برای اینکه درسنامهٔ تعریف کسر مصری به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


مثال ۱. می‌خواهیم \(5\) پیتزا را به‌طور مساوی بین \(8\) نفر تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ پیتزاها را به \(8\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز می‌توان این کار را انجام داد؟

کسر مصری

تعریف کسر مصری
کسری با صورت $1$ و مخرج طبیعی را یک کسر واحد می‌نامند. به مجموع متناهی از کسرهای واحد متفاوت، کسر مصری می‌گویند. به تعداد کسرهای به‌کار رفته در کسر مصری، تعداد جمله‌های یک کسر مصری گفته می‌شود.

مثال ۲. با ذکر دلیل، مشخص کنید که کدام‌یک از عبارت‌های زیر کسر مصری هستند و کدام‌یک کسر مصری نیستند. در مواردی که عبارت داده شده یک کسر مصری است، تعداد جمله‌های آن را تعیین کنید.

الف) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{16}\)

ب) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\)

ج) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\cdots\)

د) \(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\)

تقسیم نان‌ بین قورباغه‌ها

در ویدئوی زیر، مسئله‌هایی طرح می‌شود که با استفاده از کسرهای مصری، به‌سادگی حل می‌شوند.

مثال ۳. می‌خواهیم \(7\) نان را به‌طور مساوی بین \(12\) قورباغه تقسیم کنیم. آیا لازم است همهٔ نان‌ها را به \(12\) قسمت مساوی تقسیم کنیم، یا با استفاده از تعداد برش‌های کمتر نیز می‌توان این کار را انجام داد؟

از ما بپرسید

بله! الگوریتم‌هایی وجود دارند که با استفاده از آنها می‌توان هر عدد گویای بین صفر و یک را به‌صورت کسر مصری نوشت.
شکستن کسر واحد
اگر \(n\) یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از \(1\) باشد، داریم:
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\cdot\]در رابطهٔ بالا، واضح است که \(\frac{1}{n+1}\) و \(\frac{1}{n(n+1)}\) کسرهای واحد متفاوتی هستند.

مثال ۴. با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از کسرهای زیر را به‌صورت مجموع دو کسر واحد متفاوت بنویسید.

الف)‌ \(\dfrac{1}{4}\)

ب) \(\dfrac{1}{7}\)

مثال ۵. ابتدا با استفاده از شکستن کسر واحد، هریک از اعداد زیر را به‌صورت کسر مصری بنویسید. سپس تعداد جمله‌های هر کسر مصری را مشخص کنید.
الف)‌ \(\dfrac{2}{3}\)

ب) \(\dfrac{3}{5}\)

ج) \(\dfrac{4}{11}\)

پرسش. فرض کنید \(m\) و \(n\) دو عدد گویا باشند به‌طوری‌که \(m < n\). اگر بخواهیم با روش شکستن کسر واحد، \(\frac{m}{n}\) را به‌صورت کسر مصری بنویسیم، آیا می‌توان گفت که این کسر مصری چند جمله دارد؟

از ما بپرسید

بله. همان‌طور که در مثال بالا دیدید، کافی است ابتدا عدد گویای داده شده را به‌صورت مجموع چندتا \(\frac{1}{n}\) بنویسیم و سپس، هریک از \(\frac{1}{n}\)ها را آنقدر بشکنیم تا به تعدادی کسر واحد متفاوت برسیم.

بله. الگوریتم حریصانه (که در جلسهٔ‌ بعد شرح داده شده است)، تعداد جمله‌های کمتری تولید می‌کند.

تمرین‌های بیشتر

برای تسلط بیشتر به مباحث این جلسه، تمرین‌های آن را نیز حل کنید.

تمرین‌های تعریف کسر مصری




نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

22 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
امیرمهدی
Member
6 ماه قبل

سلام وقت بخیر
آیا فرمول شکستن کسر ها در کسر هایی که صورت آنها یک نیست هم به کار میره؟
و یا حل این نوع کسر ها که صورتشون یک نیست چگونه است و آیا فرمول خاصی دارد؟

امیرمهدی
Member
پاسخ به  Takmili
6 ماه قبل

خب همین که به صورت حاصل جمع کسر های مساوی با صورت ۱ بنویسیم ، فرمول خاصی نداره؟
البته برای اونایی که صورتشون ۱ نیست
منظورم از فرمول استفاده از متغیرها مانند n است

9934351916
Member
11 ماه قبل

فرمول تعداد کسر های واحد به کار رفته در کسری غیر واحد به روش شکستن کسر واحد

16898589305795952715355023614401.jpg
9934351916
Member
11 ماه قبل

سلام
برای پاسخ پرسش در کلاس می‌توان برای کسر های کوچکتر از واحدی که صورت آنها m است و m بزرگتر از یک است تعداد جمله های کسر مصری به روش شکستن کسر واحد برابر ……………………… است .

سجاد فراهانی
Member
2 سال قبل

سلام
کسرهای بزرگتر از واحد را هم میتوان به صورت مصری نوشت؟
با توجه به تعریف شدنی هست اما چرا هیچ مثالی از آن نیست؟

سجاد فراهانی
Member
پاسخ به  Takmili
2 سال قبل

به نظرم هر عدد طبیعی رو نمیتوان به صورت کسر مصری نوشت. چون کسرها باید متمایز باشند و ما نهایتا از یک کسر واحد میتونیم استفاده کنیم.
البته با کنار گذاشتن قسمت صحیح و فقط سراغ قسمت کمتر از واحد رفتن جریان فرق میکنه و شدنی خواهد بود.

رادوین سالاری
Member
3 سال قبل

سلام! جواب پرسش میشه که بله ! بر حسب m به شرط n>m :
اگر m=1 تعداد جمله ها 2 می باشد
اگر m یک نباشد تعداد جمله ها برابر است با :
یک + دو + چهار + …. + دو به توان m-1
مثلا در 4/11 میشه 1+2+4+8 که میشه 15
آیا درسته ؟!

محمد امینی
Member
3 سال قبل

سلام
من مطالبی در مورد کاربرد مختصات در صنعت موشکی و جی پی اس میخواستم میشه یه سایت یا مقاله معرفی کنین

محمد امینی
Member
3 سال قبل

سلام لطفا درباره ی الگوریتم فیبوناتچی در کسر های مصری یک مقاله بنویسید

محمد امینی
Member
3 سال قبل

سلام می خواستم یه سایت علوم خوب مثل اینجا معرفی کنین

محمد امینی
Member
3 سال قبل

سلام ببخشید میشه درباره ی مثلث خیام یه مقاله ی جامع و خوب بزارید

فاطمه ستوده
Member
3 سال قبل

من جزوه کسر مصری رو خریدم ولی برام ایمیل نشده کجا میتونم ببینمش

Bahram Rajabi
مهمان
4 سال قبل

سلام جواب پرسش:اگر به شکستن اعداد نگاه کنیم می فهمیم که اعداد به ترتیب برابر با توان های دو هستند به طوری که اگر صورت بر مخرج بخش پذیر نباشد و صورت یک باشد جواب برابر با 0^2 هست و اگه صورت دو باشه برابر با 0^2+1^2 هست و اگه صورت سه باشه برابر با 0^2+1^2+2^2 هست و….

رادوین سالاری
Member
پاسخ به  Bahram Rajabi
3 سال قبل

سلام! وقتی صورت یک باشه دو تا میشه پس باید بگیم اگر 1 بود صورت میشه دو تا و اگر نه هم که طبق فرمولی که نوشتی پیش میریم

S M
Member
پاسخ به  رادوین سالاری
2 سال قبل

سلام. خب یک رو استثنا در نظر می گیریم