در یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی‌اند …
اگر دو ضلع یک چهارضلعی، موازی و مساوی باشند، آن چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است. فرض: یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی دارد. حکم: در این چهارضلعی، دو ضلع دیگر نیز موازی‌اند. اثبات. فرض کنید که در چهارضلعی \(ABCD\)، ضلع‌های \(AB\) و \(CD\) مساوی و موازی باشند. می‌خواهیم ثابت کنیم که ضلع‌های \(AD\) و \(BC\) نیز […]
در یک چهارضلعی، قطرها همدیگر را نصف کرده‌اند …
اگر در یک چهارضلعی، قطرها همدیگر را نصف کنند، آن چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است. فرض: در یک چهارضلعی، قطرها همدیگر را نصف کرده‌اند. حکم: در این چهارضلعی، ضلع‌های روبه‌رو موازی‌اند. اثبات. فرض کنید که قطرهای چهارضلعی \(ABCD\) همدیگر را در نقطهٔ \(E\) نصف کرده باشند؛ یعنی \(AE=CE\) و \(BE=DE\). می‌خواهیم ثابت کنیم که \(AB\parallel CD\) و […]
در یک چهارضلعی زاویه‌های روبه‌رو، دوبه‌دو برابرند …
اگر در یک چهارضلعی، زاویه‌های روبه‌رو، دوبه‌دو برابر باشند، آن چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است. فرض: در یک چهارضلعی، زاویه‌های روبه‌رو، دوبه‌دو برابرند. حکم: در این چهارضلعی، ضلع‌ها روبه‌رو موازی‌اند. اثبات. فرض کنیم در چهارضلعی \(ABCD\)، \(\widehat{A}=\widehat{C}\)، و \(\widehat{B}=\widehat{D}\). می‌خواهیم ثابت کنیم \(AB\parallel CD\) و \(BC\parallel AD\). برای سادگی، قرار می‌دهیم: \[\begin{aligned}&\widehat{A}=\widehat{C}=x\\&\widehat{B}=\widehat{D}=y.\end{aligned}\] در چهارضلعی بالا، \(x+y=180^\circ\). (چرا؟) […]
قضیه های هندسه
برای حل مسائل هندسه کافی است قضیه های هندسه را بشناسید و بدانید که از کدام قضیه در کجا و چگونه استفاده کنید. در زیر، تعدادی از قضیه های پرکاربرد در هندسهٔ دورهٔ اول و دوم دبیرستان، به‌همراه اثبات آنها آمده است. قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند. اثبات قضیهٔ خطوط موازی و مورب. اگر […]
قضیهٔ زاویهٔ خارجی (نابرابری)
قضیه زاویه خارجی (نابرابری). هر زاویهٔ خارجی مثلث از هریک از زاویه‌های داخلی غیرمجاورش بزرگ‌تر است. توجه. اگر بخواهیم از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده کنیم، اثبات قضیهٔ بالا واضح است. (قضیهٔ زاویهٔ خارجی مثلث را ببینید.) اما در اثبات زیر، از قضیهٔ مجموع زاویه‌های مثلث استفاده نشده است. در بعضی موارد، از جمله اثبات […]
مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a
مساحت مثلث متساوی الاضلاع به‌ضلع \(a\) برابر \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\) است. اثبات. ارتفاع مثلث متساوی الاضلاعی به طول ضلع \(a\)، برابر \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\) است. (چرا؟) در نتیجه، مساحت مثلث متساوی الاضلاعی به طول ضلع \(a\) برابر است با: \[\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a\times a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.\]
قضیهٔ مثلث 90، 60، 30، و عکس آن
قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه باشد، آن‌وقت ضلع مقابل به زاویه ۳۰ درجه نصف وتر است. (چرا؟) نتیجهٔ قضیهٔ مثلث 90، 60، 30. در یک مثلث قائم‌الزاویه، اگر اندازهٔ زاویه‌های حاده \(30\) و \(60\) درجه، و اندازهٔ وتر برابر \(a\) باشد، آن‌وقت ضلع […]
طول قطر مکعب
تعریف قطر مکعب. در شکل زیر، \(AB\) قطر مکعب است. فرض کنیم، طول یال‌های مکعب بالا برابر \(a\) باشند. برای محاسبهٔ طول \(AB\)، مثلث \(ABC\) را تشکیل می‌دهیم: چون \(A\widehat{C}B=90^\circ\) (؟)، پس مثلث \(ABC\) قائم‌الزاویه است. با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس داریم \(BC=\sqrt{2}\,a\). (چرا؟) بنابراین، \(AB=\sqrt{3}\,a\). (چرا؟) به عبارت دیگر، طول قطر مکعب، \(\sqrt{3}\) برابر […]
نهم. فصل ۳. قضیهٔ زاویه‌های متقابل به‌رأس
قضیهٔ زاویه‌های متقابل‌به‌رأس. زاویه‌های متقابل‌به‌رأس برابرند. فرض: دو زاویه متقابل به‌رأس هستند. حکم: این دو زاویه برابرند. اثبات. در شکل زیر، دو خط \(AC\) و \(BD\) یکدیگر را در نقطهٔ \(O\) قطع کرده‌اند. می‌خواهیم ثابت کنیم که زاویه‌های متقابل‌به‌رأس \(AOB\) و \(COD\) برابرند. برای سادگی، زاویه‌های \(AOB\)، \(AOD\)، و \(COD\) را به‌ترتیب با \(O_1\)، \(O_2\)، […]
نهم. فصل ۳. قضیهٔ خطوط موازی و مورب و عکس آن
قضیه خطوط موازی و مورب. اگر خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کند و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورد، آنگاه $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$. فرض. مطابق شکل بالا، خط $d$ دو خط موازی$\ell_1$ و $\ell_2$ را قطع کرده و زاویه‌های $A_1$ و $B_1$ را پدید آورده است. حکم. $\widehat{A}_1=\widehat{B}_1$. اثبات. از برهان خلف […]