برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


باقی‌ماندهٔ تقسیم بر \(x-k\)

فرض کنید \(P(x)\) یک چندجمله‌ای و \(k\) یک عدد حقیقی باشد. می‌خواهیم بدون انجام عملیات تقسیم، باقی‌ماندهٔ تقسیم \(P(x)\) بر \(x-k\) را بیابیم. در ادامه، با یک مثال، روش کار را شرح می‌دهیم.

می‌خواهیم \(x^{10}-1000\) را بر \(x-2\) تقسیم کنیم. چون مقسوم‌علیه یک چندجمله‌ای درجه \(1\) است پس یا باقی‌مانده برابر \(0\) است یا درجهٔ باقی‌مانده \(0\) است. بنابراین، می‌توانیم باقی‌مانده را به‌صورت یک عدد حقیقی، مانند \(a\) نمایش دهیم. پس اگر خارج‌قسمت را با \(Q(x)\) نمایش دهیم، رابطهٔ تقسیم به‌صورت زیر است:\[x^{10}-100=(x-2)Q(x)+a.\] در تساوی بالا، \(Q(x)\) و \(a\) ناشناس هستند. اگر \(Q(x)\) را از بین ببریم، آن‌وقت می‌توانیم \(a\) را پیدا کنیم.
می‌دانیم تساوی بالا یک اتحاد است؛ یعنی اگر به‌جای \(x\) هر عددی بگذاریم به یک تساوی عددی درست می‌رسیم. بنابراین، به‌‌جای \(x\)، عدد \(2\) را قرار می‌دهیم تا \(Q(x)\) از بین برود:
\[\begin{aligned}&2^{10}-1000=(2-2)\times Q(2)+a\\&\Rightarrow1024-1000=0\times Q(2)+a\\&\Rightarrow24=a.\end{aligned}\] پس باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^{10}-1000\) بر \(x-2\) برابر \(24\) است.

مثال ۱. بدون انجام عملیات تقسیم، باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^4-2x^2+1\) بر \(x+3\) را به‌دست آورید.


 
مثال ۲. باقی‌ماندهٔ تقسیم \(x^4+ax^3-x^2+2ax+2\) بر \(x-1\) برابر \(-2\) است. \(a\) چه عددی است؟

 

از ما بپرسید

توجه کنید که با جایگذاری ریشه مقسوم علیه در رابطهٔ تقسیم، ضریب خارج‌قسمت برابر \(0\) می‌شود و بنابراین، در معادله‌ای که تشکیل می‌شود، خارج قسمت از بین می‌رود. در نتیجه، اگر مقسوم‌علیه درجه \(1\) باشد، آن‌وقت می‌توان باقی‌مانده را به‌دست آورد.

بله! به‌شرطی‌که بتوانیم ریشه‌های مقسوم‌‌علیه را پیدا کنیم. توجه کنید که اگر مقسوم‌علیه درجه \(1\) باشد، آن‌وقت به‌سادگی می‌توان ریشهٔ آن را پیدا کرد.
اما اگر مقسوم‌علیه از درجه \(2\) یا بیشتر باشد، پیدا کردن ریشه‌های آن لزوماً کار ساده‌ای نیست و البته، باقی‌مانده نیز می‌تواند از درجهٔ \(1\) یا بیشتر باشد.
در مثال‌های بعدی، می‌بنیید که در بعضی از موارد، این کار را می‌توان انجام داد و در بعضی از موارد نمی‌توان.


مثال ۳. آیا بدون انجام عملیات تقسیم، می‌توانیم باقی‌ماندهٔ تقسیم \(2x^4-2x^3-3x^2-7\) بر \((x+1)(x-2)\) را به‌دست آوریم؟


 
مثال ۴. آیا با روشی که در راه‌حل مثال ۳ ارائه شد، می‌توان باقی‌ماندهٔ تقسیم \(3x^5-6x^4+3x^3+2x^2-3x-3\) بر \((x-1)^2\) را به‌دست آورد؟

 
مثال ۵. چندجمله‌ای \(x^{10}+x^2-10\) را بر \(x^2-2x+1\) تقسیم کرده‌ایم. می‌دانیم خارج‌قسمت به‌ازای \(x=-1\) برابر \(6\) است. آیا می‌توان بدون انجام عملیات تقسیم، مقدار باقی‌مانده را به‌ازای \(x=-1\) به‌دست آورد؟

زنگ تفریح


برای تسلط بیشتر به این مبحث، حتماً تمرین‌های ریشه مقسوم علیه و محاسبهٔ باقی‌مانده را حل کنید.

تمرین‌های ریشه مقسوم علیه و محاسبهٔ باقی‌مانده

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات