۱. چند تا از عبارت‌های زیر یک‌جمله‌ای هستند؟ ادامهٔ مطلب…

۲. در هر قسمت، یک‌جمله‌ای $A$ را بیابید و ضریب عددی آن را مشخص کنید. ادامهٔ مطلب…

۳. فرض کنید $A$ و $B$ یک‌جمله‌ای‌هایی با ضرایب عددی صحیح باشند. ادامهٔ مطلب…

۴. چند تا از عبارت‌های زیر دوجمله‌ای هستند؟ ادامهٔ مطلب…

۵. در هر یک از قسمت‌های زیر مشخص کنید که هر دوجمله‌ای از مجموع چه یک‌جمله‌ای‌هایی تشکیل شده است. ادامهٔ مطلب…

۶. در هر یک از قسمت‌های زیر $A$ دوجمله‌ای است. ادامهٔ مطلب…

۷. حاصل‌ضرب دو دوجمله‌ای در یکدیگر، چند جمله‌ می‌تواند داشته باشد؟ ادامهٔ مطلب…

۸. اگر $a$ و $b$ دو عدد صحیح باشند، آنگاه دربارهٔ تعداد جملات حاصل‌ضرب $(x^2+ax+1)(x+b)$ پس از ساده‌کردن، کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست و کدام‌یک نادرست است؟ ادامهٔ مطلب…

۹. درجهٔ هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را مشخص کنید. ادامهٔ مطلب…

۱۰. در ردیف دوم جدول زیر، دو سه‌جمله‌ای وجود دارد که حاصل‌ضرب آنها یک نُه‌جمله‌ای درجه $8$ است. ادامهٔ مطلب…

۱۱. برای هریک از چندجمله‌ای‌‌هایی که در پرسش قبل به‌دست آورده‌اید، راه‌حلی بیابید که آن چندجمله‌ای را تجزیه کند. ادامهٔ مطلب…

۱۲. در شکل زیر، دایره‌های خالی را با یک‌جمله‌ای‌هایی که فقط متغیر $x$ دارند، طوری پر کنید که هر سه شرط زیر برقرار باشد. ادامهٔ مطلب…

۱۳. در هریک از خانه‌های جدول زیر، یک چندجمله‌ای بنویسید به‌طوری‌که حاصل‌جمع هر سه خانهٔ پشت‌سرهم برابر $x$ شود. ادامهٔ مطلب…

۱۴. یک ماشین‌حساب، عمل جمع را در یک ثانیه و عمل ضرب را در $5$ ثانیه انجام می‌دهد. ادامهٔ مطلب…

۱۵. اگر در گستردهٔ $3x(2x-\dfrac{1}{3})(x-18)$ به‌جای $x$ عدد $\dfrac{1}{6}$ بگذاریم، حاصل چه عددی است؟ ادامهٔ مطلب…

۱۶. اگر $P(x)=x(x-1)(x-2)$، آنگاه حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. ادامهٔ مطلب…

۱۷. هریک از عبارت‌های زیر، چند ریشه دارند؟ ادامهٔ مطلب…

۱۸. حداقل سه تا چندجمله‌ای درجه $4$ مثال بزنید که ریشه‌های آنها $1$، $2$، $-3$ و $-1$ باشد. ادامهٔ مطلب…

۱۹. $P(x)$ای مثال بزنید که درجهٔ آن $3$ باشد، ادامهٔ مطلب…

تعریف چندجمله‌ای متعادل. ادامهٔ مطلب…

۲۰. کدام‌یک از چندجمله‌ای‌های زیر متعادل هستند؟ ادامهٔ مطلب…

۲۱. کدام‌یک از عبارت‌های زیر هشت‌جمله‌ای متعادل هستند؟ ادامهٔ مطلب…

۲۲. چندجمله‌ای متعادل قسمت «الف» تمرین قبل، چه ارتباطی با قسمت «الف» تمرین ۱۶ صفحهٔ ۹ دارد؟ ادامهٔ مطلب…

۲۳. علی باید جاهای خالی عبارت زیر را با حروف $a$، $b$،  $c$، $d$، $e$ و $f$ طوری پر کند که حاصل عبارت یک چندجمله‌ای متعادل باشد…

الف) علی می‌تواند شش حرف داده شده را طوری در جاهای خالی قرار دهد که حاصل یک چهارده‌جمله‌ای متعادل باشد. ادامهٔ مطلب…

ب) علی می‌تواند شش حرف داده شده را طوری در جاهای خالی قرار دهد که حاصل یک شانزده‌جمله‌ای متعادل باشد. ادامهٔ مطلب…

۱. تساوی‌های ستون راست چه تفاوتی با تساوی‌های ستون چپ دارند؟ ادامهٔ مطلب…

۲. با ذکر دلیل مشخص کنید که کدام یک از تساوی‌های زیر اتحاد است و کدام یک اتحاد نیست. ادامهٔ مطلب…

۳. مثالی بیاورید که اتحاد بودن تساوی زیر را نقض کند. ادامهٔ مطلب…

۴. جفت عبارت‌هایی را که تشکیل اتحاد می‌دهند، بیابید. ادامهٔ مطلب…

۵. در هر قسمت، با اضافه کردن یک چند‌جمله‌ای به عبارت سمت چپ، اتحاد بسازید.

الف‌) $(xy-5)^2\; {\mathbf{,}}\; (x^2y^2+7)$. ادامهٔ مطلب…

ب) $(2y+1)(y^2+2)\; {\mathbf{,}}\;(y^3+3)$. ادامهٔ مطلب…

ج) $(2a-3b)(a+4b)\; {\mathbf{,}}\;(2a^2-8ab)$. ادامهٔ مطلب…

د) $(z+2z^2)(2z-z^3)\; {\mathbf{,}}\;(-z^3)$. ادامهٔ مطلب…

۶. $a$ و $b$ چه اعدادی باشند که تساوی زیر یک اتحاد شود؟ ادامهٔ مطلب…

۷. $a$ و $b$ دو عدد هستند به‌طوری‌که تساوی زیر اتحاد شده است. مقدار $a+b$ را به‌دست آورید. ادامهٔ مطلب…

۸. ابتدا اتحاد بودن هر یک از تساوی‌های زیر را بررسی کنید…

الف) $x^2+x+1=x(x+1)+1$. ادامهٔ مطلب…

ب) $a^2-a+6=(a-3)(a+2)$. ادامهٔ مطلب…

ج) $(2b-7c)(2b+7c)=4b^2-49c^2$. ادامهٔ مطلب…

د) $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-(2xy)^2$. ادامهٔ مطلب…

هـ) $u(u+1)-5(u+1)=(u-5)(u+1)$. ادامهٔ مطلب…

و) $5w-10=5(w-2)$. ادامهٔ مطلب…

ز) $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)$. ادامهٔ مطلب…

ح) $x^2+1=x(x+‎\frac{1}{x})‎$. ادامهٔ مطلب…

ط) $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$. ادامهٔ مطلب…

۹. فرض کنید $P(x)$ یک چندجمله‌ای درجه $1$ باشد. ادامهٔ مطلب…

۱۰. فرض کنید $P(x,y)$ یک چندجمله‌ای باشد که درجهٔ آن نسبت به $x$ برابر $1$ و نسبت به $y$ نیز برابر $1$ است. ادامهٔ مطلب…

۱۱. به کمک فاکتورگیری، چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) $x^4+2x^3+3x^2$. ادامهٔ مطلب…

ب) $‎(z+5)z-z(7-z)$. ادامهٔ مطلب…

ج) $c^3+2c^2-3c-6$. ادامهٔ مطلب…

د) $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$. ادامهٔ مطلب…

۱۲. آیا فاکتورگیری، همیشه یک چندجمله‌ای را تجزیه می‌کند؟ ادامهٔ مطلب…

۱. آیا حاصل‌ضرب یک دوجمله‌ای در خودش همواره سه‌جمله‌ای است؟ ادامهٔ مطلب…

۲. با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای هر عبارت را تجزیه کنید.

الف) $k^2+3k+‎\frac{9}{4}‎$. ادامهٔ مطلب…

ب) $5z^2+4+4\sqrt{5}z$. ادامهٔ مطلب…

ج) $36x^2y^4-12xy^2+1$. ادامهٔ مطلب…

د) $4(a+b)^2-12(a+b)+9$. ادامهٔ مطلب…

هـ) $(u-1)^2-2(u-1)(1-v)+(1-v)^2$. ادامهٔ مطلب…

۳. یک دوجمله‌ای را در خودش ضرب کنید و حاصل‌ضرب را به هم‌کلاسی‌هایتان بدهید و از آنها بخواهید آن را تجزیه کنند. ادامهٔ مطلب…

۴. ابتدا به کمک فاکتورگیری و اتحاد مربع دوجمله‌ای، چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) $-y^2-16+8y$. ادامهٔ مطلب…

ب) $‎\dfrac{1}{12}+‎\dfrac{x^2}{3}+‎\dfrac{x}{3}‎‎‎$. ادامهٔ مطلب…

ج) $(z+1)^3+6(z+1)^2+9(z+1)$. ادامهٔ مطلب…

د) $‎\dfrac{9}{2}(u+4)^3+‎\dfrac{49}{8}(u+4)-‎‎‎\dfrac{21}{2}(u+4)^2‎$. ادامهٔ مطلب…

۵. چرا می‌توان از اتحاد مربع دوجمله‌ای برای تجزیه کردن کمک گرفت؟ ادامهٔ مطلب…

۶. می‌دانیم $a+1$ عددی منفی است. ادامهٔ مطلب…

۷. می‌دانیم $a$ عددی منفی است. ادامهٔ مطلب…

۸. اگر $a$، $b$ و $c$ سه عدد حقیقی باشند و $\{(a+1)^2+2,(b-1)^3\}=\{-1,-a^4,c\}$، آنگاه چند مقدار مختلف برای $a^{-c}+b$ وجود دارد؟ ادامهٔ مطلب…

۹. اگر $a$، $b$ و $c$ سه عدد حقیقی باشند و $\{\sqrt{a^2-10a+25},\sqrt[3]{b^9},\sqrt{-c}\}=\{-8,3\}$، آنگاه کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست و کدام‌یک نادرست است؟ ادامهٔ مطلب…

۱۰. الف) یک چندجمله‌ای بیابید که $\sqrt{2}‌$ ریشه‌اش باشد ولی ضرایب یک‌جمله‌ای‌های آن اعداد صحیح باشند. ادامهٔ مطلب…

۱۰. ب) یک چندجمله‌ای بیابید که $1-\sqrt{2}$ ریشه‌اش باشد ولی ضرایب یک‌جمله‌ای‌های آن اعداد صحیح باشند. ادامهٔ مطلب…

۱۰. ج) یک چندجمله‌ای بیابید که $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ریشه‌اش باشد ولی ضرایب یک‌جمله‌ای‌های آن اعداد صحیح باشند. ادامهٔ مطلب…

۱. سه‌جمله‌ای $4x^2+36x+P$، گستردهٔ مربع یک دوجمله‌ای است. ادامهٔ مطلب…

۲. یک یک‌جمله‌ای به هریک از عبارت‌های زیر اضافه کنید به‌طوری‌که عبارت حاصل، گستردهٔ مربع یک دوجمله‌ای باشد.

الف) $x^2+10x$. ادامهٔ مطلب…

ب) $x^2+3x$. ادامهٔ مطلب…

ج) $4y^2+12y$. ادامهٔ مطلب…

د) $4a^2+14ab$. ادامهٔ مطلب…

هـ) $4a^2+7ab$. ادامهٔ مطلب…

و) $5a^2+2\sqrt{5}a$. ادامهٔ مطلب…

ز) $5a^2+7a$. ادامهٔ مطلب…

ح) $4a^2+25$. ادامهٔ مطلب…

ط) $a^6+4$. ادامهٔ مطلب…

ی) $a^5+1$. ادامهٔ مطلب…

۳. درستی محاسبهٔ زیر را بررسی کنید. ادامهٔ مطلب…

۴. ثابت کنید: ادامهٔ مطلب…

۵. در هر مورد اعداد گویای $a$ و $b$ را طوری تعیین کنید که تساوی برقرار باشد. ادامهٔ مطلب…

۶. در تساوی‌های زیر اعداد طبیعی $x$ و $y$ را طوری تعیین کنید که $a$ و $b$ نیز اعدادی طبیعی شوند. ادامهٔ مطلب…

۷. حاصل هریک از عبارت‌های زیر را به‌دست آورید. ادامهٔ مطلب…

۱. اگر $a$، $b$ و $c$ سه عدد باشند و بدانیم $a^2+b^2+c^2=0$، ادامهٔ مطلب…

۲. چندجمله‌ای $x^2+y^2+2-2x-2y$ را به‌صورت مجموع مربع دو دوجمله‌ای بنویسید. ادامهٔ مطلب…

۳. می‌دانیم $x^2+y^2+\dfrac{1}{4}z^2-2x+2y-z+3=0$. ادامهٔ مطلب…

۴. اگر $a$ و $b$ دو عدد باشند، آنگاه ثابت کنید مقدار چندجمله‌ای زیر همواره مثبت است. ادامهٔ مطلب…

۵. ثابت کنید: ادامهٔ مطلب…

۱. $a$ و $b$ چه اعدادی باشند که تساوی زیر یک اتحاد شود؟ ادامهٔ مطلب…

۲. حاصل‌ضرب یک سه‌جمله‌ای در خودش حداقل و حداکثر چند جمله‌ دارد؟ ادامهٔ مطلب…

۳. به چند روش متفاوت می‌توان با افزودن یک دوجمله‌ای به عبارت زیر، این عبارت را به‌صورت مربع یک سه‌جمله‌ای نوشت؟ ادامهٔ مطلب…

۴. عبارت‌های زیر را به‌صورت مربع یک سه‌جمله‌ای بنویسید. ادامهٔ مطلب…

۵. اتحاد زیر را کامل کنید. ادامهٔ مطلب…

۱. چرا می‌توان از اتحاد مزدوج برای تجزیه کردن کمک گرفت؟ ادامهٔ مطلب…

۲. با کمک اتحاد مزدوج، حاصل‌ضرب عبارت‌های داده شده را حساب کنید.

الف) $(x^3+2x^2-x+4)(x^3-2x^2-x-4)$. ادامهٔ مطلب…

ب) $(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)(x^8-x^4y^4+y^8)$. ادامهٔ مطلب…

۳. عبارت $4a^2c^2-(a^2-b^2+c^2)^2$ را به‌صورت ضرب چهار سه‌جمله‌ای متفاوت بنویسید. ادامهٔ مطلب…

۴. ابتدا به کمک فاکتورگیری و اتحاد مزدوج، چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) $-625y+y^3$. ادامهٔ مطلب…

ب) $(x+2)^4-4(x+2)^2$. ادامهٔ مطلب…

۵. برای تجزیه چندجمله‌ای‌‎های زیر از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج کمک بگیرید.

الف) $(x^2-8x+8)^2-64$. ادامهٔ مطلب…

ب) $(x+y)^4-(x-y)^4$. ادامهٔ مطلب…

ج) $(x^4+4x^2+4)-4x^2$. ادامهٔ مطلب…

د) $4y^4+1+4y^2-4y^2$. ادامهٔ مطلب…

هـ) $2z^2+z^4+1-2z^2$. ادامهٔ مطلب…

و) $k^8+64+16k^4-16k^4$. ادامهٔ مطلب…

۶. اگر $a-b=1$، آنگاه درستی تساوی زیر را ثابت کنید. ادامهٔ مطلب…

۷. ثابت کنید:

الف) $(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{1000}\times (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{998}=11-2\sqrt{30}$. ادامهٔ مطلب…

ب) $\sqrt[3]{7-4\sqrt{3}}\times \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}}=1$. ادامهٔ مطلب…

۸. اگر برای چهار عدد $a$، $b$، $c$ و $d$ داشته باشیم $a+b=c+d$ و $a^2+b^2=c^2+d^2$، آنگاه ثابت کنید $\{a,b\}=\{c,d\}$. ادامهٔ مطلب…

۹. در تجزیه عبارت $a^2(1-x)+(b^2+c^2-2bc)(x-1)$، کدام‌یک از چندجمله‌ای‌های زیر می‌توانند وجود داشته باشند؟ ادامهٔ مطلب…

۱۰. با استفاده از اتحاد مزدوج، مخرج کسرهای زیر را گویا کنید. ادامهٔ مطلب…

۱۱. حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. ادامهٔ مطلب…

۱۲. فرض کنید $a=\sqrt{1394}+\sqrt{1357}$. ادامهٔ مطلب…

۱۳. اگر $x=1-\sqrt{2}‎$ باشد، حاصل $\sqrt[3]{x+x^{-1}}$ چقدر است؟ ادامهٔ مطلب…

۱۴. آیا $x^4+3x^2+4$ با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج، تجزیه می‌شود؟ ادامهٔ مطلب…

۱۵. آیا $x^4+3x^2+1$ با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج، تجزیه می‌شود؟ ادامهٔ مطلب…

۱۶. چندجمله‌ای‌های زیر را با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج، تجزیه کنید.

الف) $x^4+4x^2+16$. ادامهٔ مطلب…

ب) $x^4+4x^2-16$. ادامهٔ مطلب…

ج) $x^4+2x^2+9$. ادامهٔ مطلب…

د) $x^4-2x^2+9$. ادامهٔ مطلب…

هـ) $x^4-5x^2+11$. ادامهٔ مطلب…

و) $x^4+5x^2-599$. ادامهٔ مطلب…

ز) $4x^4+1$. ادامهٔ مطلب…

ح) $x^4+1$. ادامهٔ مطلب…

۱۷. به‌جای $a$ و $b$ در عبارت $x^4+ax^2+b$ اعدادی قرار دهید که اگر عبارت حاصل را به هم‌کلاسی‌هایتان دادید، آنها نتوانند این عبارت را به‌سادگی تجزیه کنند. ادامهٔ مطلب…

۱۸. اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند، آیا $x^4+ax^2+b$ همیشه با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج، تجزیه می‌شود؟ ادامهٔ مطلب…

۱۹. دربارهٔ ریشه داشتن و تجزیه شدن دو چندجمله‌ای $x^2+1$ و $x^4+1$ بحث کنید. ادامهٔ مطلب…

۱. چرا می‌توان از اتحاد جمله‌مشترک برای تجزیه کردن کمک گرفت؟ ادامهٔ مطلب…

۲. ابتدا با استفاده از اتحاد جمله‌مشترک هریک از چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) $x^2-2x-8$. ادامهٔ مطلب…

ب) $y^2-10y+16$. ادامهٔ مطلب…

ج) $4k^2+14k+‎10‎$. ادامهٔ مطلب…

د) $16h^2+16h+3$. ادامهٔ مطلب…

۳. فرض کنید $P(x)$ یک چندجمله‌ای و مجموعهٔ ریشه‌های آن $R$ باشد، ادامهٔ مطلب…

۴. به کمک فاکتورگیری، اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد جمله‌مشترک، چندجمله‌ای‌های زیر را تجزیه کنید.

الف) $(x^2+3x+2)+(x^2+4x+3)$. ادامهٔ مطلب…

ب) $8x^3+16x^2+6x$. ادامهٔ مطلب…

ج) $(x^2+4x+4)+(x^2+3x+2)$. ادامهٔ مطلب…

۵. در تجزیهٔ عبارت $(x^2-10x+16)(x^4-5x^2+4)$ چه تعداد چندجمله‌ای درجهٔ یک متفاوت وجود دارد؟ ادامهٔ مطلب…

۶. مقادیر $a$ و $b$ را طوری بیابید که تساوی زیر یک اتحاد باشد. ادامهٔ مطلب…

۷. فرض کنید $k$ عددی طبیعی باشد. ادامهٔ مطلب…

۱. برای چند مقدار $a$، عبارت $a^2x+1>ax$ نامعادلهٔ یک مجهولی درجه اول نیست؟ ادامهٔ مطلب…

۲. طرفین نامعادلهٔ $2x-1<3x+2$ با طرفین کدام نامعادله جمع شود که جواب آن $x<7$ شود؟ ادامهٔ مطلب…

۳. نامعادلهٔ $2x+d<5x-3$ را در نظر بگیرید. ادامهٔ مطلب…

۴. اگر $A$ و $B$ به‌ترتیب مجموعه جواب نامعادله‌های $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}>1$ و $\dfrac{3}{2}x+2>2x-3$ باشند، آنگاه $A\cap B$ را به‌دست آورید. ادامهٔ مطلب…

۵. اگر مجموعهٔ $A$ مجموعه جواب نامعادلهٔ یک مجهولی درجه اول $P(x)<Q(x)$ و مجموعهٔ $B$ مجموعه جواب نامعادلهٔ یک مجهولی درجه اول $R(x)<S(x)$ باشد، آنگاه درستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید. ادامهٔ مطلب…

۶. اگر $x\in\mathbb{Z}$، آنگاه دربارهٔ درستی یا نادرستی دو عبارت زیر بحث کنید. ادامهٔ مطلب…