دنبالهٔ حسابی
مسابقه ریاضی

شاید آسان‌ترین روش برای تولید یک دنباله این باشد که از عدد $a$ شروع کنیم و برای ساختن جمله‌های بعدی، هر بار، جملهٔ قبلی را با عدد ثابت $d$ جمع کنیم.

تعریف دنبالهٔ حسابی. یک دنبالهٔ حسابی، دنباله‌ای به‌صورتِ\[a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\dots\]است که در آن عدد $a$ جملهٔ اول دنباله است و عدد $d$ را قدرنسبت دنباله می‌نامند.

بنابه تعریف دنبالهٔ حسابی، اگر $a$ و $d$ به‌ترتیب جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی باشند، آن‌وقت جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=a+(n-1)d.\]


مثال ۱. در یک دنبالهٔ حسابی، اگر $a=2$ و $d=3$، آن‌وقت پنج جملهٔ اول و جمله‌ٔ عمومی آن را بنویسید.


مثال ۲. قدرنسبت و جملهٔ عمومی دنبالهٔ زیر را به‌دست آورید.\[9,4,-1,-6,-11,\dots\]


پرسش ۱. قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی چه خاصیتی داشته باشد تا جمله‌های آن، کاهشی باشند؟


مثال ۳. الف) شش جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی $a_n=1+2(n-1)$ را روی یک نمودار نشان دهید.
ب) نشان دهید که همهٔ جمله‌های دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ روی یک خط قرار دارند و معادلهٔ آن خط را به‌دست آورید.
ج) شیب خط به‌دست آمده در قسمت «ب» نشان‌دهندهٔ چه چیزی در دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ است؟


مثال ۴. دنبالهٔ زیر، یک دنبالهٔ حسابی است.\[13,7,1,-5,\dots\]
جملهٔ عمومی و سیصدمین جملهٔ این دنباله را به‌دست آورید.


مثال ۵. دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی، می‌دانیم $11$اُمین جملهٔ آن برابر $52$، و $19$اُمین جمله‌اش برابر $92$ است. هزارمین جملهٔ این دنباله، چه عددی است؟


واسطهٔ حسابی

واسطهٔ حسابی (یا میانگینِ) دو عدد $a$ و $b$ برابر است با:\[m=\frac{a+b}{2}.\]واضح است که $a$ و $b$ فاصلهٔ یکسانی از $m$ دارند. بنابراین، دنبالهٔ\[a,m,b,\dots\]یک دنبالهٔ حسابی است. برای مثال، $m=14$ واسطهٔ حسابی بین $10$ و $18$ است.

در حالت کلی، اگر $m_1$، $m_2$، $m_3$، $\dots$، $m_k$ اعدادی با فاصله‌های یکسان بین $a$ و $b$ باشند به‌طوری‌که
\[a,m_1,m_2,m_3,\dots,m_k,b,\dots\]یک دنبالهٔ حسابی باشد، آن‌وقت $m_1$، $m_2$، $m_3$، $\dots$، $m_k$ را $k$ تا واسطهٔ حسابی بین $a$ و $b$ می‌نامند.

مثال ۶. بین $10$ و $18$، دوتا واسطهٔ حسابی درج کنید.


مثال ۷. بین $10$ و $18$ سه‌تا واسطهٔ حسابی درج کنید.


رابطهٔ واسطهٔ حسابی. اگر $b$ واسطهٔ حسابی دو عدد $a$ و $c$ باشد، آن‌وقت:\[a+c=2b.\]


مثال ۸. اگر $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ پشت‌سرهم از یک دنبالهٔ حسابی باشند، آن‌وقت ثابت کنید:\[a+c=2b.\]


مثال ۹. در یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم جملهٔ هفتم برابر $10$ و جملهٔ سیزدهم برابر $23$ است. جملهٔ دهم این دنباله را محاسبه کنید.


مثال ۱۰. در هر دنبالهٔ حسابی، مانند $a_n$، ثابت کنید:
الف) اگر $p+q=r+s$، آن‌وقت $a_p+a_q=a_r+a_s$.


ب) در یک دنبالهٔ حسابی، می‌دانیم:
\[a_5+a_7=100.\]
در این دنباله، جفت جمله‌های دیگری را که مجموعشان برابر $100$ می‌شود، بیابید.


تمرین‌ها

تمرین ۱. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا پنج جملهٔ اول هر دنباله را به‌دست آورید و آنها را روی یک نمودار نشان دهید. سپس قدرنسبت هر دنباله را تعیین کنید.
الف) $a_n=-6-4(n-1)$


ب) $b_n=\frac{5}{2}-(n-1)$


تمرین ۲. در هریک از قسمت‌های زیر، جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. ابتدا جملهٔ عمومی هر دنباله را به‌دست آورید. سپس جملهٔ دهم هر دنباله را محاسبه کنید.
الف) $a=14$ و $d=-\frac{3}{2}$


ب) $a=\sqrt{3}$ و $d=\sqrt{3}$


تمرین ۳. در هریک از قسمت‌های زیر، چهارجملهٔ اول یک دنباله داده شده است. دنباله‌هایی را که می‌توانند یک دنبالهٔ حسابی باشند، مشخص کنید و جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $-31,-19,-7,4,\dots$


ب) $16,9,2,-5,\dots$

ج) $2,4,8,16,\dots$

د) $2,4,6,8,\dots$


تمرین ۴. در هریک از قسمت‌های زیر، تعیین کنید که دنبالهٔ داده شده، یک دنبالهٔ حسابی هست یا نه. در صورتی که دنباله حسابی هست، جملهٔ عمومی آنها را به‌صورت استاندارد، یعنی $a_n=a+(n-1)d$، بنویسید.
الف) $a_n=4+7n$


ب) $b_n=4+2^n$

ج) $c_n=\frac{1}{1+2n}$

د) $d_n=1+\frac{n}{2}$

هـ) $e_n=6n-10$

د) $f_n=3+(-1)^nn$


تمرین ۵. در هریک از قسمت‌های زیر، اطلاعاتی دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی داده شده است. به پرسش هر قسمت پاسخ دهید.
الف) صدمین جمله برابر $-750$، و قدرنسبت برابر $-20$ است. پنجمین جمله چیست؟


ب) نهمین جمله برابر $\frac{2}{3}$، و چهاردهمین جمله برابر $\frac{1}{4}$ است. جملهٔ عمومی چیست؟

ج) اولین جمله برابر $3500$، و قدر نسبت برابر $-15$ است. چندمین جمله برابر $2795$ است؟

د) جملهٔ بیستم برابر $100$، و جملهٔ اول با قدرنسبت برابر است. جملهٔ دهم چه عددی است؟


تمرین ۶. مینو، به‌دلیل بیماری‌اش، تا امروز $100$ میلی‌گرم از دارویی را استفاده می‌کرده است. دکترِ مینو به او گفته که از فردا تا پنج روز بعد، هر روز به مقدار یکسانی، دُز دارویش را افزایش دهد به‌طوری‌که در روز پنجم، دُز دارو به $300$ میلی‌گرم برسد. در هریک از چهار روز آینده، مینو باید چقدر از دارویش را مصرف کند؟


تمرین ۷. بین دو عدد $131$ و $254$، نود و شش عدد درج کرده‌ایم، به گونه‌ای که این نود و هشت عدد یک دنباله حسابی می‌سازند. جملهٔ یازدهم این دنبالهٔ حسابی را به‌دست آورید.


تمرین ۸. دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم:
\[a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224.\]
آیا می‌توانیم جملهٔ دهم این دنباله را بیابیم؟ جملهٔ عمومی را چطور؟


تمرین ۹. فرض کنید $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ متوالی از یک دنبالهٔ حسابی باشند. ثابت کنید:\[a^2+8bc=(2b+c)^2.\]


تمرین ۱۰. بین دو عدد $12$ و $47$، سه واسطهٔ حسابی درج کرده‌ایم. حاصل‌جمع این سه‌ واسطهٔ حسابی را به‌دست آورید.


تمرین ۱۱. حسن جمله‌های مشترک دنباله‌های حسابی\[3, 7, 11,. . .\]و\[2, 9, 16,. . .\]را به‌صورت یک دنباله نوشته است. جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسن را بیابید.


تمرین ۱۲. نشان دهید که یک مثلث قائم‌الزاویه که ضلع‌های آن جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی هستند، همواره با مثلثی به اضلاع $3$، $4$، و $5$، متشابه است.


تمرین ۱۳. ثابت کنید که اگر $25$، $43$، و $70$ سه جمله از یک دنبالهٔ‌ حسابی باشند، آن‌وقت $2005$ نیز یکی از جمله‌های آن دنبالهٔ حسابی است.


پرسش و پاسخ‌های منتخب مبحث دنبالهٔ حسابی

سؤال‌های خود را در قسمت دیدگاه‌های زیر بپرسید. پرسش و پاسخ‌های منتخب و مفید به این قسمت اضافه می‌شوند.

۱. …

۲. …


خودآزمایی


سؤال‌هایی از کنکورهای سراسری

ریاضی ۹۵ (خارج از کشور). سؤال ۱۰۵. در دنباله‌های حسابیِ \[2,9,16,23,\dots\] و \[12,17,22,27,\dots\] چند عدد سه رقمی مشترک کوچک‌تر از $300$، موجود است؟
۱) $5$
۲) $6$
۳) $7$
۴) $8$


تجربی ۹۸ (خارج از کشور). سؤال ۱۵۳. در الگوی زیر، تعداد نقطه‌ها در شکل دوازدهم، کدام است؟

دنبالهٔ حسابی۱) $34$
۲) $36$
۳) $38$
۴) $40$

مسابقه ریاضی

دیدگاه بگذارید

avatar
  Subscribe  
Notify of