برای اینکه درسنامهٔ تقسیم چند جمله ای ها را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


مثال ۱. حاصل هریک از تقسیم‌های زیر را به‌دست آورید و در هر مورد، درجهٔ یک‌جمله‌ای حاصل را تعیین کنید.

الف) \(2x^2\) تقسیم بر \(x\)

ب) \(-\frac{3}{2}y\) تقسیم بر \(4y\)

ج) \(\sqrt{15}u^5\) تقسیم بر \(\sqrt{5}u\)

از ما بپرسید


چون، همان‌طور که در جلسهٔ قبل گفتیم، \({\rm deg}\) مخفف واژهٔ \({\rm degree}\) به‌معنای درجه است.

مثال ۲. اگر \({\rm deg}\big(P(x)\big)=8\) و \({\rm deg}\big(Q(x)\big)=2\)، آن‌وقت حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \({\rm deg}\big(P(x)\div Q(x)\big)\)

ب) \({\rm deg}\Big(\big(P(x))^2\big)\div\big(2\big(Q(x)\big)^8\big)\Big)\)

 

تقسیم چندجمله‌ای‌ها

در زیر، الگوریتم تقسیم چندجمله‌ای‌ها را با استفاده از یک مثال، شرح می‌دهیم.
مـثال. چندجمله‌ای $x^3+x+1$ را بر چندجمله‌ای $x^2+1$ تقسیم کنید. خارج‌قسمت و باقی‌مانده را مشخص کنید و رابطهٔ تقسیم را بنویسید.
راه‌حل. به چندجمله‌ای $x^3+x+1$ مقسوم و به چندجمله‌ای $x^2+1$ مقسوم‌علیه می‌گویند. برای تقسیم چندجمله‌ای‌ها، مراحل زیر را به‌ترتیب انجام می‌دهیم.

مرحلهٔ اول. مقسوم و مقسوم‌علیه را استاندارد می‌کنیم. (خوشبختانه، در این مسئله هر دو استاندارد هستند!)

تقسیم چندجمله‌ای‌هامرحلهٔ دوم. برای به‌دست آوردن اولین جمله خارج‌قسمت، اولین جمله مقسوم را بر اولین جمله مقسوم‌علیه تقسیم می‌کنیم.

تقسیم چندجمله‌ای‌ها

یعنی، \(x^3\) را بر \(x^2\) تقسیم می‌کنیم؛ حاصل برابر \(x\) می‌شود که آن را در خارج‌قسمت می‌نویسیم:

تقسیم چند جمله ای ها

مرحلهٔ سوم. حاصل قسمت قبل را در مقسوم‌علیه ضرب می‌کنیم: \[x(x^2+1)=x^3+x.\]

مرحلهٔ چهارم. قرینهٔ حاصل قسمت قبل را زیر مقسوم می‌نویسیم.

تقسیم چند جمله ای ها

مرحلهٔ پنجم. ابتدا عبارت زیرِ مقسوم را قرینه می‌کنیم و سپس آن را با مقسوم جمع می‌زنیم.

تقسیم چند جمله ای ها

مرحلهٔ ششم. اگر درجهٔ چندجمله‌ای حاصل از قسمت قبل (باقی‌مانده) از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر بود، به مرحلهٔ هفتم می‌رویم، و اگر نبود چندجمله‌ای حاصل از قسمت قبل را مقسوم‌ در نظر می‌گیریم و مرحله‌های دوم تا ششم را انجام می‌دهیم.
در این مثال، چون \({\rm deg}(1) < {\rm deg}\big(x^2+1\big)\)، به مرحلهٔ هفتم می‌رویم.

مرحلهٔ هفتم. رابطهٔ تقسیم، یعنی:

باقی‌مانده \(+\) خارج‌قسمت \(\times\) مقسوم‌علیه \(=\) مقسوم

را می‌نویسیم و مقسوم، مقسوم‌علیه، و خارج‌قسمت را مشخص می‌کنیم.
\[‎x^3+x+1‎=(x^2+1)‎(x)+‎1.‎‎‎\]
مقسوم: \(x^3+x+1\)
مقسوم‌علیه: \(x^2+1\)
خارج‌قسمت: \(x\)
باقی‌مانده: \(1\)

 

از ما بپرسید


زیرا در عملیات تقسیم، حاصل‌ضرب خارج‌قسمت در مقسوم‌علیه باید از مقسوم کم شود. همانند آنچه در تقسیم اعداد طبیعی انجام می‌دهیم. برای مثال:
تقسیم چند جمله ای ها
همان‌طور که می‌بینید، حاصل‌ضرب خارج‌قسمت در مقسوم‌علیه، یعنی \(10\)، از مقسوم‌علیه کم می‌شود.

چون با عملیات جبری، از سمت راست تساوی رابطهٔ تقسیم می‌توان به سمت چپ رسید، پس رابطهٔ تقسیم یک اتحاد است.

در ویدئوی زیر، با یک مثال دیگر الگوریتم تقسیم چند جمله ای ‌ها توضیح داده شده است.

 

برای دانلود ویدئوی بالا، اینجا را کلیک کنید.

مثال ۳. تقسیم‌های زیر را انجام دهید و رابطهٔ تقسیم را برای هریک از آنها بنویسید.

الف)‌ \((1+x^2+x)\div (1+x)\)

ب) \((-2+2x^3)\div(4x^2)\)

ج) \((x^8+2x^2+1)\div(2x^3-3)\)

د) \((-x^4+4x+x^2)\div(x-1)\)

از ما بپرسید


اکیداً توصیه می‌کنیم که محاسبات سمت راست را، حداقل برای ده‌تا مثال اولی که از تقسیم چند جمله ای ها حل می‌کنید، بنویسید. وقتی خیالتان راحت شد که قرینه کردن را فراموش نمی‌کنید یا در آن اشتباه نمی‌کنید، دیگر نیازی به نوشتن این محاسبات ندارید.
اکثر اشتباهات محاسباتی و بی‌دقتی‌ها، به‌خاطر کم‌حوصلگی در نوشتن و عدم توجه به توصیهٔ معلمان است.

مثال ۴. یک چندجمله‌ای درجه \(5\) را بر یک چندجمله‌ای درجه \(3\) تقسیم کرده‌ایم. درجهٔ خارج‌قسمت چند است؟ چرا؟ یک مثال بزنید.

پاسخ تشریحی

مثال ۵. هریک از تساوی‌های زیر، رابطهٔ یک تقسیم را نشان می‌دهد. ابتدا به‌جای \(P(x)\) چندجمله‌ای مناسب قرار دهید و سپس، مقسوم، مقسوم‌علیه، خارج قسمت، و باقی‌مانده را مشخص کنید.
الف) \(4x^5+1=\big(P(x)\big)\big(2x^2+2x+1\big)+\big(-x^2-2x+\frac{1}{2}\big)\)
ب) \(x^5+2x^2+1=\big(P(x)\big)\big(x^2-x+1\big)+x\)

پاسخ تشریحی

شکل دیگر رابطهٔ تقسیم
همان‌طور که در بالا دیدید، اگر \(F(x)\)، \(P(x)\)، \(Q(x)\)، و \(R(x)\)، به‌ترتیب مقسوم، مقسوم‌علیه، خارج‌قسمت، و باقی‌ماندهٔ یک تقسیم باشند، آن‌وقت رابطهٔ تقسیم به‌صورت زیر است:
\[F(x)=P(x)\times Q(x)+R(x).\]
رابطهٔ تقسیم را به‌‌صورت زیر نیز می‌توان نمایش داد:
\[\frac{F(x)}{P(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{P(x)}.\]

مثال ۶. چند عدد صحیح مانند \(n\) وجود دارد به‌طوری‌که حاصل عبارت زیر عددی طبیعی شود؟
\[\frac{3n^4-5n^3+3n^2-15n-11}{n^2+3}\]

زنگ تفریح

تمرین‌های تقسیم چند جمله ای

 

 

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات