دنبالهٔ حسابی

شاید آسان‌ترین روش برای تولید یک دنباله این باشد که از عدد $a$ شروع کنیم و برای ساختن جمله‌های بعدی، هر بار، جملهٔ قبلی را با عدد ثابت $d$ جمع کنیم.

تعریف دنبالهٔ حسابی
یک دنبالهٔ حسابی، دنباله‌ای به‌صورتِ\[a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\dots\]است که در آن عدد $a$ جملهٔ اول دنباله است و عدد $d$ را قدرنسبت دنباله می‌نامند.
جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی
بنابه تعریف دنبالهٔ حسابی، اگر $a$ و $d$ به‌ترتیب جملهٔ اول و قدرنسبت یک دنبالهٔ حسابی باشند، آن‌وقت جملهٔ عمومی این دنباله برابر است با:\[a_n=a+(n-1)d.\]

مثال ۱. در یک دنبالهٔ حسابی، اگر $a=2$ و $d=3$، آن‌وقت پنج جملهٔ اول و جمله‌ٔ عمومی آن را بنویسید.

مثال ۲. قدرنسبت و جملهٔ عمومی دنبالهٔ زیر را به‌دست آورید.\[9,4,-1,-6,-11,\dots\]

از ما بپرسید

اگر قدر نسبت یک دنبالهٔ حسابی عددی منفی باشد، آن‌وقت جمله‌های آن، کاهشی خواهند بود. مثال:\[9,4,-1,-6,-11,\dots\]
اگر قدر نسبت یک دنبالهٔ حسابی عددی مثبت باشد، آن‌وقت جمله‌های آن، افزایشی خواهند بود. مثال:\[2,5,8,11,14,\dots\]
اگر قدر نسبت یک دنبالهٔ حسابی برابر صفر باشد، آن‌وقت جمله‌های آن، ثابت هستند. مثال:\[3,3,3,3,3,\dots\]

جملهٔ عمومی هر دنبالهٔ خطی به‌صورت \(t_n=an+b\) است و جملهٔ عمومی هر دنبالهٔ حسابی به‌صورت \(a_n=a+(n-1)d\). پس چون:
\[\begin{aligned}a_n&=a+(n-1)d\\&=a+nd-d\\&=nd+(a-d)\end{aligned}\]
با مقایسهٔ \(a_n\) و \(t_n\) به‌سادگی می‌توان نتیجه گرفت که هر دنبالهٔ حسابی، یک دنبالهٔ خطی است و برعکس.

مثال ۳. الف) شش جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی $a_n=1+2(n-1)$ را روی یک نمودار نشان دهید.
ب) نشان دهید که همهٔ جمله‌های دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ روی یک خط قرار دارند و معادلهٔ آن خط را به‌دست آورید.
ج) شیب خط به‌دست آمده در قسمت «ب» نشان‌دهندهٔ چه چیزی در دنبالهٔ $a_n=1+2(n-1)$ است؟


مثال ۴. دنبالهٔ زیر، یک دنبالهٔ حسابی است.\[13,7,1,-5,\dots\]
جملهٔ عمومی و سیصدمین جملهٔ این دنباله را به‌دست آورید.


مثال ۵. دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی، می‌دانیم $11$اُمین جملهٔ آن برابر $52$، و $19$اُمین جمله‌اش برابر $92$ است. هزارمین جملهٔ این دنباله، چه عددی است؟

مثال ۶. مینو، به‌دلیل بیماری‌اش، تا امروز $100$ میلی‌گرم از دارویی را استفاده می‌کرده است. دکترِ مینو به او گفته که از فردا تا پنج روز بعد، هر روز به مقدار یکسانی، دُز دارویش را افزایش دهد به‌طوری‌که در روز پنجم، دُز دارو به $300$ میلی‌گرم برسد. در هریک از چهار روز آینده، مینو باید چقدر از دارویش را مصرف کند؟

مثال ۷. در الگوی زیر، تعداد دایره‌های شکل دوازدهم چندتاست؟
دنباله حسابی


برای اینکه به مطالب این درس مسلط‌تر شوید، تمرین‌های دنبالهٔ حسابی را حل کنید.

تمرین‌های دنبالهٔ حسابی

اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات