دانش‌آموزان عزیز می‌توانند با حل این مسائل میزان توانایی خود را در مباحث فصل ۱ ریاضی دهم بسنجند. معلم‌های عزیز می‌توانند از این مسائل در کلاس درس یا آزمون‌ها استفاده کنند.
تعداد این مسائل، به‌مرور افزایش می‌یابد.
اگر مسئله‌ای مربوط به فصل ۱ ریاضی دهم دارید و نمی‌توانید آن را حل کنید، آن را در قسمت کامنت‌های این صفحه بنویسید.
در صورتی که کارشناسان سایت تکمیلی تشخیص دهند که مسئلهٔ شما قابلیت اضافه شدن به مسائل این صفحه را دارد، آن را با پاسخ تشریحی در همین صفحه قرار می‌دهند.
در یک دنبالۀ حسابی جملۀ بیستم برابر \(100\) است، و جملۀ اول و قدرنسبت باهم برابرند. مجموع حداکثر چند جملۀ نخست این دنباله از \(240\) کوچکتر است؟
فرض کنیم جملهٔ عمومی این دنبالهٔ حسابی \(a_n\) و قدرنسبت آن \(d\) باشد. بنابه فرض مسئله، \(a_1=d\) و \(a_{20}=100\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&a_n=a_1+(n-1)d\\&\Rightarrow a_{20}=a_1+19a_1\\&\Rightarrow100=20a_1\\&\Rightarrow5=a_1.\end{aligned}\] پس جمله‌های دنبالهٔ \(a_n\) به‌صورت زیر هستند:
\[5,10,15,20,25,30,\dots.\]
حال باید بزرگ‌ترین \(m\)ای را پیدا کنیم که به‌ازای آن داشته باشیم:
\[a_1+a_2+a_3+\dots+a_m\leq240.\]
چون \(a_1=d\)، پس:
\[\begin{aligned}&a_1+a_2+a_3+\dots+a_m\\&=a_1+\big(a_1+d\big)+\big(a_1+2d\big)+\dots+\big(a_1+(m-1)d\big)\\&=a_1+\big(a_1+a_1\big)+\big(a_1+2a_1\big)+\dots+\big(a_1+(m-1)a_1\big)\\&=a_1+2a_1+3a_1+\dots+ma_1\\&=(1+2+3+\dots+m)a_1\\&=\frac{m(m+1)}{2}a_1\\&=\frac{m(m+1)}{2}\times5\end{aligned}\] در نتیجه:
\[\begin{aligned}&\frac{m(m+1)}{2}\times5\leq240\\[7pt]&\Rightarrow m(m+1)\leq240\times\frac{2}{5}\\[7pt]&\Rightarrow m(m+1)\leq96.\end{aligned}\]
بنابراین، بزرگ‌ترین مقدار \(m\) برابر \(9\) است.
در یک دنبالۀ هندسی جمله‌های \(20\)اُم و \(24\)اُم به‌ترتیب \(\frac{1}{9}\) و \(9\) هستند. جملۀ دهم این دنباله را به‌دست آورید.
جملهٔ عمومی این دنباله را با \(t_n\) نمایش می‌دهیم و ابتدا قدرنسبت آن را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}&t_{20}=t_1r^{19}=\frac{1}{9}\\[7pt]&t_{24}=t_1r^{23}=9\end{aligned}\right\}&\Rightarrow\frac{t_1r^{23}}{t_1r^{19}}=\frac{9}{\frac{1}{9}}\\&\Rightarrow r^4=81\\&\Rightarrow r=3.\end{aligned}\]
حال، جملهٔ اول این دنباله را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&t_{24}=t_1r^{23}=9\\&\Rightarrow t_1\times3^{23}=3^2\\&\Rightarrow t_1=\frac{3^2}{3^{23}}\\[5pt]&\Rightarrow t_1=3^{-21}.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}t_{10}&=t_1r^9\\&=3^{-21}\times3^9\\&=3^{-12}.\end{aligned}\]
در یک دنبالۀ هندسی حاصل‌جمع جمله‌های اول و چهارم برابر \(56\)، و حاصل‌جمع جمله‌های دوم و سوم برابر \(24\) است. قدرنسبت این دنباله را بیابید.
اگر جملهٔ عمومی این دنباله را با \(t_n\) و قدرنسبت آن را با \(r\) نمایش دهیم، داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}t_1+t_1r^3=56\\t_1r+t_1r^2=24\end{aligned}\right\}&\Rightarrow\frac{t_1(1+r^3)}{t_1(r+r^2)}=\frac{56}{24}\\&\Rightarrow\frac{1+r^3}{r+r^2}=\frac{7}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{(1+r)(1-r+r^2)}{r(1+r)}=\frac{7}{3}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{1-r+r^2}{r}=\frac{7}{3}\\[7pt]&\Rightarrow3-3r+3r^2=7r\\&\Rightarrow3r^2-10r+3=0\\&\Rightarrow(3r-1)(r-3)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&3r-1=0\Rightarrow r=\frac{1}{3}\\&r-3=0\Rightarrow r=3\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
اگر جمله‌های یک دنبالۀ حسابی افزایشی، زیرمجموعهٔ عددهای طبیعی باشند و مجموع \(20\) جملۀ نخست این دنباله \(410\) باشد، آنگاه مجموع \(10\) جملۀ نخست این دنباله را بیابید. (در دنبالهٔ حسابی افزایشی، هر جمله از جملهٔ قبلش بزرگ‌تر است.)
اگر جملهٔ عمومی این دنباله را با \(a_n\) و قدرنسبت آن را با \(d\) نمایش دهیم، آنگاه داریم:
\[\begin{aligned}&a_1+a_2+\dots+a_{20}=410\\&\Rightarrow a_1+(a_1+d)+\dots+(a_1+19d)=410\\&\Rightarrow20a_1+(1+\dots+19)d=410\\&\Rightarrow20a_1+\frac{19\times20}{2}d=410\\&\Rightarrow20a_1+190d=410\\[6pt]&\Rightarrow\frac{20a_1+190d}{10}=\frac{410}{10}\\[6pt]&\Rightarrow2a_1+19d=41.\end{aligned}\]
چون این دنبالهٔ حسابی افزایشی است و جمله‌های آن زیرمجموعهٔ اعداد طبیعی هستند، پس: \[a_1,d\in\mathbb{N}.\] در نتیجه، معادلهٔ \(2a_1+19d=41\) فقط یک جواب دارد:
\[d=1,a_1=11.\] (چرا؟)
اگر \(d=2\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&2a_1+19d=41\\&\Rightarrow2a_1+19\times2=41\\&\Rightarrow2a_1=3\\&\Rightarrow a_1=\frac{3}{2}\notin\mathbb{N}.\end{aligned}\]
پس برای \(d=2\) معادلهٔ \(2a_1+19d=41\) جواب طبیعی ندارد.
اگر \(d=3\)، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&2a_1+19d=41\\&\Rightarrow2a_1+19\times3=41\\&\Rightarrow2a_1=19-57\\&\Rightarrow2a_1=-38\\&\Rightarrow a_1=-19\notin\mathbb{N}.\end{aligned}\]
پس برای \(d=3\) معادلهٔ \(2a_1+19d=41\) جواب طبیعی ندارد.
واضح است که برای \(d\geq3\) تمام مقدارهای \(a_1\) در معادلهٔ \(2a_1+19d=41\) عددی منفی خواهد بود. به‌عبارت دیگر، به‌ازای \(d\geq3\) معادلهٔ \(2a_1+d=41\) جواب طبیعی ندارد.
بنابراین، مجموع \(10\) جملهٔ نخست این دنباله برابر است با:
\[\begin{aligned}&a_1+a_2+a_3+\dots+a_{10}\\&=11+12+13+\dots+20\\[6pt]&=\frac{(20+11)\times10}{2}\\[6pt]&=31\times5\\&=165.\end{aligned}\]
حاصل‌جمع سه عدد که دنبالۀ هندسی می‌سازند \(35\) و حاصل‌ضرب آنها \(1000\) است. این سه عدد را بیابید.
این سه عدد را \(a\)، \(b\)، و \(c\) می‌نامیم. چون \(b\) واسطهٔ هندسی \(a\) و \(c\) است، پس \(b^2=ac\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&abc=1000\\&\Rightarrow(ac)b=1000\\&\Rightarrow b^2b=1000\\&\Rightarrow b^3=1000\\&\Rightarrow b=10.\end{aligned}\]
بنابه فرض مسئله داریم \(a+b+c=35\). در نتیجه:
\[\begin{aligned}&a+10+c=35\\&\Rightarrow a+c=25.\quad(1)\end{aligned}\]
از طرفی:
\[\begin{aligned}&abc=1000\\&\Rightarrow a(10)c=1000\\&\Rightarrow ac=100.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه میشود :
\[a=20,c=5\;\text{یا}\; a=5,c=20.\]
بنابراین سه عدد خواسته شده، \(5\)، \(10\)، و \(20\) هستند.
فرض کنید \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. ثابت کنید:
\[(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(d-a)^2.\]
چون \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی هستند، پس:
\[\begin{aligned}&{\color{red}b^2}={\color{red}ac}\\&{\color{blue}c^2}={\color{blue}bd}\\&{\color{green}bc}={\color{green}ad}.\end{aligned}\] بنابراین داریم:
\[\begin{aligned}&(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2\\&=(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ac)+(d^2+b^2-2bd)\\&=2{\color{red}b^2}+2{\color{blue}c^2}+a^2+d^2-2{\color{green}bc}-2ac-2bd\\&=2{\color{red}ac}+2{\color{blue}bd}+a^2+d^2-2{\color{green}ad}-2ac-2bd\\&=a^2+d^2-2ad\\&=(d-a)^2.\end{aligned}\]
اولین، سومین، و پنجمین جملۀ یک دنبالۀ هندسی به‌ترتیب جمله‌های اول، چهارم، و ششم یک دنبالۀ حسابی هستند. اگر جملۀ اول دنبالهٔ حسابی \(5\) باشد، آنگاه قدرنسبت دنبالهٔ حسابی و هندسی را بیابید.
اگر جملهٔ عمومی و قدرنسبت دنبالهٔ هندسی \(t_n\) و \(r\)، و جملهٔ عمومی و قدرنسبت دنبالهٔ حسابی \(a_n\) و \(d\) باشد، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&t_1=a_1=5\\&t_3=a_4\\&t_5=a_6.\end{aligned}\]
چون \(t_3\) واسطهٔ هندسی \(t_1\) و \(t_5\) است، پس:
\[\begin{aligned}&t_3^2=t_1t_5\\&\Rightarrow a_4^2=a_1a_6\\&\Rightarrow(a_1+3d)^2=a_1(a_1+5d)\\&\Rightarrow(5+3d)^2=5(5+5d)\\&\Rightarrow25+30d+9d^2=25+25d\\&\Rightarrow9d^2+5d=0\\&\Rightarrow d(9d+5)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&d=0\\&9d+5=0\Rightarrow d=-\frac{5}{9}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
\(\bullet\) اگر \(d=0\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}t_4=a_4=5.\end{aligned}\]
پس در این‌حالت قدرنسبت دنبالهٔ هندسی برابر \(1\) است.
\(\bullet\) اگر \(d=-\frac{5}{9}\)، آن‌وقت:
\[\begin{aligned}a_4&=a_1+3d\\[7pt]&=5+3\big(-\frac{5}{9}\big)\\[7pt]&=5-\frac{5}{3}\\&=\frac{10}{3}.\end{aligned}\] از طرفی، چون \(t_1=a_1\) و \(t_3=a_4\)، پس:
\[\begin{aligned}&t_3=t_1r^2\\[7pt]&\Rightarrow\frac{10}{3}=5r^2\\[7pt]&\Rightarrow\frac{10}{15}=r^2\\[7pt]&\Rightarrow\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=r.\end{aligned}\]
با ذکر دلیل، درستی یا نادرستی هریک از عبارت‌های زیر را تعیین کنید.
الف) در یک دنبالهٔ حسابی اگر \(m-n=k-\ell\)، آنگاه \(a_m-a_n=a_k-a_\ell\).
درست است. زیرا اگر قدرنسبت این دنباله را \(d\) بنامیم، داریم:
\[\begin{aligned}&a_m-a_n\\&=\big(a_1+(m-1)d\big)-\big(a_1+(n-1)d\big)\\&=a_1-a_1+\big(m-1-(n-1)\big)d\\&=(m-n)d\\&=(k-\ell)d\\&=a_1-a_1+\big(k-1-(\ell-1)\big)d\\&=\big(a_1+(k-1)d\big)-\big(a_1+(\ell-1)d\big)\\&=a_k-a_\ell.\end{aligned}\]
ب) در یک دنبالهٔ هندسی اگر \(m-n=k-\ell\)، آنگاه \(a_m-a_n=a_k-a_\ell\).
نادرست است.
مثال نقض: دنبالهٔ هندسی \[2,4,8,16,32,64,\dots\] را در نظر بگیرید. اگر \(m=2\)، \(n=1\)، \(k=4\)، و \(\ell=3\)، آن‌وقت \(m-n=k-\ell\)، ولی
\[\begin{aligned}&a_m-a_n=a_2-a_1=4-2=2\\&a_k-a_\ell=a_4-a_3=16-8=8.\end{aligned}\]
می‌خواهیم خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنیم که هر سطر آن (از چپ به راست) و هر ستون آن (از بالا به پایین)، یک دنبالهٔ حسابی باشد. همهٔ مقدارهای ممکن برای \(x\)، \(y\)، و \(z\) را بیابید.
خانه‌هایی از جدول داده شده را به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.
فرض کنیم که اختلاف \(y\) و \(40\) برابر \(d\) باشد، یا به‌عبارتِ‌دیگر، \(y=40+d\). دراین‌صورت، داریم:
\[\begin{aligned}n&=40+2d\\m&=40-d\\p&=37-2d\\q&=34-3d\\z&=50-6d\\r&=66-9d\\s&=82-12d.\end{aligned}\]
چون \(y=40+d\) و \(n=y+d\)، پس:
\[\begin{aligned}n&=(40+d)+d\\&=40+2d.\end{aligned}\]
چون \(y=40+d\)، پس \(m=40-d\). در سطر دوم، هر عدد باید با \(-3-d\) جمع شود تا عدد بعدی به‌دست آید؛ زیرا:
\[\begin{aligned}m-43&=(40-d)-43\\&=-3-d.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}p&=(40-d)+(-3-d)\\&=37-2d,\\[5pt]q&=(37-2d)+(-3-d)\\&=34-3d.\end{aligned}\]
در ستون سمت راست، هر عدد باید با \(16-3d\) جمع شود تا عدد بعدی به‌دست آید؛ زیرا:
\[\begin{aligned}q-18&=(34-3d)-18\\&=16-3d.\end{aligned}\]
در نتیجه:
\[\begin{aligned}z&=q+(16-3d)\\&=(34-3d)+(16-3d)\\&=50-6d,\\[5pt]r&=z+(16-3d)\\&=(50-6d)+(16-3d)\\&=66-9d,\\[5pt]s&=r+(16-3d)\\&=(66-9d)+(16-3d)\\&=82-12d.\end{aligned}\]
حال، از سطر پنجم جدول بالا می‌توان نتیجه گرفت که \(d=7\).
در سطر پنجم جدول بالا، باید اختلاف \(26\) و \(40+2d\) با اختلاف \(82-12d\) و \(26\) برابر باشد. بنابراین:
\[\begin{aligned}&26-(40+2d)=(82-12d)-26\\&\Rightarrow26-40-2d=56-12d\\&\Rightarrow-14-2d=56-12d\\&\Rightarrow12d-2d=56+14\\&\Rightarrow10d=70\\&\Rightarrow d=7.\end{aligned}\]
بنابراین: چون در سطر پنجم جدول بالا، هر عدد \(28\) واحد از عدد قبلی‌اش کمتر است، پس دومین و اولین عدد سطر پنجم، به‌ترتیب \(82\) و \(110\) هستند. پس:
\[\begin{aligned}x&=110\\y&=47\\z&=8.\end{aligned}\]
توجه کنید که راه‌حل بالا نشان می‌دهد که به‌جای هریک از نمادهای \(x\)، \(y\)، و \(z\) فقط یک مقدار می‌توان قرار داد.
پرسش ۱. آیا می‌توانید همهٔ خانه‌های خالی را با قانون گفته شده پر کنید؟
پرسش ۲. آیا می‌توانید مسئله‌ای مشابه مسئلهٔ بالا طرح کنید که برای خانهٔ \(x\)، دقیقاً دو مقدار وجود داشته باشد؟
خانه‌های خالی جدول زیر را طوری پر کنید که اعداد هر سطر و هر ستون جمله‌های پشت سرهم یک دنبالهٔ هندسی باشند. (راهنمایی: اعداد داخل جدول را تجزیه کنید.)
فرض کنیم جملهٔ اول و قدرنسبت این دنباله به‌ترتیب $a$ و $d$ باشند.
باتوجه‌به فرض‌های مسئله، اعدادی صحیح مانند $k$، $m$، و $n$ وجود دارند به‌طوری‌که:
\[\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&25=a+kd\\&43=a+nd\\&{\color{red}70=a+md}\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&18=(n-k)d\\&27=(m-n)d\end{aligned}\right.\\&\Rightarrow{\color{green}9=(m-2n+k)d}.\end{aligned}\]
می‌خواهیم ثابت کنیم که $2005$ عضوی از این دنباله است. یعنی باید نشان دهیم که عددی صحیح مانند $t$ وجود دارد به‌طوری‌که:
\[2005=a+td\]
واضح است:
\[\begin{aligned}2005&=70+1935\\&=70+215\times9.\end{aligned}\]
با به‌کارگیری رابطه‌های \[\color{red}70=a+md\]و \[\color{green}9=(m-2n+k)d\] داریم:
\[\begin{aligned}2005&={\color{red}70}+215\times{\color{green}9}\\&={\color{red}(a+md)}+215\times{\color{green}(m-2n+k)d}\\&=a+(\underbrace{216m-430n+215k}_{t})d\\[6pt]&=a+td.\end{aligned}\]
پرسش. آیا می‌توان قدرنسبت این دنبالهٔ حسابی را تعیین کرد؟
نشان دهید که یک مثلث قائم‌الزاویه که ضلع‌های آن جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ حسابی هستند، همواره با مثلثی به اضلاع $3$، $4$، و $5$، متشابه است.
فرض کنیم که طول ضلع‌های این مثلث قائم‌الزاویه، به‌ترتیب از کوچک به بزرگ، برابر $a$، $a+d$، و $a+2d$ باشد. پس واضح است که
\[d>0.\]
بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2\\&\Rightarrow a^2+a^2+2ad+d^2=a^2+4ad+4d^2\\&\Rightarrow a^2-2ad-3d^2=0\\&\Rightarrow(a-3d)(a+d)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}a&=3d,\\a&=-d.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
چون $a$ و $d$ هر دو اعدادی مثبت هستند، پس $a$ نمی‌تواند برابر $-d$ باشد. در نتیجه:
\[a=3d.\]
پس، ضلع‌های این مثلث قائم‌الزاویه برابرند با:
\[\begin{aligned}a&=3d,\\a+d&=3d+d=4d\\a+2d&=3d+2d=5d.\end{aligned}\]
واضح است که مثلثی با اضلاع $3d$، $4d$، و $5d$، با مثلث به اضلاع $3$،$4$، و $5$ متشابه است.
فرض کنید $a$، $b$، و $c$ سه جملهٔ متوالی از یک دنبالهٔ حسابی باشند. ثابت کنید:
چون \(b\) واسطهٔ حسابی \(a\) و \(c\) است، پس: \[{\color{red}2b=a+c}\Rightarrow {\color{green}b=\frac{a+c}{2}}\]
بنابراین،
\[\begin{aligned}a^2+8{\color{green}b}c&=a^2+8\big({\color{green}\frac{a+c}{2}}\big)c\\[6pt]&=a^2+4(a+c)c\\&=a^2+4ac+4c^2\\&=(a+2c)^2\\&=({\color{red}a+c}+c)^2\\&=({\color{red}2b}+c)^2.\end{aligned}\]
کیمیا جمله‌های مشترک دو دنبالهٔ \(𝑎_𝑛=15n+4\) و \(𝑏_𝑘=12k+1\) را به‌صورت یک دنباله نوشته است. پنجمین جملهٔ دنبالهٔ کیمیا چه عددی است؟
چون
\[a_1=19,a_2=34,a_3=49\] و \[b_1=13,b_2=25,b_3=37,b_4=49\] پس اولین جملهٔ دنبالهٔ کیمیا \(49\) است. چون ک‌م‌م دو عدد \(15\) و \(12\) برابر \(60\) است، پس جملهٔ عمومی دنبالهٔ کیمیا برابر است با: \[c_m=49+60(n-1).\] بنابراین، پنجمین جملهٔ دنبالهٔ کیمیا برابر است با:\[\begin{aligned}c_5&=49+60(5-1)\\&=49+60\times4\\&=49+240\\&=289.\end{aligned}\]
مسئلهٔ کیمیا را با مسئلهٔ زیر مقایسه کنید.
روبات‌های جهنده خرگوشی و ملخی طوری برنامه‌ریزی شده‌اند که خرگوشی $15$ متر و ملخی $12$ متر می‌جهد. اگر جهندۀ خرگوشی از نقطۀ $4$ و جهندۀ ملخی از نقطۀ $1$ شروع به جهش کند، اولین‌بار روی چه عددی جای پای هر دو حک میشود؟ دومین‌بار چطور؟ چهارمین‌بار چطور؟ (ریاضی تکمیلی هفتم، صفحهٔ ۸۶، تمرین ۱۷)
در دنباله‌های حسابیِ \[2,9,16,23,\dots\] و \[12,17,22,27,\dots\] چند عدد سه رقمی مشترک کوچکتر از $300$، موجود است؟
اولین جملهٔ مشترک این دو دنباله، عدد $37$ است.
\[\begin{aligned}&2,9,16,23,30,37,\dots\\&12,17,22,27,32,37,\dots\end{aligned}\]
چون قدرنسبت یکی از دنباله‌ها $7$ و قدرنسبت دنبالهٔ دیگر $5$ است و$7$ و $5$ نسبت به‌هم اول هستند پس جمله‌های دنبالهٔ زیر، جمله‌های مشترک دو دنبالهٔ داده شده هستند.
\[37,72,107,\dots,37+35(n-1),\dots\]هشت جمله از جمله‌های دنبالهٔ بالا، کمتر از $300$ هستند. زیرا:
\[\begin{aligned}&37+35(n-1)\leq300\\&\Rightarrow35n\leq298\\&\Rightarrow n\leq\frac{298}{35}\simeq8.5\end{aligned}\]پس دو دنبالهٔ داده شده، $6$ جملهٔ مشترک سه رقمی کمتر از $300$ دارند.
پرسش. آیا بدون نوشتن جمله‌های دو دنباله، می‌توان اولین جملهٔ مشترک آنها را به‌دست آورد؟
حسن جمله‌های مشترک دنباله‌های حسابی\[3, 7, 11,. . .\]و\[2, 9, 16,. . .\]را به‌صورت یک دنباله نوشته است. جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسن را بیابید.
جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی \[3,7,11,\dots\] برابر است با:
\[a_n=3+4(n-1)\]
جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی \[2,9,16,\dots\] برابر است با:
\[b_k=2+7(k-1)\]
می‌خواهیم $n$ و $k$هایی را پیدا کنیم که برای آنها داشته باشیم:
\[a_n=b_k.\]
پس:
\[\begin{aligned}&a_n=b_k\\&\Rightarrow3+4(n-1)=2+7(k-1)\\&\Rightarrow3+4n-4=2+7k-7\\&\Rightarrow 4n+4=7k\\&\Rightarrow4(n+1)=7k.\end{aligned}\]
بنابراین، $7k$ مضربی از $4$ است. یعنی عددی صحیح مانند $\ell$ وجود دارد به‌طوری‌که $k=4\ell$. پس:
\[\begin{aligned}&4(n+1)=7(4\ell)\\&\Rightarrow n+1=7\ell\\&\Rightarrow n=7\ell-1.\end{aligned}\]
یعنی اگر $n$ از مضارب طبیعی $7$ یکی کمتر باشد، آن‌وقت داریم $a_n=b_k$. پس جمله‌های
\[a_{6},a_{13},a_{20},a_{27},\dots\] در دنبالهٔ $b_k$ ظاهر می‌شوند.
چون
\[\begin{aligned}a_6&=23\\a_{13}&=51\\a_{20}&=79\\a_{27}&=107\\\quad\vdots\end{aligned}\]
پس جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسن برابر است با:
\[c_n=23+28(n-1).\]
دربارهٔ یک دنبالهٔ حسابی می‌دانیم:
\[a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224.\]
آیا می‌توانیم جملهٔ دهم این دنباله را بیابیم؟ جملهٔ عمومی را چطور؟
می‌دانیم:\[a_{n}=a_1+(n-1)d.\]پس:\[\begin{aligned}&a_4+a_8+a_{12}+a_{16}=224\\&\Rightarrow\big(a_1+3d\big)+\big(a_1+7d\big)+\big(a_1+11d\big)+\big(a_1+15d\big)=224\\&\Rightarrow4a_1+36d=224\\&\Rightarrow4(a_1+9d)=224\\&\Rightarrow a_1+9d=56\\&\Rightarrow a_{10}=56.\end{aligned}\]
چون با استفاده از رابطهٔ داده شده نمی‌توانیم $a_1$ و $d$ را به‌دست آوریم، پس با اطلاعات داده شده نمی‌توان جملهٔ عمومی این دنبالهٔ حسابی را پیدا کرد.
در یک دنبالهٔ حسابی، مجموع پنج جملهٔ اول با مجموع چهار جملهٔ بعد از آنها برابر است. اگر جملهٔ اول این دنباله 48 باشد، آن‌وقت جملهٔ دهم چه عددی است؟
اگر جملهٔ عمومی این دنبالهٔ حسابی را با \(a_n\) و قدرنسبت آن را با \(d\) نشان دهیم، آن‌وقت داریم:
\[\begin{aligned}&\quad a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)\\&\quad=(a_1+5d)+(a_1+6d)+(a_1+7d)+(a_1+8d)\\&\Rightarrow5a_1+10d=4a_1+26d\\&\Rightarrow a_1=16d\\&\Rightarrow48=16d\\&\Rightarrow3=d.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ دهم این دنباله برابر است با:
\[\begin{aligned}a_{10}&=a_1+(10-1)d\\&=48+9(3)\\&=48+27\\&=75.\end{aligned}\]
ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه، یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت 7 می‌سازند. مساحت این مثلث چقدر است؟
اگر ضلع‌های این مثلث قائم‌الزاویه را با \(a\)، \(a+7\)، و \(a+14\) نشان دهیم، آن‌وقت بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&a^2+(a+7)^2=(a+14)^2\\&\Rightarrow a^2+a^2+14a+49=a^2+28a+196\\&\Rightarrow a^2-14a-147=0\\&\Rightarrow a^2-14a-7\times21=0\\&\Rightarrow(a+7)(a-21)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&a+7=0\Rightarrow a=-7\\&a-21=0\Rightarrow a=21.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
بنابراین، مساحت این مثلث برابر است با:
\[\frac{1}{2}\times21\times28=294.\]
ثابت کنید که در هر مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع وارد بر وتر واسطهٔ هندسی دو پاره‌خطی است که ارتفاع روی وتر ایجاد می‌کند.
فرض کنید \(AH\) ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم‌الزاویهٔ \(ABC\) باشد.
می‌خواهیم ثابت کنیم که \(AH\) واسطهٔ هندسی \(BH\) و \(CH\) است یا به‌عبارت دیگر
\[AH^2=BH\times CH.\]
راه‌حل اول
بنابه قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث \(ABC\)) داریم:
\[\begin{aligned}&AB^2+AC^2=(BH+CH)^2\\&\Rightarrow{AB^2+AC^2}={BH^2+CH^2+2BH\times CH}.\quad(1)\end{aligned}\]
بنابه قضیهٔ فیثاغورس (در مثلث‌های \(ABH\) و \(ACH\)) داریم:
\[\begin{aligned}\left.\begin{aligned}&AB^2=AH^2+BH^2\\&AC^2=AH^2+CH^2\end{aligned}\right\}&\Rightarrow AB^2+AC^2=AH^2+BH^2+AH^2+CH^2\\&\Rightarrow AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2.\quad(2)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه میشود:
\[\begin{aligned}&2AH^2+BH^2+CH^2=BH^2+CH^2+2BH\times CH\\&\Rightarrow2AH^2=2BH\times CH\\&\Rightarrow AH^2=BH\times CH.\end{aligned}\]
راه‌حل دوم
چون دو مثلث \(ABH\) و \(CAH\) متشابه‌اند(؟)، پس داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\\[7pt]&\Rightarrow AH^2=BH\times CH.\end{aligned}\]
اولین، \(20\)اُمین، \(58\)اُمین جملهٔ یک دنبالهٔ حسابی افزایشی، جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی‌اند. قدرنسبت این دنبالهٔ هندسی را بیابید.
جملهٔ عمومی و قدرنسبت دنبالهٔ حسابی را به‌ترتیب با \(a_n\) و \(d\) نشان می‌دهیم. چون \(a_1\)، \(a_{20}\)، و \(a_{58}\) جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی هستند، پس داریم:
\[\begin{aligned}&a_{20}^2=a_1a_{58}\\&\Rightarrow(a_1+19d)^2=a_1(a_1+57d)\\&\Rightarrow a_1^2+38a_1d+361d^2=a_1^2+57a_1d\\&\Rightarrow361d^2-19a_1d=0\\&\Rightarrow19d(19d-a_1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&19d=0\Rightarrow d=0\\&19d-a_1=0\Rightarrow19d=a_1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]چون \(a_n\) یک دنبالهٔ حسابی افزایشی است، پس \(d\) نمی‌تواند برابر \(0\) باشد. حال، به‌سادگی قدرنسبت دنبالهٔ هندسی را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}\frac{a_{20}}{a_1}&=\frac{a_1+19d}{a_1}\\[7pt]&=\frac{a_1+a_1}{a_1}\\[7pt]&=\frac{2a_1}{2}\\[7pt]&=2.\end{aligned}\]
در یک دنباله \(a_1=1\) و برای \(n\geq1\)، داریم \((a_{n+1})^3=99(a_n)^3\). جملهٔ صدم این دنباله را بیابید.
این دنباله، یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(\sqrt[3]{99}\) است. زیرا:
\[\begin{aligned}&(a_{n+1})^3=99(a_n)^3\\[7pt]&\Rightarrow\frac{(a_{n+1})^3}{(a_n)^3}=99\\[7pt]&\Rightarrow\Big(\frac{a_{n+1}}{a_n}\Big)^3=99\\[7pt]&\Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt[3]{99}.\end{aligned}\]
بنابراین، جملهٔ صدم این دنباله برابر است با:
\[\begin{aligned}a_{100}&=1\times\big(\sqrt[3]{99}\big)^{99}=99^{33}\end{aligned}\]
مقدار \(a\) را طوری تعیین کنید که ریشه‌های چندجمله‌ای \(x^3-7x^2+14x+a\) جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی افزایشی باشند.
فرض کنیم \(x_1\)، \(x_2\)، و \(x_3\) ریشه‌های چندجمله‌ای \(x^3-7x^2+14x+a\) باشند. در این‌صورت داریم:
\[\begin{aligned}&(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-7x^2+14x+a\\&\Rightarrow x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3=x^3-7x^2+14x+a\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&x_1+x_2+x_3=7\\&x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=14\\&x_1x_2x_3=-a\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
چون \(x_1\)، \(x_2\)، و \(x_3\) می‌توانند جمله‌های متوالی یک دنبالهٔ هندسی افزایشی با قدرنسبت \(r\) باشند، پس \(x_2=x_1r\) و \(x_3=x_1r^2\). بنابراین:
\[\begin{aligned}&\\&x_1+x_2+x_3=7\\&\Rightarrow x_1+x_1r+x_1r^2=7\quad(1)\\[10pt]&x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=14\\&\Rightarrow x_1^2r+x_1^2r^2+x_1^2r^3=14\quad(2)\\[10pt]&x_1x_2x_3=-a\\&\Rightarrow x_1^3r^3=-a.\quad(3)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) نتیجه میشود که \(x_1=\frac{2}{r}\). (چگونه؟)
با تقسیم طرفین رابطهٔ \((1)\) بر طرفین رابطهٔ \((2)\) داریم:
\[\begin{aligned}&\frac{x_1^2+x_1^2r^2+x_1^2r^3}{x_1+x_1r+x_1r^2}=\frac{14}{7}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{x_1^2r(1+r+r^2)}{x_1(1+r+r^2)}=2\\[7pt]&\Rightarrow x_1r=2\\[5pt]&\Rightarrow x_1=\frac{2}{r}.\end{aligned}\]
با جایگذاری \(x_1=\frac{2}{r}\) در رابطهٔ \((1)\) مقدار \(r\) به‌دست می‌آید: \(r=2\). (چگونه؟)
\[\begin{aligned}&x_1^2r+x_1^2r^2+x_1^2r^3=14\\[7pt]&\Rightarrow x_1^2r(1+r+r^2)=14\\[7pt]&\Rightarrow\big(\frac{2}{r}\big)^2r(1+r+r^2)=14\\[7pt]&\Rightarrow\frac{4}{r^2}r(1+r+r^2)=14\\&\Rightarrow\frac{4}{r}(1+r+r^2)=14\\[7pt]&\Rightarrow4(1+r+r^2)=14r\\[7pt]&\Rightarrow4+4r+4r^2=14r\\[7pt]&\Rightarrow4r^2-10r+4=0\\[7pt]&\Rightarrow(2r)^2+(2r)(-5)+4=0\\[7pt]&\Rightarrow(2r-1)(2r-4)=0\\[7pt]&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&2r-1=0\Rightarrow r=\frac{1}{2}\\[7pt]&2r-4=0\Rightarrow r=2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]چون این دنبالهٔ هندسی افزایشی است، پس \(r\) برابر \(-\frac{1}{2}\) نیست. بنابراین \(r=2\).
پس:
\[\begin{aligned}x_1&=\frac{2}{r}=\frac{2}{2}=1\end{aligned}\]
حال، با جایگذاری مقدارهای \(x_1\) و \(r\) در رابطهٔ \((3)\) مقدار \(a\) به‌دست می‌آید:
\[\begin{aligned}&x_1^3r^3=-a\\&\Rightarrow(1)^3(2)^3=-a\\&\Rightarrow8=-a\\&\Rightarrow-8=a.\end{aligned}\]
آیا اعداد \(100\)، \(101\)، و \(102\) می‌توانند جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی باشند؟ (لزومی ندارد که این جمله‌ها پشت سرهم باشند.)
فرض کنیم \(a_i=100\)، \(a_j=101\)، و \(a_k=102\)، جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی با قدرنسبت \(r\) باشند. در ادامه نشان می‌دهیم چنین دنباله‌ای وجود ندارد.
به‌سادگی می‌توان نشان داد:
\[\begin{aligned}&\frac{101}{100}=r^{j-i}\quad(1)\\[8pt]&\frac{102}{101}=r^{k-j}.\quad(2)\end{aligned}\]
(چگونه؟)
از رابطه‌های \((1)\) و \((2)\) می‌توان نتیجه گرفت:
\[\begin{aligned}\Big(\frac{101}{100}\Big)^{k-j}=\Big(\frac{102}{101}\Big)^{j-i}\end{aligned}\](چگونه؟)
طرفین رابطهٔ \((1)\) را به‌توان \(k-j\) و طرفین رابطهٔ \((2)\) را به‌توان \(j-i\) می‌رسانیم:
\[\begin{aligned}&\Big(\frac{101}{100}\Big)^{k-j}=\Big(r^{j-i}\Big)^{k-j}=r^{(j-i)(k-j)}\quad(3)\\[8pt]&\Big(\frac{102}{101}\Big)^{j-i}=\Big(r^{k-j}\Big)^{j-i}=r^{(k-j)(j-i)}.\quad(4)\end{aligned}\]
از رابطه‌های \((3)\) و \((4)\) نتیجه میشود:\[\Big(\frac{101}{100}\Big)^{k-j}=\Big(\frac{102}{101}\Big)^{j-i}.\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&\Big(\frac{101}{100}\Big)^{k-j}=\Big(\frac{102}{101}\Big)^{j-i}\\[7pt]&\Rightarrow\frac{101^{k-j}}{100^{k-j}}=\frac{102^{j-i}}{101^{j-i}}\\[7pt]&\Rightarrow101^{(k-j)+(j-i)}=100^{k-j}\times102^{j-i}\\&\Rightarrow101^{k-i}=100^{k-j}\times102^{j-i}.\quad(5)\end{aligned}\]معادلهٔ \((5)\) جواب صحیح ندارد، زیرا برای هر مقدار صحیح، طرف چپ آن عددی فرد است و طرف راست آن عددی زوج.
در سطر دوم، هر عدد باید با \(-3-d\) جمع شود تا عدد بعدی به‌دست آید؛ زیرا:
حال، از سطر پنجم جدول بالا می‌توان نتیجه گرفت که \(d=7\). 
چون در سطر پنجم جدول بالا، هر عدد \(28\) واحد از عدد قبلی‌اش کمتر است، پس دومین و اولین عدد سطر پنجم، به‌ترتیب \(82\) و \(110\) هستند.
پس:
سلام خیلی مطالب عالی هستند تشکر ویژه دارم ازتون چون یکی از عوامل موثر در قبولی من در ازمون سمپاد بودید