید. پاسخ این پرسش، جلوی رویمان است! کافی است راه‌حل بالا را برعکس بنویسیم:
\[\begin{aligned}&xy+x+3y+3\end{aligned}\]

فاکتورگیری در محاسبات عددی

در برخی از تمرین‌های محاسبه‌ای، اگر از فاکتورگیری استفاده کنیم راه‌حل بسیار ساده‌تر خواهد بود.

مثال ۱. حاصل عبارت \(23\times87+77\times87\) را محاسبه کنید.

مثال ۲. در هر قسمت، تجزیه شدهٔ حاصل عبارت داده شده را بیابید.
الف) \(5\times13+12\times13\)

ب) \(37\times5-4\times25\)

ج) \(23\times50+7\times46\)

فاکتورگیری از یک‌جمله

ساده‌ترین تمرین‌های فاکتورگیری، فاکتورگیری از یک جمله‌ است. معمولاً دانش‌آموزان با چنین تمرین‌هایی مشکل چندانی ندارند.

مثال ۳. با استفاده از فاکتورگیری، جاهای خالی را پر کنید.
الف) \(-3x^4-9x^2=-3x^2(\cdots+\cdots)\)

ب) \(5x^2-20x=\cdots(\cdots-4)\)

مثال ۴. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \(6y^3z-4yz^2\)

ب) \(27x^4-18x^3+9x^2\)

ج) \((6-m)m-m(7+m)\)

مثال ۵. همهٔ اعداد طبیعی‌ مانند \(n\) را بیابید که برای آنها، حاصل عبارت \(5n^2+12n\) عددی اول شود.

فاکتورگیری از دوجمله یا بیشتر از دو جمله

با اینکه فاکتورگیری از دو جمله یا بیشتر، تفاوتی با فاکتورگیری از یک جمله ندارد، اما دانش‌آموزان معمولاً در چنین تمرین‌هایی دچار مشکل می‌شوند. برای رفع چنین مشکلی، کافی است آن چند جمله را، یک جمله یا یک موجود فرض کنیم. در راه‌حل‌های زیر، موجودی که از آن فاکتور گرفته‌ شده با رنگ متفاوت نشان داده شده است.

مثال ۶. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \((x+2)(a+b)+(x+2)(a-b)\)

ب) \((m+1)^2-2(m+1)\)

ج) \((y-1)^2+y(y-1)+8(y-1)\)

د) \((a+5)^2-(a+5)\)

فاکتورگیری دو مرحله‌ای

در بسیاری از تمرین‌های تجزیه، فقط با یک‌بار فاکتورگیری، عبارت داده شده تجزیه نمی‌شود. در برخی از این تمرین‌ها با دسته‌بندی و دوبار فاکتورگیری، می‌توان عبارت داده شده را تجزیه کرد.
مثال ۷. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید.
الف) \((x-2)(x-4)+4x-8\)

ب) \((y+1)(y+5)-3y-15\)

ج) \(m^3-2m^2+3m-6\)

د) \(n^3+n^2+n+1\)

فاکتورگیری یا اتحادها؟!

توجه کنید که وقتی از اتحادها برای تجزیه کردن استفاده می‌کنید، درواقع از همان فاکتورگیری استفاده می‌کنید! برای مثال، با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای، عبارت \(a^2+2ab+b^2\) به‌سادگی تجزیه می‌شود:
\[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.\]
در اینجا شما یک فرمول را حفظ کرده‌اید و آن را به‌کار می‌برید. اگر بخواهید یک‌بار درستی این فرمول را نشان دهید، می‌توانید این‌گونه بنویسید:
\[\begin{aligned}&a^2+2ab+b^2\\&=a^2+ab+ab+b^2\\&=({\color{red}a}^2+{\color{red}a}b)+(a{\color{blue}b}+{\color{blue}b}^2)\\&={\color{red}a}(a+b)+{\color{blue}b}(a+b)\\&=({\color{red}a}+{\color{blue}b})(a+b)\\&=(a+b)^2.\end{aligned}\]
به‌عنوان مثال دیگر، اتحاد مزدوج به‌سادگی عبارت \(a^2-b^2\) را تجزیه می‌کند:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]
اما اگر بخواهید درستی فرمول بالا را نشان دهید، می‌توانید بنویسید:
\[\begin{aligned}&a^2-b^2\\&=a^2+ab-ab-b^2\\&=(a^2+ab)+(-ab-b^2)\\&=a{\color{red}(a+b)}-b{\color{red}(a+b)}\\&=(a-b){\color{red}(a+b)}.\end{aligned}\]

تمرین‌ها

۱. هریک از عبارت‌های زیر را تجزیه کنید. (تمرین ۴ صفحهٔ ۶۵ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)
الف) $(u+1)^2-3(u+1)$
ب) $(a-18)^2+(18-a)$
ج) $(a+5)a-a(7-a)$
د) $(b-2)(b-4)+4b-8$
هـ) $(t-1)^2+t(t-1)+8(t-1)$
و) $ab-a+b-1$
ز) $xz+xw-yz-yw$
ح) $tv-tr-kv+kr$
ط) $xw-2xz-yw+2yz$
ی) $5ac-35bc-14bd+2ad$

۲. در تجزیهٔ عبارت $12ac+12bd-24bc-6ad$ کدام عبارت زیر نمی‌تواند ظاهر شود؟ (تمرین ۵ صفحهٔ ۶۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)
الف) $2c-d$
ب) $2d-4c$
ج) $2b-a$
د) $3a-6b$
هـ) $12c-6b$
و) $6a-d$

۳. برای مرکب بودن هر یک از اعداد زیر دلیل بیاورید. (تمرین ۷ صفحهٔ ۶۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)
الف) $1+2+3+\dots+97$
ب) $1\times2\times3\times \dots\times 97+83$
ج) $3^{101}+1$
د) $1^2+2^2+3^2+\dots+31^2$

۴. فرض کنید $m$ و $n$ دو عدد طبیعی باشند که $n>2$ و $m>3$. ثابت کنید حاصل عبارت‌های زیر عددی مرکب است. (تمرین ۹ صفحهٔ ۶۶ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)
الف) $1+2+3+\dots+n$
ب) \(1\times2\times3\times\dots\times m+m-2\)
ج) $n^3-2n^2$
د) $mn-n-m+1$
هـ) $m^2n-mn+n-m^2+m-1$
و) $mn^2+m-n^2-1$
ز) $2mn-4n-m+2$
ح) $mn-2n+m-2$

۵. آیا ممکن است مجموع پنج عدد طبیعی متوالی، عددی اول باشد؟ برای پاسخ خود دلیل بیاورید. (تمرین ۱۰ صفحهٔ ۶۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم)

فاکتورگیری با جئوجبرا

با استفاده از نرم‌افزار جئوجبرا و دستور Factor می‌توانید عبارت‌های جبری را تجزیه کنید. برای مشاهدهٔ فیلم آموزشی، اینجا را کلیک کنید.