درجهٔ چندجمله‌ای

برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


نام‌گذاری چندجمله‌ای‌ها
برای نام‌گذاری چندجمله‌ای‌ها از حروف بزرگ انگلیسی استفاده می‌کنند. برای مثال، می‌توان چندجمله‌ای $x^2+y^2x$ را $P$ نامید. از طرفی، چون شناسایی متغیرهای یک چندجمله‌ای، مهم هستند، پس بهتر است چندجمله‌ای $P$ را به‌صورت $P(x,y)$ نمایش داد.

مثال ۱. الف) اگر \(P(x)=x^2+1\)، آن‌وقت \(P(2)\) را به‌دست آورید.

ب) اگر \(Q(x)=(x-1)(x+3)\)، آن‌وقت \(Q(-3)\) را به‌دست آورید.

توجه. تعاریف زیر برای چندجمله‌ای‌هایی هستند که فقط یک متغیر دارند.

صورت استاندارد یک چندجمله‌ای
اگر جمله‌های یک چندجمله‌ای به‌ترتیب توان متغیرش از بزرگ به کوچک مرتب شده باشد، می‌گویند که آن چندجمله‌ای به‌صورت استاندارد نوشته شده است.

مثال ۲. صورت استاندارد هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را بنویسید.

الف) \(x-2x^2+1\)

ب) \(x^3-3x^4-1+2x^2\)

درجهٔ چندجمله‌ای
به بزرگ‌ترین توان متغیر در یک چندجمله‌ای، درجهٔ آن چندجمله‌ای می‌گویند. برای نشان دادن درجهٔ یک چندجمله‌ای از نماد \({\rm deg}\) استفاده می‌کنیم.
برای مثال، درجهٔ چندجمله‌ای \(1+3x-5x^2\) برابر \(2\) است؛ یا به‌عبارت دیگر: \[{\rm deg}\big(1+3x-5x^{\color{red}2}\big)={\color{red}2}.\]

مثال ۳. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \({\rm deg}\big(x^3-3x^4-1+2x^2\big)\)

ب) \({\rm deg}(7)\)

ج) \({\rm deg}\big(\sqrt{2}x^5+\sqrt[3]{3}x^6+4+12x^2\big)\)

د) \({\rm deg}\big(x(x+1)\big)\)

مثال ۴. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید و درجهٔ آن را مشخص کنید.

الف) \(P(x)=(x^5+1)(x^2-x^3+x^5)\)

ب) \(Q(y)=(y^8-\sqrt{2}y^4+1)(y^8+\sqrt{2}y^4+1)\)

مثال ۵. بدون اینکه حاصل‌ضرب را به‌دست آورید، درجهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \(P(y)=(y^2+y+1)(y^3+y^6+2)\)

ب) \(Q(z)=(z^2+z+1)(z^2-z+1)(z^6-z^4+1)\)

از ما بپرسید


چون \({\rm deg}\) مخفف واژهٔ \({\rm degree}\) به‌معنای درجه است.

همهٔ اعداد حقیقی به غیر از \(0\). ( قسمت «ب» مثال ۳ را ببینید.)
دقت کنید که عدد صفر را به‌صورت‌های زیر می‌توان نوشت: \[0=0\times x^0=0\times x^1=0\times x^2=\dots.\] بنابراین، درجه برای عدد \(0\) تعریف نمی‌شود.

خیر! دقت کنید که «درجه» برای چندجمله‌ای‌ها تعریف شده است، و در چندجمله‌ای‌ها، توان هر متغیر باید صحیح نامنفی باشد.

مثال ۶. فرض کنید \({\rm deg}\big(P(x)\big)=3\) و \({\rm deg}\big(Q(x)\big)=2\). حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \({\rm deg}\big(2P(x)\big)\)

ب) \({\rm deg}\big(P(x)-Q(x)\big)\)

ج) \({\rm deg}\big(P(x)\times Q(x)\big)\)

د) \({\rm deg}\big(P(x)+x^2Q(x)\big)\)

مثال ۷. اگر \(P(x)\) یک چهارجمله‌ای باشد، آن‌وقت حداقل مقدار \({\rm deg}\big(P(x)\big)\) چقدر است؟

مثال ۸. بدون اینکه حاصل‌ضرب را به‌دست آورید، ضریب عددی جمله‌ٔ درجه \(2\) هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \((x-1)(1+2x^2+2x+x^4+x^3)\)

ب) \((5z^2-z+1)(2z^2-\sqrt{3}z-\sqrt{2})\)

از ما بپرسید


در چندجمله‌‌ای‌های با بیش از یک متغیر، درجه را نسبت به هریک از متغیرها تعریف می‌کنند.
برای مثال، درجهٔ \(xy^2+2\) نسبت به \(x\) برابر \(1\)، نسبت به \(y\) برابر \(2\)، و نسبت به \(x\) و \(y\) برابر \(3\) (مجموع توان‌های \(x\) و \(y\)) است.

اگر مسئله نگفته باشد درجه را نسبت به چه متغیری حساب کنیم، درجه را نسبت به همهٔ متغیرها به‌دست می‌آوریم.
در این مثال، باید درجه را نسبت به \(x\) و \(y\) در نظر بگیریم:
\(\bullet\) درجهٔ جملهٔ \(xy\) نسبت به \(x\) و \(y\) برابر \(2\)،
\(\bullet\) درجهٔ جملهٔ \(x^2y^3\) نسبت به \(x\) و \(y\) برابر \(5\)،
\(\bullet\) و درجهٔ جملهٔ \(1\) نسبت به \(x\) و \(y\) برابر \(0\) است.
بنابراین، درجهٔ \(xy+x^2y^3+1\) نسبت به \(x\) و \(y\) برابر \(5\) است.


زنگ تفریح


اگر سؤال یا ایرادی دارید، آن را در بخش دیدگاه‌های زیر بنویسید. 

برای اینکه به مطالب این جلسه مسلط شوید، باید تمرین‌های بیشتری حل کنید. برای مشاهدهٔ تمرین‌های بیشتر، روی لینک زیر کلیک کنید. 

تمرین‌های بیشتر

اشتراک
اطلاع از
5 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

ببخشيد جواب پرسش هاتونو كجا ميشه ديد؟

العان فقط درسنامه های فصل اتحاد و تجزیه است یا فصل های دیگه هم هستن؟

ممنون دستتون درد نکنه سایت خیلی خوبیه