دنباله
آزمون تیزهوشان هفتم به هشتم

آزمون تیزهوشان هفتم به هشتم

منظور از یک دنباله، معمولاً یک لیست نامتناهی از اعداد است. (برای تعریف دقیق دنباله، به مفهوم تابع نیاز داریم.)
اعداد یک دنباله معمولاً به‌صورت
\[a_1,a_2,a_3,\dots\]
نوشته می‌شوند که در اینجا منظور از سه‌نقطه این است که لیست اعداد تا ابد ادامه خواهد داشت. دنبالهٔ زیر، یک مثال ساده است.
\[\begin{aligned}\begin{matrix}5,&10,&15,&20,&25,\dots\\{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow\;\;\;\;\;}\\{\color{blue}a_1}&{\color{blue}a_2}&{\color{blue}a_3}&{\color{blue}a_4}&{\color{blue}a_5\dots}\end{matrix}\end{aligned}\]

فرمول زیر، جملهٔ عمومی دنبالهٔ بالا است.
\[a_n=5n.\]
البته می‌توان فرمول‌های دیگری نیز برای دنبالهٔ بالا ساخت. برای مثال، می‌توان گفت که اولین جملهٔ این دنباله $5$ است و برای اعداد دیگرِ آن، هر عدد از عدد قبلی‌اش، $5$ واحد بیشتر است؛ یا به زبان نمادین:
\[\left\{\begin{aligned}&a_1=5,\\&a_n=a_{n-1}+5,\quad n\geq2.\end{aligned}\right.\]

به‌عنوان یک مثال سادهٔ دیگر، برای دنبالهٔ  با جملهٔ عمومی $a_n=2n$ داریم:
\[\begin{matrix}2,&4,&6,&\dots,&2n,\dots\\{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow}&{\color{blue}\uparrow}&&{\color{blue}\uparrow}\;\;\;\;\;\\{\color{blue}\text{جملهٔ اول}}&{\color{blue}\text{جملهٔ دوم}}&{\color{blue}\text{جملهٔ سوم}}&&{\color{blue}\text{اُم}n\;\text{جملهٔ}}\;\;\end{matrix}\]

توجه کنید که وقتی فرمول $a_n=2n$ را داریم، یعنی همهٔ جمله‌های دنباله را داریم! برای مثال، به‌ازای مقدارهای $1$، $2$، $3$ برای $n$ داریم:
\[\begin{aligned}&a_{\color{red}1}=2\times{\color{red}1}=2,\\&a_{\color{red}2}=2\times{\color{red}2}=4,\\&a_{\color{red}3}=2\times{\color{red}3}=6,\\&\end{aligned}\]برای پیدا کردن جملهٔ $103$اُم این دنباله، کافی است قرار دهیم $n=103$ و
\[a_{\color{red}103}=2\times{\color{red}103}=206.\]

پرسش ۱. آیا وقتی جملهٔ عمومی یک دنباله را داریم، می‌توانیم ادعا کنیم که همهٔ جمله‌های آن دنباله را می‌شناسیم؟


پرسش ۲. آیا وقتی پنج جملهٔ اول یک دنباله را داریم، می‌توانیم ادعا کنیم که همهٔ جمله‌های آن دنباله را می‌شناسیم؟

پرسش ۳. جمله‌های یک دنباله را با $a_n$ نمایش داده‌ایم. آیا $a$ متغیر است؟ $n$ چطور؟


مثال ۱. برای هریک از دنباله‌های زیر، پنج جملهٔ اول و جملهٔ صدم را بیابید.
الف) $a_n=2n-1$
ب) $c_n=n^2-1$
ج) $t_n=\frac{n}{n+1}$
د) $r_n=\frac{(-1)^n}{2^n}$


می‌توان تعدادی از جمله‌های یک دنباله را در یک نمودار نشان داد. برای مثال، دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید.
\[1,3,5,7,9,11,\dots,2n-1,\dots\]
در نمودار زیر، شش جملهٔ اول دنبالهٔ بالا نشان داده شده است.
دنباله

پرسش ۴. به نظر شما، چرا به دنبالهٔ $t_n=2n-1$ یک الگوی خطی (دنبالهٔ درجهٔ ۱) می‌گویند؟

پرسش ۵. منظور از اینکه جملهٔ عمومی هر الگوی خطی را می‌توان به‌صورت $t_n=an+b$ نمایش داد، چیست؟

مثال ۲. شش جملهٔ اول هریک از دنباله‌های زیر را روی یک نمودار نشان دهید.
الف)
\[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\dots,\frac{1}{n},\dots\]


ب)
\[1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},-\frac{1}{6},\dots,\frac{(-1)^{n+1}}{n},\dots\]

پرسش ۶. به نظر شما، چرا به دنباله‌های بالا، الگوی غیرخطی می‌گویند؟

پرسش ۷. به نظر شما، چرا به دنبالهٔ $a_n=2n^2-1$ یک الگوی غیرخطی می‌گویند؟ آیا می‌توان این دنباله را یک الگوی درجهٔ ۲ نامید؟


مثال ۳. در هریک از موارد زیر، جملهٔ عمومی دنباله را پیدا کنید.
الف)
\[\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\frac{7}{8},\dots\]


ب)
\[-2,4,-8,16,-32,\dots\]


تمرین‌ها

۱. برای هریک از دنباله‌های زیر، چهار جملهٔ اول و جملهٔ صدم را بیابید.
الف) $a_n=n^2-1$


ب) $c_n=\frac{(-1)^n}{n^2}$

ج) $t_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}$

د) $s_n=1+(-1)^n$

هـ) $r_n=3$


۲. جملهٔ عمومی هریک از دنباله‌های زیر را بیابید.
الف) $2,4,8,16,\dots$

ب) $-\frac{1}{3},\frac{1}{9},-\frac{1}{27},\frac{1}{81},\dots$

ج) $3,0.3,0.03,0.003,\dots$

د) $-2,3,8,13,\dots$

هـ) $2,6,18,54,\dots$

و) $1,\frac{3}{4},\frac{5}{9},\frac{7}{16},\frac{9}{25},\dots$

ز) $6,8,6,8,6,8,6,8,\dots$

ح) $1,\frac{1}{2},3,\frac{1}{4},5,\frac{1}{6},\dots$


۳. در هریک از الگوهای چوب‌کبریتی زیر، تعداد چوب‌کبریت‌ها یک دنباله می‌سازند. جملۀ عمومی هر دنباله را بیابید.

الف)

دنباله


ب)

دنباله


۴. جملۀ عمومی یک دنباله به‌صورت $a_n=‎\frac{3n-1}{n+2}‎$ است. جملۀ چندم این دنباله برابر $‎\frac{20}{9}‎$ می‌شود؟


۵. اگر جملۀ پنجم یک دنبالۀ خطی $17$ و جملۀ دوازدهم آن $52$ باشد، آن‌وقت جملۀ عمومی این دنباله را به‌دست آورید.


۶. هلن، از وقتی مشغول به کار شده است، هر ماه $100$ دلار در حساب بانکی‌اش پس‌انداز می‌کند. بانک، سالانه $6$ درصد سودِ ماه‌شمار به او می‌دهد. مقدار پول هلن، در ماه $n$اُم از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید.
\[c_n=100\left(\frac{1.005^n-1}{0.005}-n\right).\]

الف) شش جملهٔ اول دنبالهٔ بالا را محاسبه کنید.

ب) سود پول هلن پس از $5$ سال چقدر است؟

دنباله


۷. در یک کشور، میانگین قیمت یک کالا هر سال $6$ درصد افزایش یافته است. در سال $2002$ میانگین قیمت این کالا $240\,000$ دلار بوده است. فرض کنید $a_n$ نشان‌دهندهٔ میانگین قیمت این کالا برای $n$ سال پس از سال $2002$ باشد.

الف) فرمول دنبالهٔ $a_n$ را بیابید.

ب) میانگین قیمت این کالا در سال $2010$ چقدر بوده است؟


۸. سه جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
\[1,4,9,\dots.\]
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.


۹. چهار جملهٔ اول یک دنباله را داریم:
\[2,4,8,16,\dots.\]
برای این دنباله، دو جملهٔ عمومی متفاوت پیدا کنید و در هریک، سه جملهٔ بعدی را بنویسید.


پرسش و پاسخ‌های منتخب

سؤال‌های خود را در قسمت دیدگاه‌های زیر بپرسید. پرسش و پاسخ‌های منتخب و مفید به این قسمت اضافه می‌شوند.

۱. …

۲. …

 


خودآزمایی


یک سؤال از کنکورهای سراسری

تجربی ۹۸. سؤال ۱۵۳. در شکل زیر، تعداد نقطه‌ها، در شکل نهم، کدام است؟

دنباله۱) $117$
۲) $120$
۳) $123$
۴) $125$


دنباله های معروف

برای کسب اطلاعات دربارهٔ دنباله‌های معروف، کافی است چند جمله‌ٔ ابتدایی یک دنبالهٔ معروف را در سایت زیر وارد کنید!

آزمون تیزهوشان هفتم به هشتم

3
دیدگاه بگذارید

avatar
2 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
Takmiliمریم رضائی Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
مریم رضائی
Member
مریم رضائی

البته اگر تصمیم بر گذاشتن همچین محتوایی بود لطفا طوری باشد که کسانی که به پایه ی بالاتر از دهم می روند مانند من نیز بتوانند استفاده کند.

مریم رضائی
Member
مریم رضائی

سلام. راستش این یک پیشنهاد هست درسته که این سایت برای ریاضیات دوره اول متوسطه هست اما اگر بشود فعالیتتان برای دوره دوم نیز باشد ممنون میشوم من پایه دهم هستم و الان کتاب تکمیلی وجود ندارد و به نظرم واقعا لازم هست که برای متوسطه دوم هم این کتب و همچین محتوایی ایجاد گردد و همچنین معرفی چنین سایت هایی که یک مورد در مبحث دنباله ها آمده بود هم بسیار مفید است و یا هر چندوقت یک بار مسائلی برای محتوای تکمیلی گذاشته شود .
باتشکر