1. حاصل عبارت‌های زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسید.
    الف) $10000\times 100$
    ب) $(‎\frac{1}{5})^7\times (0.2)^4‎$
    ج) $(‎\frac{7}{20})^5\times (0.35)^{11}‎$
    د) $(‎\frac{3}{5})^{10}\times (0.6)^3‎\times ‎\frac{12}{20}‎$
    هـ) $2\times 2^2\times 2^3\times \cdots\times 2^{10}$
    و) $3^5\times 3^6\times 3^7\times \cdots \times 3^{20}$
    ز) $2^5+2^5$
    ح) $3^2+3^2+3^2$
  2. پاسخ تشریحی


  3. عدد $5^{18}$ را به‌صورت حاصل‌ضربِ
    الف) دو عدد توان‌دار مساوی بنویسید.
    ب) سه عدد توان‌دار مساوی بنویسید.
  4. پاسخ تشریحی


  5. عدد $7^{77}$ را به‌صورت حاصل‌ضرب $7$ عدد توان‌دار مساوی بنویسید.
  6. پاسخ تشریحی


  7. هر دسته از عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.

    الف) $2^4,\; 3^4,\; 4^2,\; 5^3,\; 9^2$

    ب) $2^3,\; 3^3,\; 4^2,\; 5^2,\; 6^2$

    ج) $2^2\times 3^5,\; 5\times 3^5,\; 5^2\times 3^4$

    د) $2^5\times 17,\; 3^5\times 17,\; 5^3\times 17$

    هـ) $\left(‎\dfrac{1}{2}\right)^7\times\left(‎\dfrac{1}{3}\right)^5,\;\left(‎\dfrac{1}{2}‎‎‎\right)^8\times\left(‎\dfrac{1}{3}\right)^4‎$

    و) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^8,\;‎\dfrac{2^8}{3},\;‎\dfrac{2}{3^8}‎‎$

    ز) $\left(‎\dfrac{1}{2}\right)^7\times \left(‎\dfrac{1}{3}\right)^5,\;\left(‎\dfrac{1}{2}\right)^8\times\left(‎\dfrac{1}{3}\right)^5‎‎‎‎$

    ح) $\left(‎\dfrac{1}{5}\right)^{10},\; \left(‎\dfrac{2}{5}\right)^{10}‎,\; \left(‎\dfrac{3}{5}\right)^{10}‎‎$

    ط) $5^{21},\; 5^{23}\times \left(‎\dfrac{1}{5}\right)^{23},\; 5^{23}\times\left(‎\dfrac{2}{5}\right)^3‎‎$

    ی) $3^{20},\; 2^3\times 3^{18},\; 5^3\times 3^{16}$

  8. پاسخ تشریحی


  9. هریک از عددهای زیر را به‌صورت حاصل‌ضربی از اعداد اول توان‌دار بنویسید.
    الف) $808$
    ب) $105000$
    ج) $1001$
    د) $51\times 34$
    هـ) $39\times 91$
    و) $66\times 121$
    ز) $234\times 343$
    ح) $78\times 81$

  10. پاسخ تشریحی


  11. در هر قسمت $x$ چه عددی است؟
    الف) $2^2\times (x)\times 11=660$
    ب) $3\times 2^4\times (x)=1200$
    ج) $2^2\times (x)\times 3=1500$
    د) $2\times (x)\times 5^2=450$
    هـ) $2\times 41\times (x)=1394$
    و) $5\times 13\times (x)=2015$
  12. پاسخ تشریحی


  13. ب‌م‌م و ک‌م‌م هر جفت از اعداد زیر را به‌صورت حاصل‌ضربی از اعداد اول توان‌دار بنویسید.
    الف) $100\times 7^4\times 3^5,\; 5^7\times 2^5\times 18$
    ب) $5^7\times 7^5,\; 5^3\times 3^5$
    ج) $14\times 18\times 21,\; 15\times 51\times 72$
    د) $3^2\times 7\times 11,\; 2^5\times 3\times 7^2$
    هـ) $91\times 39\times 45,\; 65\times 49\times 85$
    و) $35\times 77,\; 12\times 18$
  14. پاسخ تشریحی


  15. هر دسته از عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید.
    الف) $2^3\times 3^5\times 5^2\times 4\times 11,\; 2^4\times 3^7\times 5^3,\; 2^2\times 3^6\times 5^4$
    ب) $2^6\times 3^2\times 5^5,\; 2^2\times 3^7\times 5^4$
    ج) $2^6\times 5^5\times 13^7,\; 2^3\times 3\times 5^4\times 13^8$
    د) $13^{18},\; 13^{21}\times \left(‎\dfrac{1}{13}‎\right)^4,\; 13^{21}\times \left(‎\dfrac{2}{13}‎\right)^4$
  16. پاسخ تشریحی


  17. مساحت یک مستطیل $5^{1393}$ است. اگر طول ضلع مستطیل $5$ برابر عرض مستطیل باشد،
    الف) طول و عرض این مستطیل را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسید.
    ب) محیط این مستطیل چند برابر عرضش است؟
  18. پاسخ تشریحی


  19. الف) آیا $6$ شمارندۀ $2^7\times 3$ است؟ چرا؟
    ب) آیا $18$ شمارندۀ $2^7\times 3$ است؟ چرا؟
    ج) آیا $5$ شمارندۀ $2^7\times 3$ است؟ چرا؟
  20. پاسخ تشریحی


  21. الف) حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار با پایه $72$ بنویسید.
    \[1\times 2\times 3\times 4\times 6\times 8\times 9\times 12\times 18\times 24\times 36\times 72\]
    ب) حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار با توان بزرگ‌تر از $10$ بنویسید.
    \[2^3\times 3^3\times 6^3\times 9^3\times 18^3\times 27^3\times 54^3\]
  22. پاسخ تشریحی


  23. عدد $A=1\times 2\times 3\times \cdots \times 18$ را در نظر بگیرید.
    الف) عدد $A$ را به‌صورت حاصل‌ضربی از اعداد اول بنویسید.
    ب) ابتدا هر یک از عددهای زیر را به‌صورت حاصل‌ضربی از اعداد اول بنویسید. سپس با ذکر دلیل مشخص کنید کدام‌یک شمارندۀ عدد $A$ هستند.
    $\bullet$ $128$
    $\bullet$ $49\times 28$
    $\bullet$ $221$
    $\bullet$ $10000$
    $\bullet$ ‎$290$
    $\bullet$ $320\times 230$
    $\bullet$ $128\times 128$
    $\bullet$ $51\times 91$
    ج) شمارنده‌های عدد $A$ را به‌ترتیب از کوچک به بزرگ نوشته‌ایم. نوزدهمین شمارنده چیست؟
    د) اگر شمارنده‌های عدد $A$ را به‌ترتیب از بزرگ به کوچک بنویسیم، بیست و سومین شمارنده چیست؟
  24. پاسخ تشریحی


  25. الف) می‌دانیم $x$ و $y$ دو عدد طبیعی هستند و $xy=1000$. اگر $10$ شمارندۀ $x$ و $y$ نباشد، $x$ و $y$ چه اعدادی هستند؟
    ب) خانه‌های خالی جدول سمت راست را با عددهای طبیعی متفاوت طوری پر کنید که حاصل‌ضرب عددهای هر سطر برابر $10^4$ شود.
    ج) آیا می‌توانید خانه‌های خالی جدول سمت راست را با عددهای طبیعی متفاوت طوری پر کنید که حاصل‌ضرب عددهای هر سطر و هر ستون برابر $1000$ شود؟
    د) خانه‌های خالی جدول سمت چپ را با عددهای طبیعی متفاوت طوری پر کنید که حاصل‌ضرب عددهای هر سطر، هر ستون و هر قطر برابر $10^6$ شود.
    نمونه سوال توان

  26. پاسخ تشریحی


  27. هریک از شکل‌های زیر گستردۀ یک مکعب را نشان می‌دهند. ابتدا در هر شکل وجه‌های روبه‌رو را دوبه‌دو مشخص کنید؛ سپس به پرسش‌ها پاسخ دهید.

    نمونه سوال توان

    الف) خانه‌های خالی مکعب سمت راست را با اعداد طبیعی کمتر از $40$ طوری پر کنید که حاصل‌ضرب هر دو عدد روبه‌روی هم مقداری یکسان شود (تکرار اعداد مجاز نیست).
    ب) آیا می‌توانید خانه‌های خالی مکعب سمت چپ را با اعداد طبیعی کمتر از $40$ که بر $5$ بخش‌پذیر نیستند، طوری پر کنید که حاصل‌ضرب هر دو عدد روبه‌روی هم مقداری یکسان شود؟ (تکرار اعداد مجاز نیست.)

  28. پاسخ تشریحی


  29. عددی را که فقط سه شمارنده دارد، عدد دوم می‌‌نامیم. برای مثال $4$ یک عدد دوم است؛ زیرا سه شمارنده دارد: $1$، $2$ و $4$.
    الف) کدام‌یک از عددهای زیر، عدد دوم هستند؟
    $\bullet$ $6$
    $\bullet$ $49$
    $\bullet$ $81$
    $\bullet$ $169$ ‎
    $\bullet$ $512$‎
    $\bullet$ $36$
    $\bullet$ $121$
    $\bullet$ $14^2$
    ب) کدام‌یک از عددهای زیر را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضربی از عددهای دوم نوشت؟
    $\bullet$ $50$
    $\bullet$ $64$
    $\bullet$ $100$
    $\bullet$ $39\times 26$
    ج) درست یا نادرست؟

    «هر عدد دوم، توان دوم یک عدد اول است.»

  30. پاسخ تشریحی


  31. قانونی برای دنباله‌های عددی زیر بیابید؛ و جمله $n$اُم این دنباله‌ها را با آن قانون بنویسید.
    الف) $-1,1,-1,1,-1,1,\dots$
    ب) $1, -4, 9, -16, 25, -36, \dots$
    ج) $0,5,8,17,24,37,\dots$
  32. پاسخ تشریحی


  33. تعدادی باکتری در ظرفی شیشه‌ای گذاشته شده‌اند. یک ثانیه بعد هر باکتری به دو باکتری تقسیم می‌شود؛ یک ثانیه بعد از آن هریک از باکتری‌های حاصل هم به دو باکتری تقسیم می‌شوند و همین‌طور تا آخر. بعد از یک دقیقه ظرف پر می‌شود. چند ثانیه طول کشیده تا نصف ظرف پر شده است؟
  34. پاسخ تشریحی


  35. الف) عدد $4^4$ را به چه توانی برسانیم که حاصل $8^8$ شود؟
    ب) عدد $9^9$ را به چه توانی برسانیم تا به عدد $27^{12}$ برسیم؟
  36. پاسخ تشریحی


  37. حاصل عبارت‌های زیر را به‌صورت یک عدد توان‌دار بنویسید.

    الف) \(\big(3^4\big)^2\times\big(5^2\big)^4\times 15^4\)

    ب) \(\dfrac{3^3\times8^3\times24^5}{6^3\times4^3}\)

    ج) \(\dfrac{(1.4)^3\times (0.2)^3\times 7^3}{(2.8)^6}\)

    د) \(‎‎‎\dfrac{2^2\times 48^7\times 6^3\times 3^2\times 8^5}{16^{12}}\)

    هـ) \(\dfrac{38^2\times 26^5\times 11^7}{13^{12}\times 44^7\times 19^2}\)

    و) \(\dfrac{3^2\times 8^4\times 24^5}{6^2\times 4^5}=24^5\)

    ز) \(\big(3^5+3^5+3^5\big)\big(3^{11}+3^{11}+3^{11}\big)\)

  38. پاسخ تشریحی


  39. هریک از اعداد زیر را به‌صورت تجزیه شده به عوامل اول بنویسید.
    الف) \(\big(2^2\times 3\big)^4\times 15^5\)
    ب) \(\big(18^{19}\times 19^{18}\big)^3\times 38^6\)
    ج) \(\big(12^3\times 14^4\big)^5\times \big(21^2\big)^3\)
  40. پاسخ تشریحی


  41. در هریک از تساوی‌های زیر مقدار $x$ و $y$ را بیابید.
    الف) \(3^4=3\times 3^x\)
    ب) \(4^3=2^3\times 2^x\)
    ج) \(9^5=3^2\times 81^y\)
    د) \(18^6=3^6\times 2^x\times 6^y\)
    هـ) \(24^5=2^x\times 3^y\times 12^3\)
    و) \(12^8=3^4\times x^y\)
  42. پاسخ تشریحی


  43. در هر قسمت، داخل مربع علامت $\times$ یا $\div$ قرار دهید تا تساوی برقرار شود.
    الف) \(6^2\,\square\;18^3\,\square\;3^2=18^5\)
    ب) \(18^6\,\square\;2^6\,\square\;3^6=27^6\)
    ج) \(24^4\,\square\;2^6\,\square\;27=8\times 24\)
    د) \(18^5\,\square\;32\,\square\; 9^3=9^8\)
  44. پاسخ تشریحی


  45. مقدار هریک از عبارت‌های زیر را بیابید.
    الف) \[33333^3-27\times 11111^3\]
    ب) \[\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^{200}\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^{200}\]
  46. پاسخ تشریحی


  47. اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد، آنگاه همهٔ جواب‌های معادلهٔ زیر را بیابید.
    \[6^8=3^4\times a^b.\]
  48. پاسخ تشریحی


  49. اگر $m$ و $n$ دو عدد طبیعی باشند و $m^n=2^{20}$، آنگاه $m$ و $n$ چه اعدادی می‌توانند باشند؟
  50. پاسخ تشریحی


  51. در هر یک از عبارت‌های زیر توان عدد $2$ را به‌دست ‌آورید.
    الف) $2^{3^4}$
    ب) $\big(2^3\big)^4$
    ج) $2^{4^3}$
    د) $\big(2^4\big)^3$
  52. پاسخ تشریحی


  53. می‌دانیم $x$، $y$ و $z$ سه عدد متفاوت هستند. اگر این سه عدد $2$، $3$، $4$ یا $5$ باشند، آنگاه
    الف) بیشترین مقدارِ $x^{y^z}$ را به‌دست آورید.

    پاسخ تشریحی

    ب) کمترین مقدارِ $x^{y^z}$ را به‌دست آورید.

    پاسخ تشریحی

    ج) بیشترین مقدارِ $\big(x^y\big)^z$ را به‌دست آورید.

    پاسخ تشریحی

    د) کمترین مقدارِ $\big(x^y\big)^z$ را به‌دست آورید.

    پاسخ تشریحی


  54. با کمک یک (یا چند) پرانتزگذاری، از عدد داده شده به چند عدد متفاوت می‌توان دست یافت؟
    \[2^{3^{4^5}}\]
  55. پاسخ تشریحی


  56. بزرگ‌ترین عدد طبیعیِ $n$ را بیابید به‌گونه‌ای که:
    \[n^{200}<5^{300}\]
  57. پاسخ تشریحی


  58. در یک مربع، وسط‌‌های ضلع‌های روبه‌رو را به هم وصل می‌کنیم. در مرحلهٔ بعد همین کار را برای هر یک از مربع‌های حاصل انجام می‌دهیم. اگر این کار را شش مرحله انجام دهیم، تعداد کلّ مربع‌ها چند تا می‌شود؟
    نمونه سوال توان
  59. پاسخ تشریحی


  60. دربارهٔ صفر به توان صفر تحقیق کنید.
  61. پاسخ تشریحی


  62. $x$ و $y$ چه اعدادی هستند؟
    \[2^{2^{2^2}}=2^{2^{2}}x=4^{y^3}.\]
  63. پاسخ تشریحی



کتاب هوش et

ریاضی تکمیلی

 

ویدئوی هفته

آیا فقط یک عدد چهاررقمی با خاصیت ۶۱۷۴ وجود دارد؟

ارسال پاسخویدئوهای بیشتر

 

مسئلهٔ هفتهٔ بیست‌وششم

مسئلهٔ هشت وزیر. چگونه \(8\) وزیر را در یک صفحهٔ شطرنج قرار دهیم به‌ طوری‌که هیچ‌کدام دیگری را تهدید نکند.

هشت وزیر

ارسال پاسخمسائل بیشتر

کتاب هوش فرازمینی et

2 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

من اشتراکتون رو خریدم .
ولی وقتی میزنم رو پاسخ تشریحی نمیاره