برای اینکه درسنامهٔ مجموعه ها را بهخوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.
چگونه درسنامههای سایت تکمیلی را بخوانیم؟
مقدمه
حاصل عبارت \(8\div2(2+2)\) چیست؟
افراد به پرسش بالا، پاسخهای متفاوتی میدهند:
\[\begin{aligned}&8\div2(2+2)=8\div2(4)=8\div8=1\\[5pt]&8\div2(2+2)=4(2+2)=4(4)=16\end{aligned}\]ولی همانطور که میدانید، در ریاضیات نباید چنین عبارت محاسباتی سادهای، پاسخهای متفاوتی داشته باشد. در ویدئوی زیر، با استفاده از نرمافزارهای مختلف، حاصل این عبارت را محاسبه کردهایم.
واضح است که همهٔ نرمافزارهای بالا، برای محاسبهٔ عبارت \(8\div2(2+2)\)، باید از قانون واحدی پیروی کنند. این قوانین، که ریاضیدانان آنها را تأیید کردهاند، در ادامه آمده است.
اولویت عملگرها
برای محاسبۀ عبارتهای ریاضی، نمادها را بهترتیب زیر بهکار میبرند.
١. پرانتز
۲. توان یا جذر
۳. ضرب یا تقسیم
۴. جمع یا تفریق
اگر در یک عبارت، دو نماد ترتیب یکسانی داشته باشند (مثلاً ضرب یا تقسیم)، ابتدا نمادی را بهکار میبریم که در سمت چپ قرار دارد.
باتوجهبه قانونهای بالا، حاصل عبارت \(8\div2(2+2)\) را بهدست میآوریم:
\[\begin{aligned}&8\div2\times(2+2)\\&=8\div2\times4\\&=4\times4\\&=16.\end{aligned}\]
مثال
حاصل هریک از عبارتهای زیر را بهدست آورید.
الف) \(8\times9+3^2\times2\)
ب) \(8-(3-9\times2^2)\)
ج) \(3+6(11+1-4)\div8\times2\)
د) \(4^{3^2}+\big(4^3\big)^2\)
زنگ تفریح
آزمون آنلاین
اگر در آزمون بالا نمرهٔ قابل قبولی کسب نکردهاید، حتماً تمرینهای اولویت عملگرها را حل کنید.
نرمافزار
در نرمافزارها برای عمل ضرب، تقسیم، و توان، بهترتیب از نمادهای *، /،و ^، استفاده میشود.
در تصویرهای زیر، جئوجبرا و سایت WolframAlpha حاصل عبارت \(2-3^2\times5\div15^2-2^3\) را محاسبه کردهاند و آن را بهصورت یک کسر سادهنشدنی نمایش دادهاند.

اصطلاحات انگلیسی
اگر اصطلاحات انگلیسی را بدانید، میتوانید درسنامههای دیگری را نیز در سایتهای انگلیسی زبان بخوانید.
در متن زیر، سعی کنید که معادل اصطلاحات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توان، و پرانتز را بیابید.
Order of Operations
Do things in Parentheses First\[\begin{aligned}&6\times{\color{red}(5+4)}\\&=6\times{\color{red}9}\\&=54.\end{aligned}\]
Exponents (Powers) before Multiply, Divide, Add or Subtract\[\begin{aligned}&5\times{\color{red}2^3}\\&=5\times{\color{red}8}\\&=40.\end{aligned}\]
Multiply or Divide before you Add or Subtract\[\begin{aligned}&2+{\color{red}5\times7}\\&=2+{\color{red}35}\\&=37.\end{aligned}\]
Otherwise, just go left to right\[\begin{aligned}&{\color{red}30\div5}\times3\\&={\color{red}6}\times3\\&=18.\end{aligned}\]
در ادامه، برای اینکه دوباره اصطلاحات بالا را ببینید، یک تمرین ساده بههمراه راهحل آن آمده است.
What is the value of \(7+(6\times5^2-3)\)?
\[\begin{aligned}{\rm Start\; with}:&\quad7+(6\times5^2-3)\\{\rm Parentheses\;first\;and\;then\;Exponents}:&\quad7+(6\times25-3)\\{\rm Then\;Multiply:}&\quad7+(150-3)\\{\rm Then\;Subtract:}&\quad7+(147)\\{\rm Parentheses\;completed:}&\quad7+147\\{\rm Last\;operation\;is\;an\;Add:}&\quad154.\end{aligned}\]
معذرت میخوام اولویت با توان هست یا قدر مطلق؟
قدر مطلق. قدرمطلق مثل پرانتز است.
در یک عملیات ریاضی اول تفریق اومده بعد ضرب،هیچ کدام هم داخل پرانتز نیست،اول تفریق رو انجام میدیم یا ضرب رو؟؟
اول ضرب را انجام میدهید.
اولویت ضرب و تقسیم بالاتر از جمع و تفریق است.
سلام اولویت با جمع زیر رادیکاله؟یا رادیکال مثلا
رادیکال 4+3 میشه؟ 3
سلام
درواقع، موجودات زیر رادیکال، داخل پرانتزی با توان \(\frac{1}{2}\) هستند. در ریاضیات سال دهم، میخوانید که برای مثال:
\[\begin{aligned}&\sqrt{3+4}&=\big(3+4\big)^{\frac{1}{2}}\\&=9^{\frac{1}{2}}\\&=3.\end{aligned}\]
جواب منفی 2 در پرانتز به توان 2 زیر رادیکال اول باید رادیکالو حسب کنیم یاتوانو
اول باید توان رو حساب کنید.
توجه کنید که حاصل رادیکال نمیتواند عددی منفی شود.
عالییییییییییییییییی بوددددددددددددددد
خیلی ممنون از مطالب زیباتون
ولی سوالی ک اینجا پیش میاد اینکه ما اگه / (تقسیم) خط کسری فرض کنیم نتیجه فرق میکنه!!و مانند نتیجه ای میشه ک اول ضرب رو انجام میدیم
الان کدوم درسته؟!!
اگر بهجای تقسیم خط کسری بگذاریم، خواهیم داشت:
\[\begin{aligned}&\frac{8}{2}(2+2)\\[7pt]&=\frac{8}{2}(4)\\[7pt]&=4(4)\\[7pt]&=16.\\\end{aligned}\]
پس اگر بهجای \(\div\) از خط کسری استفاده کنیم، حاصل عبارت فرقی نمیکند.
صحیح
ولی چرا بعد ۸ زیر خط کسری کل عبارت رو قرار نمیدین؟!
چون در اونصورت باید کل عبارت بعد از \(\div\)، داخل پرانتز میبود:
\[8\div\big(2(2+2)\big)=\frac{8}{2(2+2)}\]
😂😅🤦♂️
مرسی ممنون اینو یادم رفته بود
سلام حاصل این سوال چیست 4+6-10
\[\begin{aligned}&10-6+4\\&=4+4\\&=8.\end{aligned}\]
ببخشید من خواستم تو آزمونک شرکت کنم، ولی همچین چیزی نمایش داده میشه
\(8-4\times3\div2-6\)
\(4^2-3^2-16\div4\)
الان که من چک کردم مشکلی نبود.
اگر با چنین مواری برخورد کردید، صفحه را رفرش کنید. اگر پس از چندبار رفرش، مشکل حل نشد، لطفاً اطلاع بدید.
بله الان امتحان کردم درست شد، ممنونم.
مطالب خیلی عالی بود همرو کامل متوجه شدم آزمون هم عالی
این مثال هایی ک زدین درست نیس ، درسته ک باید عملگر های مساوی رو از چپ ب راست حل کرد اما زمانی ک پرانتز رو حل کردین یک عدد ک تو پرانتز موند نباید پرانتزش برداشته بشه تا اول اون محاسبه بشه
مثلا (2*2)8/2میشه 2 ضربدر 2 میشه 4 که 4 هنوز تو پرانتزه بعدش اول 2*4 میشه در اخر 8 برش تقسیم میشه ک جوابش 1 میشه
همانطور که در متن درس توضیح داده شده است، وقتی دو عمل اولویت یکسانی داشته باشند، باید از چپ به راست عملیات را انجام دهید. بنابراین، پاسخ آن مسئله برابر \(1\) نیست و پاسخ درست \(16\) است. و راهحل تشریحی آن در متن درس هست.
درگزینه د چرا به جای 4به توان 6 نوشتید 4 به توان 9؟ مگه توانها در هم ضرب نمیشن؟
در \(4^{3^2}\)، اولویت با توان است. پس ابتدا \(3\) به توان \(2\) میرسد که حاصل میشه \(9\)؛ و بعد \(4\) به توان \(9\) میرسد.
در \(\big(4^3\big)^2\)، اولویت با پرانتز است. پس ابتدا \(4\) به توان \(3\) میرسد که حاصل میشه \(64\)؛ و بعد \(64\) به توان \(3\) میرسد.
دربارهٔ آنچه میگویید توانها در هم ضرب میشوند، فقط برای \(\big(4^3\big)^2\) برقرار است. چون با توجه به تعریف توان داریم:
\[\begin{aligned}\big(4^3\big)^2&=\big(4^3\big)\big(4^3\big)\\&=4^{3+3}\\&=4^{3\times2}\\&=4^6.\end{aligned}\]
در \(4^{3^2}\)، با توجه به تعریف توان داریم:
\[4^{3^2}=4^{3\times3}=4^9.\]
مثال گزينه ب
پاسخ رو اشتباه نوشتين چون موقع پاسخ صورت مسئله رو عوض كردين
اصلاح شد.
با سپاس فراوان از شما که تذکر دادید.