دو ضلع و زاویه بین
پیشرفت تحصیلی سمپاد

اصل ض‌ز‌ض (دو ضلع و زاویه بین). اگر دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر باشند، آنگاه این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.


فرض. دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی با دو ضلع و زاویهٔ بین آنها از مثلثی دیگر برابر هستند.
حکم. این دو مثلث هم‌نهشت‌اند.


ماروین جی گرینبرگ در (صفحهٔ ۹۳ و ۹۴) کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی دربارهٔ اصل ض‌ز‌ض، این‌گونه نوشته است:
همان‌گونه که گفتیم، اقلیدس ض‌زض را یک اصل نگرفته، بلکه سعی کرده است آن را به‌عنوان قضیه‌ای ثابت کند. برهای وی این‌چنین است.

دو ضلع و زاویه بین

مثلث \(A’B’C’\) را چنان حرکت می‌دهیم که \(A’\) روی \(A\) قرار گیرد و \(A’B’\) بر \(AB\). از آنجا که مطابق فرض \(AB=A’B’\)، پس \(B’\) باید بر نقطهٔ \(B\) منطبق شود. چون \(\widehat{A}=\widehat{A’}\)، \(A’C’\) باید بر \(AC\) قرار گیرد، و چون \(AC=A’C’\)، نقطهٔ \(C’\) باید بر \(C\) منطبق شود. لذا \(B’C’\) بر \(BC\)، و بقیهٔ زاویه‌ها بر بقیهٔ زاویه‌ها منطبق خواهند شد، و بدین‌ترتیب مثلث‌ها همنهشت می‌شوند.

این برهان برهمنهش نام دارد و از تجربه رسم دو مثلث بر یک صفحهٔ کاغذ و بریدن یکی از آنها و گذاشتن به روی دیگری ناشی شده است. اگرچه این راه برای متقاعد کردن یک مبتدی هندسه در قبول ض‌ز‌ض راه خوبی است، ولی این، برهان نیست. اقلیدس آن را با اکراه، جز در اینجا، تنها در یک جای دیگر هم به‌کار برده است. این یک برهان نیست زیرا اقلیدس هرگز اصلی ذکر نکرده که به اتکای آن شکل‌ها بتوانند حرکت کنند بی‌آنکه اندازه و شکلشان تغییر کند.

برخی از مؤلفان جدید «حرکت» را اصطلاحی تعریف نشده می‌گیرند و اصولی برای این اصطلاح وضع می‌کنند. (برای مثال، در «مبانی هندسه» اثر پیری، «نقطه» و «حرکت» تنها اصطلاحات تعریف نشده‌اند.) و در غیر این‌صورت هندسه برمبنای دیگری بنا می‌شود، یعنی «فاصله‌ها» مطرح می‌شوند و «حرکت» به‌عنوان تبدیل یک‌به‌یک صفحه بر روی خودش، که فاصله را حفظ می‌کند، تعریف می‌شود. احکام هندسه اقلیدس را می‌توان با هر دو روش اثبات کرد. در واقع فلیکس کلاین در برنامهٔ ارلانگر خود در \(1872\)، هندسه را مطالعهٔ ویژگی‌هایی از شکل‌ها تعریف می‌کند که بر اثر گروه خاصی از تبدیلات، ناوردا می‌مانند.


دیدگاه بگذارید

avatar
  Subscribe  
Notify of