برای اینکه درسنامه توان منفی را به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟

درسنامه توان


تعریف توان صحیح
فرض کنید \(a\) یک عدد حقیقی و \(n\) یک عدد صحیح باشد. در این‌صورت:
\(\bullet\) اگر \(n > 0\)، آنگاه \[\overset{\text{بار}n}{\overbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}}\]
\(\bullet\) اگر \(n=0\)، آنگاه \[a^0=1.\]
\(\bullet\) اگر \(n < 0\) و \(a\ne0\)، آنگاه \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\]

مثال ۱. در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا پایه و توان را مشخص کنید. سپس، حاصل عبارت را به‌دست آورید.

الف) \(\left(\dfrac{4}{7}\right)^0\)

ب) \(\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-1}\)

ج) \((-2)^{-3}\)

د) \((-3)^{-2}\)

هـ) \(\big(\sqrt{2}\big)^{-2}\)

و) \(-3^{-2}\)

ز) \((-1)^{-1}\)

ح) \(1^{-5}\)

ط) \(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{-3}\)

تون منفی

در واقع، رابطهٔ \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) را ثابت نمی‌کنند، بلکه آن را تعریف می‌کنند. دقت کنید که اگر شما با استفاده از قانون \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) نمی‌توانید رابطهٔ \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) را «اثبات» کنید! چون وقتی تعریف توان به‌صورت
\[\overset{\text{بار}n}{\overbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}}\]
است، در قانون \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)، \(m\) باید بزرگتر از \(n\) باشد، زیرا در غیر این‌صورت و با توجه به تعریف توان طبیعی، توان منفی معنایی ندارد.
بهتر این است که بپرسیم:

چرا \(a^{-n}\) را به‌صورت \(\frac{1}{a^n}\) تعریف می‌کنند؟

دلیل آن در اکثر کتاب‌های درسی، این‌گونه شرح داده شده است:

توان منفی
برشی از صفحهٔ ۶۰ کتاب ریاضی نهم

با چنین تعریفی برای توان‌های منفی، به‌سادگی می‌توان نشان داد که همهٔ قانون‌های ساخته شده برای توان‌های طبیعی، برای توان‌های منفی نیز برقرار است.
در جلسه‌های بعد، تعاریفی برای توان‌های گویای غیرصحیح و گنگ نیز ارائه می‌کنیم.

دقت کنید که با توجه به تعریف اولیهٔ توان، یعنی
\[\overset{\text{بار}n}{\overbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}}\] عبارت \(0^0\) بی‌معنی است. اما به دلایل متعددی صفر به توان صفر را برابر با \(1\) تعریف می‌کنند. برای خواندن این دلایل، اینجا را کلیک کنید.

مثال ۲. در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا پایهٔ هر توان را مشخص کنید. سپس، حاصل را به‌دست آورید.
الف) \(5^{-2}\times2^{-5}\times\left(\frac{5}{2}\right)^0\)

ب) \(7^4\times(-2)^{-4}\times0^3\times(-3)^0\)

ج) \(-2^{-3}\times(-2)^{-4}-2^3\)

د) \(2\times5^{-4}+2^{-3}\times3^{-2}\)

تون منفی

بله. به‌سادگی و با استفاده از تعاریف گفته شده در ابتدای این جلسه، می‌توان قانون‌های ۱ تا ۵ را برای عبارت‌هایی با توان صفر یا توان صحیح منفی نیز ثابت کرد.

مثال ۳. حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

الف) \(5^{-1}\times5^3\times5^9\times5^{-10}\)

ب) \(\big(0.125\big)^9\times\big(\frac{1}{8}\big)^{-8}\times\big(0.01\big)^0\)

ج) \(\dfrac{4^{-1}\times4^{-2}\times4^4}{4\times4^2\times4^{-4}}\)

د) \(4^3+4^3+4^3-3^4\times3^{-1}\)

هـ) \(\dfrac{2+3\times4^{-1}-2\times5^{-1}}{3^2\times2^{-2}-5}\)

و) \(3^{-5}\times4^{-5}\times5^{-5}\)

ز) \(\big(2^{-6}\big)^{-2}\times\big(2^3\big)^{-2}\times\big(2^{-4}\big)^3\)

ح) \(\big(4^2\big)^{-1}+\big(2^{-3}\big)^2\)

ط) \(\dfrac{1001^{-10}\times7^{9}}{143^{-10}}\)

مثال ۵. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) $2^3-2^{-3}$
ب) $5^2+5^2-3^{-3}$
ج) $3^4\times5^{-2}-2^{-2}$
د) $5^2-3^2\times (-3)^{-2}$
ه) $-2^{-3}\times(-2)^{-4}-8$
و) $2\times 5^{-4}+2^{-3}\times3^{-2}$
ز) $3^4\times 3^5\times 5^2\times 3^{-7}-5^3$
ح) $4^3+4^3+4^3-3^4\times3^{-1}$
 
ط) $‎\dfrac{3^4\times5^2\times3^3}{5^3\times2^7\times5}‎$
 
ی) $‎\dfrac{2+3\times4^{-1}-2\times5^{-1}}{3^2\times2^{-2}-5}‎$

پاسخ تشریحی



کتاب هوش et

ریاضی تکمیلی

 

ویدئوی هفته

آیا فقط یک عدد چهاررقمی با خاصیت ۶۱۷۴ وجود دارد؟

ارسال پاسخویدئوهای بیشتر

 

مسئلهٔ هفتهٔ بیست‌وششم

مسئلهٔ هشت وزیر. چگونه \(8\) وزیر را در یک صفحهٔ شطرنج قرار دهیم به‌ طوری‌که هیچ‌کدام دیگری را تهدید نکند.

هشت وزیر

ارسال پاسخمسائل بیشتر

کتاب هوش فرازمینی et

0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات