نهم. فصل ۵. اتحاد مزدوج. تمرین ۲ (الف)

۹. ۵. ۷. ۲. الف) با کمک اتحاد مزدوج، حاصل‌ضرب عبارت‌ زیر را حساب کنید. \[(x^3+2x^2-x+4)(x^3-2x^2-x-4)\] راهنمای حل \[\begin{aligned}&(x^3+2x^2-x+4)(x^3-2x^2-x-4)\\&=(x^3-x+2x^2+4)(x^3-x-2x^2-4)\\&=\big({\color{red}(x^3-x)}+{\color{blue}(2x^2+4)}\big)\big({\color{red}(x^3-x)}-{\color{blue}(2x^2+4)}\big)\\&={\color{red}(x^3-x)^2}-{\color{blue}(2x^2+4)^2}\\&={\color{red}(x^6-2x^4+x^2)}-{\color{blue}(4x^4+16x^2+16)}\\&=x^6-2x^4+x^2-4x^4-16x^2-16\\&=x^6-6x^4-15x^2-16.\end{aligned}\]

نهم. فصل ۵. اتحاد مزدوج. تمرین ۳

۹. ۵. ۷. ۳. عبارت $4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2$ را به‌صورت ضرب چهار سه‌جمله‌ای متفاوت بنویسید.  راهنمای حل   \[\begin{aligned}&4a^2c^2-\big(a^2-b^2+c^2\big)^2\\&=\big(2ac\big)^2-\big(a^2-b^2+c^2\big)^2\\&=\big((2ac)-(a^2-b^2+c^2)\big)\big((2ac)+(a^2-b^2+c^2)\big)\\&=\big(2ac-a^2+b^2-c^2\big)\big(2ac+a^2-b^2+c^2\big)\\&=(-1)\big(-2ac+a^2-b^2+c^2\big)\big(2ac+a^2-b^2+c^2\big)\\&=(-1)\big((a^2+c^2-2ac)-b^2\big)\big((a^2+c^2+2ac)-b^2\big)\\&=(-1)\Big((a-c)^2-b^2\Big)\Big((a+c)^2-b^2\Big)\\&=(-1)\Big(\big((a-c)-b\big)\big((a-c)+b\big)\Big)\Big(\big((a+c)-b\big)\big((a+c)+b\big)\Big)\\&=(-1)(a-c-b)(a-c+b)(a+c-b)(a+c+b)\\&=(-a+c+b)(a-c+b)(a+c-b)(a+c+b)\end{aligned}\]