برای اینکه درسنامهٔ تعریف کسر مصری به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


مثال ۱. می‌خواهیم \(5\) پیتزا را به‌طور مساوی بین \(8\) نفر تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ پیتزاها را به \(8\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز می‌توان این کار را انجام داد؟


کسر مصری
درسنامه ریاضی

تعریف کسر مصری
کسری با صورت $1$ و مخرج طبیعی را یک کسر واحد می‌نامند. به مجموع متناهی از کسرهای واحد متفاوت، کسر مصری می‌گویند. به تعداد کسرهای به‌کار رفته در کسر مصری، تعداد جمله‌های یک کسر مصری گفته می‌شود.

مثال ۲. با ذکر دلیل، مشخص کنید که کدام‌یک از عبارت‌های زیر کسر مصری هستند و کدام‌یک کسر مصری نیستند. در مواردی که عبارت داده شده یک کسر مصری است، تعداد جمله‌های آن را تعیین کنید.

الف) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{16}\)

ب) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\)

ج) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\cdots\)

د) \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\)

تقسیم نان‌ بین قورباغه‌ها

در ویدئوی زیر، مسئله‌هایی طرح می‌شود که با استفاده از کسرهای مصری، به‌سادگی حل می‌شوند.

مثال ۳. می‌خواهیم \(7\) نان را به‌طور مساوی بین \(12\) قورباغه تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ نان‌ها را به \(12\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز می‌توان این کار را انجام داد؟

از ما بپرسید

بله! الگوریتم‌هایی وجود دارند که با استفاده از آنها می‌توان هر عدد گویای بین صفر و یک را به‌صورت کسر مصری نوشت.
شکستن کسر واحد
اگر \(n\) یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از \(1\) باشد، داریم:
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\cdot\]در رابطهٔ بالا، واضح است که \(\frac{1}{n+1}\) و \(\frac{1}{n(n+1)}\) کسرهای واحد متفاوتی هستند.

مثال ۴. با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از کسرهای زیر را به‌صورت مجموع دو کسر واحد متفاوت بنویسید.

الف)‌ \(\dfrac{1}{4}\)

ب) \(\dfrac{1}{7}\)

مثال ۵. ابتدا با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از اعداد زیر را به‌صورت کسر مصری بنویسید. سپس تعداد جمله‌های هر کسر مصری را مشخص کنید.
الف)‌ \(\dfrac{2}{3}\)

ب) \(\dfrac{3}{5}\)

ج) \(\dfrac{4}{11}\)

پرسش. فرض کنید \(m\) و \(n\) دو عدد گویا باشند به‌طوری‌که \(m < n\). اگر بخواهیم با روش شکستن کسر واحد، \(\frac{m}{n}\) را به‌صورت کسر مصری بنویسیم، آیا می‌توان گفت که این کسر مصری چند جمله دارد؟

از ما بپرسید

بله. همان‌طور که در مثال بالا دیدید، کافی است ابتدا عدد گویای داده شده را به‌صورت مجموع چندتا \(\frac{1}{n}\) بنویسیم و سپس، هریک از \(\frac{1}{n}\)ها را آنقدر بشکانیم تا به تعدادی کسر واحد متفاوت برسیم.

بله. الگوریتم حریصانه (که در جلسهٔ‌ بعد شرح داده شده است)، تعداد جمله‌های کمتری تولید می‌کند.

تمرین‌های بیشتر

برای تسلط بیشتر به مباحث این جلسه، تمرین‌های آن را نیز حل کنید.

تمرین‌های تعریف کسر مصری

اشتراک
اطلاع از
1 دیدگاه
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات

سلام جواب پرسش:اگر به شکستن اعداد نگاه کنیم می فهمیم که اعداد به ترتیب برابر با توان های دو هستند به طوری که اگر صورت بر مخرج بخش پذیر نباشد و صورت یک باشد جواب برابر با 0^2 هست و اگه صورت دو باشه برابر با 0^2+1^2 هست و اگه صورت سه باشه برابر با 0^2+1^2+2^2 هست و….

Last edited 1 month ago by Bahram Rajabi