مسئلهٔ \(3n+1\) یا حدس کولاتز یکی از مسائل حل نشدهٔ ریاضیات است. صورت این مسئله بسیار ساده است به‌طوری‌که یک دانش‌آموز کلاس چهارمی به‌راحتی آن را متوجه می‌شود. اما ریاضیدانان بسیاری نتوانسته‌اند آن را حل کنند.
پال اردوش، ریاضیدان مشهور قرن بیستم گفته است: «ریاضیات زمان ما این آمادگی را ندارد که با چنین هیولایی در بیوفتد!»

صورت مسئلهٔ \(3n+1\) در کتاب‌های زیادی، از جمله کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم شرح داده شده است:
حدس کولاتز
سدریک ویلانی، برندهٔ مدال فیلدز و نویسندهٔ کتاب تولد یک قضیه، دربارهٔ حدس کولاتز گفته است: «هر کس بتواند این حدس را اثبات یا نقض کند مانند یک قهرمان از او استقبال خواهد شد. من که مسلماً امتحان نخواهم کرد: علاوه بر اینکه مسئله‌ای است فوق‌العاده غامض، با روحیهٔ من هم سازگاری ندارد. مغز من برای تفکر در این سبک از مسائل تعلیم ندیده است.»

ویدئوی اول

در ویدئوی زیر، علاوه بر توضیحاتی دربارهٔ صورت مسئله، دنباله‌هایی مربوط به آن نیز معرفی می‌شوند.

دانلود رایگان ویدئو

در ویدئوی بالا، یک درخت بزرگ و چند دنباله از سایت oeis.org نشان داده می‌شود.

درخت بزرگ!

برای مشاهدهٔ درختی که در ویدئوی بالا نمایش داده شد، اینجا را کلیک کنید.
در صفحهٔ مربوط به حدس کولاتز سایت ویکپدیا، درخت‌ها و نمودارهای بزرگ و جالبی وجود دارد. برای نمونه، شکل زیر را ببینید.

حدس کولاتز

دنبالهٔ A177729

اگر در فرایند گفته شده در حدس کولاتز از عددی مانند \(n\) شروع کنیم و به \(1\) برسیم، یک دنباله از اعداد طبیعی ساخته می‌‌شود که به آن دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(n\) می‌گوییم.
در زیر، دنبالهٔ کولاتز اعداد \(1\) تا \(6\) آمده است.
\[\begin{aligned}&{\color{purple}1}.\\&{\color{purple}2},1.\\&{\color{purple}3},10,5,16,8,4,2,1.\\&{\color{purple}4},2,1.\\&{\color{purple}5},16,8,4,2,1.\\&{\color{purple}6},3,10,5,16,8,4,1.\end{aligned}\] عدد \(4\) و \(5\) در دنبالهٔ کولاتز عدد \(3\) آمده‌اند. ولی عدد \(6\) در دنبالهٔ کولاتز اعداد کوچک‌تر از خود نیامده است.
دنبالهٔ A177729 شامل اعدادی است که در دنبالهٔ کولاتز اعداد کوچک‌تر از خود نیامده باشند:
\[1, 2, 3, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 19, 21, 24, 25, 27, 30,\dots.\]

پرسش ۱. به نظر شما، آیا شناخت کامل دنبالهٔ A177729 می‌تواند به حل مسئلهٔ \(3n+1\) کمک می‌کند؟

دنبالهٔ A060412

می‌خواهیم لیستی از اعداد طبیعی بسازیم. قانون اضافه کردن اعداد طبیعی به این لیست را با چند مثال شرح می‌دهیم.
1. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(1\)، هیچ‌وقت به عددی کوچک‌تر از \(1\) نمی‌رسیم! پس قرار می‌دهیم \(\ell_1=0\)، و عدد \(1\) را داخل لیستمان قرار نمی‌دهیم.
2. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(2\)، پس از \({\color{red}1}\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(2\) می‌رسیم: \[{\color{purple}2}, 1.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_2=1\)، و عدد \(2\) را به‌عنوان اولین عدد در یک لیست می‌نویسیم:
\[\color{green}[2]\]
3. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(3\)، پس از \(\color{red}6\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(3\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}3},10,5,16,8,4,2,{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_3={\color{red}6}\)، و چون \(\ell_3 > \ell_2\)، پس عدد \(3\) را به لیستمان اضافه می‌کنیم:
\[\color{green}[2, 3].\]
4. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(4\)، پس از \(1\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(4\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}4},2,{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_4=1\)، و چون \(\ell_4 < \ell_3\)، پس \(4\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.

5. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(5\)، پس از \(3\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(5\) می‌رسیم: \[{\color{purple}5},16,8,4,{\color{gray}2},{\color{gray}1}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_5=3\)، و چون \(\ell_5 < \ell_3\)، پس \(5\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.
6. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(6\)، پس از \(1\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(6\) می‌رسیم: \[{\color{purple}6},3,{\color{gray}10},{\color{gray}\dots}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_6=1\)، و چون \(\ell_6 < \ell_3\)، پس \(6\) را به لیستمان اضافه نمی‌کنیم.
7. در دنبالهٔ کولاتزِ عدد \(7\)، پس از \({\color{red}11}\) مرحله به عددی کوچک‌تر از \(7\) می‌رسیم:
\[{\color{purple}7},22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,{\color{gray}16},{\color{gray}\dots}.\] پس قرار می‌دهیم \(\ell_7={\color{red}11}\)، و چون \(\ell_7 > \ell_3\)، پس \(7\) را به لیستمان اضافه می‌کنیم:
\[\color{green}[2,3,7].\]
اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، اعداد لیستمان دنبالهٔ زیر را می‌سازند:
\[\color{green}2, 3, 7, 27, 703, 10087, 35655, 270271, 362343, 381727,\dots.\] دنبالهٔ بالا، همان دنبالهٔ A060412 است که در ویدئو معرفی شد.

پرسش ۲. به نظر شما، آیا شناخت کامل دنبالهٔ A060412 می‌تواند به حل مسئلهٔ \(3n+1\) کمک می‌کند؟

ماشین حساب کولاتز

با یک جستجوی ساده می‌توانید وب‌سایت‌هایی را بیابید که ماشین‌حساب کولاتز آنلاین دارند. برای نمونه روی لینک زیر کلیک کنید.

ماشین‌حساب کولاتز آنلاین

با استفاده از ماشین‌حساب کولاتز بالا، می‌توایند دنبالهٔ کولاتز اعداد مختلفی را مشاهده کنید و تعداد جمله‌های آن‌ها را بشمارید.

ویدئوی دوم

حتماً مسائل زیادی را دیده‌اید که با استفاده از رسم شکل، به‌سادگی حل می‌شوند. در ویدئوی زیر، یک شکل جالب برای حدس کولاتز رسم می‌شود که نشان می‌دهد که چرا حل کردن این مسئله بسیار دشوار است.

دانلود رایگان ویدئو


در طبیعت نیز طرح‌های ساده‌ و پیچیدهٔ زیادی وجود دارد. شما چقدر به آن‌ها با دقت نگاه می‌کنید؟
پست زیر به پیشنهاد مترجم ویدئوهای بالا در اینجا قرار داده شده است.

 

تازه‌ها

کپی‌کاری طراحان آزمون تیزهوشان ۹۹!

تست‌های هوش آنلاین با جایزه (تخفیف ۳۰ درصدی بانک کتاب پایتخت)

تست هوش ۲

از کتاب تست هوش بی‌نظیر
نوشتهٔ فیلیپ کارتر و کِن راسل

آبل (ریاضیدان مشهور نروژی) در پاسخ به این پرسش که چگونه توانسته به‌سرعت به ریاضیدانی مهم تبدیل شود، گفته است:

فقط آثار استادان را مطالعه کردم و نه شاگردان آنها وکپی‌کارها را.

تلفن همراه را با اعداد انگلیسی وارد کنید.

1 / 39

تست هوش به تست هوش، مثل تست هوش است به:

2 / 39

تست هوش
به کدام شکل زیر می‌توان یک نقطهٔ سیاه اضافه کرد به‌طوری که شرایط آن نقطهٔ سیاه، با شرایط نقطهٔ سیاه شکل بالا یکسان باشد؟

3 / 39

تست هوش
به‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟

4 / 39

کلید $A$ لامپ‌های \(1\) و \(2\) را «روشن‌-خاموش» یا «خاموش-روشن» می‌کند.
کلید $B$ لامپ‌های \(2\) و \(4\) را «روشن‌-خاموش» یا «خاموش-روشن» می‌کند.
کلید $C$ لامپ‌های \(1\) و \(3\) را «روشن‌-خاموش» یا «خاموش-روشن» می‌کند.
کلید $D$ لامپ‌های \(3\) و \(4\) را «روشن‌-خاموش» یا «خاموش-روشن» می‌کند.

بعد از اینکه به‌ترتیب کلیدهای \(D\)، \(C\)، \(A\)، و \(B\) را فشار داده‌ایم، لامپ‌های شکل ۱، به شکل ۲ تغییر وضعیت داده‌اند. (دایره‌های سفید به‌معنای روشن بودن لامپ‌ها و دایره‌های سیاه به‌معنای خاموش بودن آنهاست.)
تست هوش

کدام کلید کار نکرده است؟

5 / 39

تست هوش
به‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟

6 / 39

در جاهای خالی یک ضرب‌المثل بنویسید. زیر هر عبارت به مفهوم آن اشاره شده است. همچنین تعداد حروفِ هر کلمه مشخص است.
(*** **) (** *** ***)
(آنکه بدخواه است) (بدی به خودش می‌رسد.)

7 / 39

کدام کلمه است که به معنای «یک گیاه خوراکی» است و اگر یکی از حروف آن را حذف کنیم، کلمه‌ٔ دیگری با معنای حسادت می‌شود؟

8 / 39

با توجه به مفهوم دو جملهٔ زیر دو کلمهٔ هم‌قافیه پیدا کنید. (از هر جمله یک کلمه)
حشره‌ای که نام دیگرش نمل است و نسبت به جثه‌اش نیرو و توان بسیار دارد.

(بین دو کلمه‌‌ای که می‌نویسید فاصله بگذارید.)

9 / 39

تست هوش
کدام سپر زیر بیشترین اشتراک را با سپر بالا دارد؟

10 / 39

تست هوش
کدام حرف دوتا بالاتر از حرفی که دوتا چپ‌تر از حرفی که بالای حرفی که سه‌ حرف راست‌تر از حرف \(Q\) است، قرار دارد؟

11 / 39

توتیا، موزه، بهارنارنج
کدام‌یک از کلمات زیر می‌تواند با تمام کلمات بالا از نظر ظاهری ویژگی مشترکی داشته باشد؟

12 / 39

دو کلمه پیدا کنید (از هر پرانتز یکی) طوری که ارتباط کلمهٔ پرانتز اول با کلمهٔ قرمزرنگ، مثل ارتباط کلمهٔ پرانتز دوم با کلمهٔ سبزرنگ باشد.
طول جغرافیایی (درجه، مدار رأس‌الجدی، نصف‌النهار)
عرض جغرافیایی (مدار استوا، خط، نقطه‌ٔ اعتدال)
(این دو کلمه را داخل کادر زیر بنویسید و بین آنها فاصله بگذارید.)

13 / 39

تست هوش
شکل بالا، گستردهٔ کدام مکعب (مکعب‌های) زیر می‌تواند باشد؟

14 / 39

تست هوش
قسمت حذف شده، کدام است؟

15 / 39

تست هوش
به‌‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟

16 / 39

با استفاده از 4حرف «ا»، «ب»، «ن»، و «د» یک کلمهٔ 6حرفی بسازید.

17 / 39

به‌جای علامت سؤال، چه عددی باید قرار داد؟
تست هوش

18 / 39

تست هوش

قسمت حذف شده، کدام است؟

19 / 39

کدام دو کلمه در معنا باهم بیشترین تضاد را دارند؟

20 / 39

تست هوش
در شکل بالا، \(9\)تا کاشی وجود دارد. در هر سطر و ستون، از ترکیب دو کاشی اول و دوم، کاشی سوم ساخته شده است با این شرط که اگر کاشی‌های اول و دوم شکل یکسانی در مکانی یکسان داشته باشند، آن شکل در کاشی سوم حذف می‌شود. یکی از این \(9\) کاشی اشتباه است؛ آن را بیابید. کاشی اشتباه باید با کدام‌یک از کاشی‌های زیر جایگزین شود؟

21 / 39

کدام‌یک از کلمات داخل پرانتز بیشترین شباهت معنایی را با کلمه‌ٔ مانیتور، دارد؟

22 / 39

سفال‌گری به خاک مثل خراطی است به:

23 / 39

تست هوش
قسمت حذف شده، کدام است؟

24 / 39

نیما \(59\) مکعب کوچک هم‌اندازه دارد. کمترین تعداد مکعبی که باید کنار بگذارد تا با بقیهٔ مکعب‌هایش یک مکعب توپُر بسازد، چندتاست؟

25 / 39

طولانی‌ترین کلمه‌ای که می‌توان با حروف زیر ساخت، چیست؟ هر حرف را فقط یک‌بار استفاده کنید.
ن - ز - ژ - گ - ن - د - ا - ی - پ

26 / 39

در ظهر (ساعت \(12\))، ساعت آقامنصور زمان را دقیق نشان می‌داد. اما بعد از ساعت \(12\)، هر یک ساعت \(17\) دقیقه عقب می‌ماند. \(6\) ساعت پیش، ساعت آقامنصور از کار افتاد و حالا \(2\) و \(52\) دقیقه بعدازظهر را نشان می‌دهد. الان ساعت چند است؟

27 / 39

در دنبالهٔ زیر، به‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟
\[0,4,2,6,3,7,\frac{7}{2},?\]

28 / 39

تست هوش
به‌جای علامت سؤال، کدام شکل زیر را باید قرار داد؟

29 / 39

تست هوش
قسمت حذف شده، کدام است؟

30 / 39

تست هوش
شکل بالا گستردهٔ کدام مکعب‌ (مکعب‌های) زیر می‌تواند باشد؟

31 / 39

\[15,5,8,24,21,7,10,30,?,?,?,36,33.\]
در دنبالهٔ بالا، حاصل‌جمع اعدادی که باید به‌جای سه علامت سؤال قرار داد، برابر است با:

32 / 39

تمام حروف عبارتِ به‌هم‌ریختهٔ «دید یا خط» را طوری در جدول زیر بگذارید که دو کلمه‌ٔ به‌دست آمده با عبارتِ «چیزها همیشه آن‌طوری نیستند که به نظر می‌آیند» ارتباط معنایی داشته باشند.
تست هوش
مرتب شدهٔ عبارت به‌هم‌ریختهٔ «دید یا خط» را در کادر زیر بنویسید.

33 / 39

در دنبالهٔ زیر، به‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟
\[1,101,15,4,29,-93,43,-190,?\]

34 / 39

کدام‌یک از موارد زیر با بقیه متفاوت است؟

35 / 39

کدام‌یک از کلمات داخل پرانتز از نظر معنایی بیشترین نزدیکی را با کلمه ائتلاف دارد؟

36 / 39

جای خالیِ داخل پرانتز را با 4 حرف طوری پر کنید که هم کلمهٔ سمت راست را کامل کند و هم ابتدای کلمهٔ حروف سمت چپ باشد.
هنر(****)ور

37 / 39

تست هوش

قسمت حذف شده کدام است؟

38 / 39

تست هوش
به‌جای علامت سؤال چه عددی باید قرار داد؟

39 / 39

تست هوش
به‌جای علامت سؤال، کدام شکل زیر را باید قرار داد؟

امتیاز شما

همکاری در فروش محصولات تکمیلی

کلاس المپیاد (همهٔ درس‌ها)

توضیحات بیشتر

درسنامه و نمونه سؤال ریاضی دهم

چه کتابی بخونم؟! (معرفی یک کتاب هندسهٔ عالی با پشتیبانی Takmili)

پایش عملکرد سمپاد (اردیبهشت ۱۴۰۰)

خرید کتاب هوش فرازمینی ET با ۲۰ درصد تخفیف و پشتیبانی Takmili

مسئلهٔ هفتهٔ بیست‌و‌یکم

چهار نقطه در صفحه رسم کنید که فاصله‌های دوبه‌دو آن‌ها فقط دو عدد مختلف باشند. چند جواب متفاوت وجود دارد؟

ارسال پاسخمسائل بیشتر

ویدئوی هفته

دانلود ویدئو و توضیحات تکمیلیویدئوهای بیشتر

6 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سایتتون واقعا مطالب خوبی داره، واقعا عالیه ،
فقط از نظر من یک ایراد داره سایتتون اون هم این هست که دسترسی به مطالب خیلی راحت نیست ،
حتی من که خیلی وقته با سایتتون همراهم اما بعضی اوقات نمیتوانم سریع مطالبو پیدا کنم

مثلا مسابقه های کلاسیکو و همین مطلبی که درباره حدس کولاتز گذاشتتین

سلام خسته نباشید.
یه سوال.آیا می دونستید سایتتون واقعا عالیه؟
من خیلی وقت منتظر بودم تا درباره‌ی این مسئله مطلبی بزارید به شدت مشتاق ویدئوی دوم هستم.خیلی ممنون ازتون.