برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


تعریف بخش‌پذیری
اگر باقی‌ماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای \(P(x)\) بر \(Q(x)\) برابر \(0\) باشد، آن‌وقت \(P(x)\) بر \(Q(x)\) بخش‌پذیر است.

مثال ۱. نشان دهید چندجمله‌ای \(2x^2-10x+x^5-x^4-x^3-12\) بر \(x^2-x-3\) بخش‌پذیر است.

مثال ۲. نشان دهید \(3x+2x^3-9-8x^2\) بر \(1+x^2\) بخش‌پذیر نیست.

قضیهٔ بخش‌پذیری بر چندجمله‌ای‌های درجه \(1\)
فرض کنید \(k\) یک عدد حقیقی و \(P(x)\) یک چندجمله‌ای باشد.
الف) اگر \(k\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(P(x)\) باشد، یعنی \(P(k)=0\)، آن‌وقت \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر است.
ب) اگر \(P(x)\) بر \(x-k\) بخش‌پذیر باشد، آن‌‌وقت \(k\) ریشهٔ چندجمله‌ای \(P(x)\) است، یعنی \(P(k)=0\).

با استفاده از رابطهٔ تقسیم، به‌سادگی می‌توان قضیهٔ بالا را ثابت کرد. (چگونه؟)

مثال ۳. فرض کنید \(P(x)=x^6-14x^4+49x^2-36\). بدون انجام عملیات تقسیم، تعیین کنید که \(P(x)\) بر کدام چندجمله‌ای‌های زیر بخش‌پذیر است.

الف) \(x-1\)

ب) \(x+1\)

ج) \(x+2\)

د) \(x-3\)

هـ) \(x-4\)

مثال ۴. به‌ازای چه مقدار \(m\) عبارت \(4x^3+mx^2-3x+2\) بر \(x-2\) بخش‌پذیر است؟

مثال ۵. رضا ادعا کرد که \(x^3(x^2-13)^2-144x\) بر \(x^3-x^2\) بخش‌پذیر است. او برای اینکه نشان دهد ادعایش درست است، این‌گونه استدلال کرد:
ریشه‌های $x^3-x^2$ اعداد $0$ و $1$ هستند. زیرا:
\[\begin{aligned}&x^3-x^2=0\\&\Rightarrow x^2(x-1)=0\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x&=0,\\x&=1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
با جایگذاری اعداد \(0\) و \(1\) در \(x^3(x^2-13)^2-144x\) داریم:
\[\begin{aligned}&0^3(0^2-13)^2-144(0)=0-0=0,\\&(1)^3(1^2-13)^2-144(1)=(-12)^2-144=144-144=0.\end{aligned}\]
پس بنابه رابطهٔ تقسیم، $x^3(x^2-13)^2-144x$ بر $x^3-x^2$ بخش‌پذیر است.
چرا راه‌حل رضا نادرست است؟

زنگ تفریح


برای اینکه به درس بخش‌ پذیری در چندجمله ای ها مسلط شوید، حتماً تمرین‌های این درس را حل کنید.

تمرین‌های بخش‌ پذیری در چندجمله ای ها

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات