برای اینکه درسنامه‌های سایت تکمیلی به‌خوبی بیاموزید، حتماً روی لینک زیر کلیک کنید و از روش ارائه شده در آن استفاده کنید.

چگونه درسنامه‌های سایت تکمیلی را بخوانیم؟


اتحاد مربع دوجمله‌ای
اگر \(A\) و \(B\) دوتا چندجمله‌ای دلخواه باشند، آن‌وقت تساوی زیر یک اتحاد است که به آن اتحاد مربع دو جمله ای می‌گویند.
\[({\color{red}A}+{\color{blue}B})^2={\color{red}A}^2+2{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2.\]

(چرا؟)

از ما بپرسید


تساوی \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)، حالت خاصی از اتحاد مربع دوجمله‌ای است. زیرا می‌دانیم:
\[(A-‌B)^2=\big(A+(-B)\big)^2.\]حالا با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای داریم:
\[\begin{aligned}&\big({\color{red}A}+{\color{blue}(-B)}\big)^2\\&={\color{red}A}^2+2{\color{red}A}{\color{blue}(-B)}+{\color{blue}(-B)}^2\\&=A^2-2AB+B^2.\end{aligned}\]

مثال ۱. به کمک اتحاد مربع دوجمله ای حاصل عبارت‌های زیر را به‌صورت یک چندجمله‌ای استاندارد بنویسید.

الف) \((x+3)^2\)

ب) \((5x-2)^2\)

ج) \(\big((x-1)-\sqrt{2}\big)^2\)

د) \(\Big(\big(\frac{2}{3}x+4\big)^2-\frac{16}{3}x\Big)^2\)

تجزیه با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای
می‌دانیم:
\[{\color{red}A}^2\pm2{\color{red}A}{\color{blue}B}+{\color{blue}B}^2=({\color{red}A}\pm{\color{blue}B})^2.\]برای مثال، با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای، چندجمله‌ای \(9x^2+30x+25\) را تجزیه می‌کنیم:
\[\begin{aligned}&9x^2+30x+25\\&=({\color{red}3x})^2+2({\color{red}3x})({\color{blue}5})+{\color{blue}5}^2\\&=({\color{red}3x}+{\color{blue}5})^2.\end{aligned}\]

از ما بپرسید


برای اینکه از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده کنیم، باید \(A\) و \(B\) را بشناسیم! در راه‌حل هریک از مثال‌های بالا، \(A\) و \(B\) به‌ترتیب با رنگ‌های قرمز و آبی نشان‌ داده‌ شده‌اند.

بله! هر چندجمله‌ای که با اتحاد مربع دوجمله‌ای تجزیه شود، درواقع با فاکتورگیری تجزیه شده است! زیرا:
\[\begin{aligned}&A^2+2AB+B^2\\&=\underbrace{A^2+AB}+\underbrace{AB+B^2}\\&=A(A+B)+B(A+B)\\&=(A+B)(A+B).\end{aligned}\] برای مثال، \(9x^2+30x+25\) را می‌توان این‌گونه تجزیه کرد:
\[\begin{aligned}&9x^2+30x+25\\&=\underbrace{9x^2+15x}+\underbrace{15x+25}\\&=3x(3x+5)+5(3x+5)\\&=(3x+5)(3x+5).\end{aligned}\]

مثال ۲. مانند راه‌حل بالا، در هریک از قسمت‌های زیر، ابتدا با مشخص کردن \(A\) و \(B\) چندجمله‌ای داده شده را با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای تجزیه کنید. سپس، به‌عنوان راه‌حل دوم، هریک از چندجمله‌ای‌ها را با استفاده از فاکتورگیری تجزیه کنید.

الف) \(25x^2+20x+4\)

ب) \(y^2-8y+16\)

ج) \(4(a+b)^2-12(a+b)+9\)

از ما بپرسید


اگر می‌خواهید ریاضیات را عمیق بیاموزید، نباید مقایسهٔ روش‌ها باعث شود که یکی را یاد بگیرید و دیگری را نیاموزید.
برای مثال، اگر در مسئله‌های بالا، روش فاکتورگیری را هم بلد باشید، خواهید دید که جزئیات این روش در مسائل سخت‌تر به شما کمک خواهد کرد.
اگر می‌خواهید پیرو بزرگان دنیای ریاضیات باشید، هیچ‌وقت در حل مسائل به یک روش قانع نشوید. برای آشنایی با روش حل مسئلهٔ یکی از برزگ‌ترین ریاضیدانان معاصر،‌ اینجا را کلیک کنید.

اگر درس ضرب کردن عبارت‌های جبری با استفاده از خاصیت پخشی، به‌طور اصولی برای شما تدریس شده باشد، به‌هیچ‌وجه چنین ایده‌هایی دور از ذهن شما نخواهد بود. مثلاً اگر معلم، شما را عادت داده باشد که برای مثال، برای محاسبهٔ \((5x+2)^2\) راه‌حل زیر را به‌طور کامل بنویسید، آن‌وقت ایدهٔ تجزیهٔ \(25x^2+20x+4\) با استفاده از فاکتورگیری، خیلی برایتان عجیب نیست! زیرا برای تجزیهٔ \(25x^2+20x+4\) کافی است که راه‌حل زیر را برعکس بنویسید.
\[\begin{aligned}&(5x+2)^2\\&=(5x+2)(5x+2)\\&={\color{red}5x(5x+2)+2(5x+2)}\\&=25x^2+10x+10x+4\\&=25x^2+20x+4.\end{aligned}\]
متأسفانه، خیلی از معلمان در همان ابتدای تدریس ضرب کردن عبارت‌های جبری، برای سریع‌تر ضرب کردن، استفاده از اتحادها را به دانش‌آموزان توصیه می‌کنند! البته، برخی از معلمان چنین کاری نمی‌کنند ولی آنها هم برای ضرب کردن مثال بالا، خط سوم را نمی‌نویسند!

اگر معلم راه‌حل چنین مثال‌هایی را، مانند بالا، کامل بنویسد و هربار پس از ضرب کردن، تأکید کند که در آینده مبحثی بسیار مهم به‌نام «تجزیه» وجود دارد که …، آن‌وقت ایده‌های فاکتورگیری این‌چنینی برای دانش‌آموزان جدید نخواهد بود.

مثال ۳. ابتدا به کمک فاکتورگیری و اتحاد مربع دو جمله ای، هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید و ریشه‌های آنها را بیابید. سپس، با استفاده از جئوجبرا رفتار آنها را بررسی کنید.
الف) \(x^3+2x^2+x\)

ب) \(9x^4-12x^3+4x^2\)

ج) \(\dfrac{1}{12}+\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x}{3}\)

د) \(5z^2(z+1)+4(z+1)+4\sqrt{5}z^2+4\sqrt{5}z\)

زنگ تفریح


برای اینکه به مطالب این درس مسلط شوید، حتماً تمرین‌های اتحاد مربع دو جمله ای را حل کنید.

ویدئوی هفته

قانون دنبالهٔ زیر چیست؟
\[0,1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10,\dots\]

 

مسئلهٔ هفته

\[1+3+5+7+\dots+(2n-1)=?\]
 

کتاب هفته

خدمتکار و پروفسور

دسترسی سریع

هوش ET
اشتراک
اطلاع از
0 Comments
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات