۱. در زیر، چندجمله‌ای \(x^4+5x^3+2x^2-11x+3\) به‌صورت حاصل‌ضرب سه‌تا چندجمله‌ای نوشته شده است:
\[x^4+5x^3+2x^2-11x+3=(x-1)(x+3)(x^2+3x-1).\]هریک از چندجمله‌ای‌های بالا را نام‌گذاری و درجهٔ آنها را مشخص کنید.

۲. اگر \(P(x)=2x^2+1\)، \(Q(x)=5-x-2x^2\)، و \(S(x)=-x-\sqrt{3}\)، آن‌وقت حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \({\rm deg}\big(P(x)+Q(x)\big)\)

ب) \({\rm deg}\big(2Q(x)\times S(x)\big)\)

ج) \({\rm deg}\big(P(x)+Q(x)-S(x)\big)\)

۳. حاصل‌ هریک عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید و درجهٔ آن را به‌دست آورید.

الف) \(P(y)=(y^2+y+1)(y^3-y^7+y^8-y^4+y^5-y+1)\)

ب) \(Q(x)=(x-1)(1+2x^2+2x+x^4+x^3)\)

ج) \(R(z)=(5z^3-z+1)(2z^2-\sqrt{3}z-\sqrt{2})\)

د) \(S(k)=(k^2+k+1)(k^2-k+1)(k^6-k^4+1)\)

۴. اگر \(P(x)\) یک دوجمله‌ای و \(Q(x)\) یک سه‌جمله‌ای باشد، آن‌وقت \({\rm deg}\big(P(x)\times Q(x)\big)\) حداقل چند است؟ یک مثال بیاورید.

۵. فرض کنید \(P(x)\) و \(Q(x)\) دوتا سه‌جمله‌ای باشند.

الف) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک نُه‌جمله‌ای درجهٔ \(8\) باشد.

پاسخ تشریحی

ب) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک هشت‌جمله‌ای درجهٔ \(7\) باشد.

پاسخ تشریحی

ج) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک هفت‌جمله‌ای درجهٔ \(6\) باشد.

پاسخ تشریحی

د) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک شش‌جمله‌ای درجهٔ \(5\) باشد.

پاسخ تشریحی

هـ) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک پنج‌جمله‌ای درجهٔ \(4\) باشد.

پاسخ تشریحی

و) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک چهارجمله‌ای درجهٔ \(4\) باشد.

پاسخ تشریحی

ز) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک سه‌جمله‌ای درجهٔ \(4\) باشد.

پاسخ تشریحی

ح) مثالی برای \(P(x)\) و \(Q(x)\) بیابید که \(P(x)\times Q(x)\) یک دوجمله‌ای درجهٔ \(4\) باشد.

پاسخ تشریحی

۶. فرض کنید که راه‌حل قسمت «ب» تمرین ۵ را گم کرده باشید اما هشت‌جمله‌ای حاصل را داشته باشد. اگر از شما بخواهند این هشت‌جمله‌ای را به‌صورت حاصل‌ضرب دوتا سه‌جمله‌ای بنویسید، چه می‌کنید؟

پاسخ تشریحی

از ما بپرسید


خیر! زیرا \(x^2+\sqrt{2}+1\) دوجمله‌ای است؛ یک جملهٔ درجه \(2\) دارد: \(x^2\)، و یک جملهٔ درجه \(0\): \(\sqrt{2}+1\).

۷. در شکل زیر، دایره‌های خالی را با یک‌جمله‌ای‌هایی که فقط متغیر $x$ دارند، طوری پر کنید که هر سه شرط زیر برقرار باشد.
\(\bullet\) درجهٔ یک‌جمله‌ای‌ها حداکثر $4$ باشد.
\(\bullet\) مجموع یک‌جمله‌ای‌های روی هر پاره‌خط تشکیل یک سه‌جمله‌ای دهد.
\(\bullet\) مجموع ضرایب هر سه‌جمله‌ای (روی هر پاره‌خط) برابر صفر شود.
درجهٔ چندجمله‌ای

پاسخ تشریحی

۸. فرض کنید \(P(x)=x(x+1)(x+2)(x-3)\).

الف) اگر \(P(x)\) را به‌صورت استاندارد بنویسیم، ضریب عددی جمله‌های درجه \(1\) و درجه \(3\) را بیابید.

ب) همهٔ اعدادی، مانند \(a\) را پیدا کنید که \(P(a)=0\).

۹. یک ماشین‌حساب، عمل جمع را در یک ثانیه و عمل ضرب را در $5$ ثانیه انجام می‌دهد. برای مثال، به‌ازای هر مقدار $x$، حاصل عبارت $x^3+4x+10$ را در $17$ ثانیه حساب می‌کند. درستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
الف) $P(x)$ای وجود دارد که محاسبهٔ آن، به‌ازای هر مقدار $x$، با این ماشین‌حساب $18$ ثانیه زمان می‌برد.
ب) $P(x)$ای وجود دارد که محاسبهٔ آن، به‌ازای هر مقدار $x$، با این ماشین‌حساب $19$ ثانیه زمان می‌برد.

پاسخ تشریحی

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
2 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سلام میشه جواب پرسش قسمت الف سوال سه رو راهنمایی کنید ممنون