۹. ۱. ۲. ۷. اگر $A=\{1,2,3,4,5\}$، آنگاه حداکثر با چند زیرمجموعهٔ $A$ می‌توان یک پادزنجیر ساخت؟ آن را بسازید.
تعریف پادزنجیر را در اینجا ببینید.


راهنمای حل

اگر همهٔ زیرمجموعه‌های دو عضوی یا زیرمجموعه‌های سه‌عضوی مجموعهٔ $A$ را بنویسیم، آنگاه طولانی‌ترین پادزنجیر ممکن به‌دست می‌آید(؟):
\[\begin{aligned}&\{1,2\}\\&\{1,3\}\\&\{1,4\}\\&\{1,5\}\\&\{2,3\}\\&\{2,4\}\\&\{2,5\}\\&\{3,4\}\\&\{3,5\}\\&\{4,5\}\end{aligned}\]


پرسش در کلاس ۱. تعداد زیرمجموعه‌های $k$ عضوی یک مجموعهٔ $n$ عضوی چه ارتباطی با اعداد سطر $n$اُم مثلث خیام دارد. برای مثال، آیا تعداد زیرمجموعه‌های $3$ عضوی یک مجموعهٔ $5$ عضوی در مثلث خیام ظاهر شده است؟

پرسش در کلاس ۲. فرض کنید $A$ یک مجموعهٔ $n$ عضوی باشد. دربارهٔ درستی یا نادرستی جمله‌های زیر بحث کنید.
الف) اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه همهٔ زیرمجموعه‌های $\frac{n}{2}$عضویِ $A$ طولانی‌ترین پادزنجیر از زیرمجموعه‌های $A$ را تشکیل می‌دهند.
ب) اگر $n$ عددی فرد باشد، آنگاه همهٔ زیرمجموعه‌های $\frac{n+1}{2}$عضویِ $A$ طولانی‌ترین پادزنجیر از زیرمجموعه‌های $A$ را تشکیل می‌دهند.

پرسش در کلاس چیست؟


 

درسنامه مجموعه

 


نوشته‌های قبلی و بعدی


اشتراک
اطلاع از
شماره موبایل شما نمایش داده نمی‌‌شود.

64 پرسش‌ها و نظرات
Inline Feedbacks
مشاهده همه نظرات
نبننن یبنقن
Member
23 روز قبل

پرسش2:
الف:طولانی ترین پادزنجیر را زیر مجموعه های nتقسیم بر دو ؛nتقسیم بر دو به علاوه یک تشکیل می دهند.
ب:کاملا درست

نبننن یبنقن
Member
23 روز قبل

در مثلث خیام مجموع اعداد هر سطر از فرمول 2^(n-1) به دست ما آید.تعداد زیر مجموعه ها از فرمولn^2 به دست می آید بنابراین؛تعداد زیر مجموعه یک مجموعه kعضوی برابر است با مجموع اعداد سطر k+1 مثلث خیام.

محمد امین کوتی
Member
5 ماه قبل

از کجا فهمیدید که تعداد زیر مجموعه های دو عضوی و سه عضوی برابر هستند؟

Takmili
Admin
پاسخ به  محمد امین کوتی
5 ماه قبل

چون به‌ازای هر زیرمجموعهٔ دوعضوی، مانند \(S\)، دقیقاً یک زیرمجموعهٔ سه‌عضوی، مانند \(T\)، هست که \(S\) و \(T\) عضو مشترکی ندارند و همهٔ‌ اعضای \(A\) در \(S\) و \(T\) دیده می‌شوند.
به زبان ساده، می‌توان هریک از زیرمجموعه‌های دوعضوی \(A\) را دقیقاً با یکی از زیرمجموعه‌های سه‌عضوی \(A\) متناظر کرد:
\[\begin{aligned}&\{1,2\}\leftrightarrow\{3,4,5\}\\&\{1,3\}\leftrightarrow\{2,4,5\}\\&\{1,4\}\leftrightarrow\{2,3,5\}\\&\{1,5\}\leftrightarrow\{2,3,4\}\\&\{2,3\}\leftrightarrow\{1,4,5\}\\&\{2,4\}\leftrightarrow\{1,3,5\}\\&\{2,5\}\leftrightarrow\{1,3,4\}\\&\{3,4\}\leftrightarrow\{1,2,5\}\\&\{3,5\}\leftrightarrow\{1,2,4\}\\&\{4,5\}\leftrightarrow\{1,2,3\}.\end{aligned}\]
بنابراین، اگر تعداد زیرمجموعه‌های دوعضوی \(A\) را بدانیم، یعنی تعداد زیرمجموعه‌های سه‌عضوی آن را هم می‌دانیم!

پرسش: می‌دانیم تعداد زیرمجموعه‌های \(4\)عضوی یک مجموعهٔ‌ \(10\)عضوی، \(210\)تاست. تعداد زیرمجموعه‌های \(6\)عضوی این مجموعه چندتاست؟

hani
مهمان
1 سال قبل

سلام وقت بخیر . ممنون میشم پاسخ بدید . برای پرسش دو من امتحان کردم و درست بود . و خب رابطه ی زیر مجموعه ها با خیام رو متوجه شدم اما دلیل درست بودنش چیه؟

Takmili
Admin
پاسخ به  hani
1 سال قبل

سلام
اثبات درستی این مسئله نیازمند دانشی بیش از ریاضی نهم است.

hani
مهمان
پاسخ به  Takmili
1 سال قبل

ممنون لطف کردید . و اینکه رابطه ی فاکتوریل برای به دست اوردن تعداد زیر مجموعه های n عضوی یک مجموعه با وجود همان عدد در مثلث خیام ارتباطی دارد؟

Takmili
Admin
پاسخ به  hani
1 سال قبل

بله. ارتباط دارد.
اگر می‌خواهید خودتان این مطالب را بیاموزید، فصل ترکیبیات کتاب ریاضی دهم یا فصل‌های ترکیبیات کتاب محافل ریاضی را بخوانید.

نوید کردلو
Member
2 سال قبل

با سلام با عرض معذرت من در جواب پرسش در کلاس ۱ یادم رفت که بنویسم که این اعدادی که ما بدست آوردیم در سطر n+1 دیده می شوند
جواب پرسش در کلاس ۲ : هر دو درست اند اگر به مثلث خیام نگاهی بیاندازیم هر دو را می توانیم جواب دهیم البته در قسمت ب اگر به جای بعلاوه ، منها هم قرار دهیم جواب درست است .

نوید کردلو
Member
2 سال قبل

جواب پرسش در کلاس ۱ : تعداد زیر مجموعه های ۰ عضوی، ۱ عضوی ، ۲ عضوی و ….. و تعداد زیر مجموعه های n عضوی از یک مجموعه n عضوی در سطر nام مثلث خیام به ترتیب آمده اند .

رادوین سالاری
Member
2 سال قبل

سلام میتونستیم به جاش همه سه عضوی ها رو بنویسیم ! ( هر چند در راه حل تفاوتی ایجاد نمیکرد ) به این شکل :
1,2,3
1,2,4
1,2,5
1,3,4
1,3,5
1,4,5
2,3,4
2,3,5
2,4,5
3,4,5
که بازم 10 تا میشه حداکثرش !

ندا ژیانفر
Member
3 سال قبل

چرا فقط دو عضوی حساب شده نمیشه دو عضوی و سه عضوی رو با هم جمع کرد؟؟؟؟؟

Takmili
Admin
پاسخ به  ندا ژیانفر
3 سال قبل

خیر!
اگر دو عضوی‌ها و سه‌عضوی‌ها را بنویسید، آنگاه بین بعضی از مجموعه‌ها رابطهٔ زیرمجموعه برقرار است.

علی احمد
Member
3 سال قبل

ببخشید این سایتی که گذاشتید نوشته هاش پس و پیش بود یعنی پرسش در کلاس دو (الف) و (ب) اش هردو درست هستند آره؟؟؟؟؟؟؟

Takmili
Admin
پاسخ به  علی احمد
3 سال قبل

نوشته‌هاش پس و پیش بود!؟ الان دوباره اون سایت رو چک کردم و مشکلی ندیدم. لطفاً صفحه را رفرش کنید یا مرورگرتان را به‌روز کنید.
پرسش در کلاس دو، در واقع با توجه به صورت قضیهٔ‌ اسپرنر نوشته شده است. (و در ریاضیات، قضیه‌ها عبارت‌هایی هستند که درستی آنها ثابت شده است.)

علی احمد
Member
3 سال قبل

سلام
ببخشید چرا تعداد زیر مجموعه های دو عضوی یا سه عضوی جواب این مسئله شد؟؟؟؟ دلیل و راه حل این انتخاب چیست؟؟؟؟؟؟

Takmili
Admin
پاسخ به  علی احمد
3 سال قبل

سلام
احتمالاً شما راه‌حلی برای جواب این مسئله در حالت کلی می‌خواهید. (در واقع، پاسخ «پرسش در کلاس ۲»)
قطعاً منظور نویسندگان کتاب ریاضی تکمیلی این نبوده که دانش‌آموز حالت کلی مسئله را حل کند. در اینجا با کمی آزمون و خطا می‌توان به جواب رسید.
اما اگر جواب حالت کلی مسئله را می‌خواهید باید اثبات قضیهٔ اسپرنر را بخوانید.

علی احمدی
مهمان
3 سال قبل

سلام و تشکر از ساییتون. میتونیم از عبارت((2)) استفاده کنیم برای پاد زنجیر؟ یا زیر مجموعه حساب میشه؟
لطفا جواب بدید چون یکم گیج شدم

Takmili
Admin
پاسخ به  علی احمدی
3 سال قبل

سلام.
منظورتون اینه که آیا \(\{\{2\}\}\) یک پادزنجیر هست یا نه؟

علی احمدی
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

بله . یعنی میتونیم اون رو هم به ۱۰ تایی که شما نوشتید اضافه کنیم یا نه؟

Takmili
Admin
پاسخ به  علی احمدی
3 سال قبل

خیر! چون \(\{\{2\}\}\) زیرمجموعهٔ \(A\) نیست. دقت کنید که \(\{\{2\}\}\) با \(\{2\}\) برابر نیست.

علی احمدی
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

ممنون

معید
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

بله چون موقع زیر مجموعه بودن یک آکولاد کم میشه یعنی:{{۳}} اگه بخوایم بگیم زیر مجموعه ی A هستش یک آکولاد رو کم میکنیم یعنی میشه{۳} زیر مجموعه ی A و اگه {۳} میشه ۳ (موقع زیر مجموعه گرفتن)

آرش حاتمی
مهمان
پاسخ به  علی احمدی
3 سال قبل

داداش مثل اینه که یکی اسمش علی باشه یکی علیرضا ولی این دونفرو ک نمیشه ی نفر حساب کنیم

ناشناس
مهمان
3 سال قبل

میشه لطفا بیشتر توضیح بدین که چجوری باید اینارو حساب کنیم؟

Takmili
Admin
پاسخ به  ناشناس
3 سال قبل

اگر منظورتان پرسش در کلاس‌ها است، لطفاً روی «پرسش در کلاس چیست؟» کلیک کنید و متن مربوطه را بخوانید.

Paria jenner
مهمان
3 سال قبل

شما تو جواب مجموعه ۳ عضویش رو ننوشتید؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Paria jenner
3 سال قبل

در راه‌حل نوشته شده «همهٔ مجموعه‌های دوعضوی یا سه‌عضوی». ما دوعضوی‌ها را نوشته‌ایم. به‌عنوان یک پاسخ دیگر، شما می‌توانید همهٔ زیرمجموعه‌های سه‌عضوی را بنویسید.

sahand
مهمان
3 سال قبل

چرا شما تک عضوی ها و دوعضوی ها و سه عضوی ها را با هم حساب نکردید؟

Takmili
Admin
پاسخ به  sahand
3 سال قبل

می‌خواهیم پادزنجیر بسازیم. دقت کنید که تک‌عضوی‌ها نباید زیرمجموعهٔ دوعضوی‌ها باشند. آیا می‌توانید پادزنجیری با بیش از \(10\) عضو بسازید؟

Paria Babapour
مهمان
3 سال قبل

سلام….در توضیح پادزنجیر گفته شده بین هر دوعضو ان ولی شما سه عضوی رو هم برای ساخت پادزنجیر حساب کردین چرا؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Paria Babapour
3 سال قبل

اعضای پادزنجیر، مجموعه هستند. برای مثال، اگر \(A=\{1,2,3,4,5\}\)، آن‌وقت \(\Big\{\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{2,3,4\}\Big\}\) یک پادزنجیر چهارعضوی از مجموعهٔ \(A\) است.
از فردا و به‌مرور تا آخر شهریور ۹۹، جلسات درسنامه‌های مجموعه در سایت تکمیلی منتشر می‌شوند. حتماً این درسنامه را بخوانید.

Paria jenner
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

تو کدوم قسمت سایتن؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Paria jenner
3 سال قبل

از منوی بالای سایت، به قسمت محصولات بروید؛ سپس ریاضی نهم را انتخاب کنید، و بعد از آن روی درسنامهٔ مجموعه‌ها کلیک کنید.

سیاوش کاردار تهران
Member
3 سال قبل

پرسش دو با توجه به مثلث خیام و ارتباط اعداد هر سطر با تعداد زیر مجوعه های یک مجوعه n عضوی به راحتی مشخص است که درست می باشد. حتی در قسمت (ب) پرسش 2 میتوان به جای زیرمجموعه های n+1 تقسیم بر دو n-1 تقسیم بر دو هم بزاریم باز هم درست میباشد.

راحله ايزانلو
مهمان
3 سال قبل

سلام ببخشید من بخش پاد زنجیر رو کلا متوجه نشدم میشه کمکم کنید

Takmili
Admin
پاسخ به  راحله ايزانلو
3 سال قبل

تعریف پادزنجیر را خوانده‌اید؟

asal falahazmoun
مهمان
4 سال قبل

سلام خسته نباشید برای اینکه متوجه شیم دو عضوی ها بیشترن یا سه عضوی ها فرمولی وجود داره یا حتی روشی که متوجه شیم بدون نوشتن تمام اعضا؟

Takmili
Admin
پاسخ به  asal falahazmoun
4 سال قبل

سلام
بله. رابطه‌هایی وجود دارد که مربوط به مباحث سال‌های بالاتر است.

ناشناس
مهمان
پاسخ به  asal falahazmoun
3 سال قبل

بله میتونید از یه سری رابطه ها تعداد دو ،سه ،چهار و ….عضوی ها رو به دست بیارید.
که ما همین امسال(نهم)خوندیم?‍♀️
یکی از این رابطه ها:
دو عضوی:(n×(n-1بر روی(۱×۲)
سه عضوی:(n×(n-1)×(n-2بر روی(۱×۲×۳)
و ادامه دارد…
که n:تعداد عضو های مجموعه مورد نظر
امیدوارم مطلب رو درست بهتون رسونده باشم??

مهدیه
مهمان
پاسخ به  asal falahazmoun
3 سال قبل

نمیشه با رابطه چیدمان حلش کرد؟

آرمان طناز
Member
پاسخ به  asal falahazmoun
3 سال قبل

فقط کافیه فرمول ترکیب یا انتخاب رو بلد باشی
تعداد زیر مجموعه های k عضوی یک مجموعه n عضوی برابر است با انتخاب k از n
این فرمول برای پایه دهمه و برای نهم نیست
نکته دوم فرمول دوست ناشناسمون هم تغییر یافته همین فرموله!

Takmili
Admin
پاسخ به  آرمان طناز
3 سال قبل

البته، فقط آشنایی با آن فرمول کافی نیست.
دقت کنید که اگر می‌خواهید مسئله را کامل حل کنید، باید ثابت که برای برای اعداد طبیعی \(n\) و \(i\) که \(0\leq i\leq n\)، وقتی \(\binom{n}{i}\) بیشترین مقدار ممکن را دارد که \(i=\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor\).

حلما حیدری
مهمان
4 سال قبل

چرا نمیتوان هم تک عضوی ها و هم دو عضوی و سه عضوی ها را هم زمان نوشت؟

Takmili
Admin
پاسخ به  حلما حیدری
4 سال قبل

چون هیچ‌کدام نباید زیرمجموعهٔ‌ دیگری باشد.
لطفاً تعریف پادزنجیر را با دقت بخوانید.

حسین نیکنام
مهمان
4 سال قبل

تعداد پادزنجیرهای سه عضوی نیز 10 تاست ایا میتوانیم برای این سوال هم دوعضوی و هم سه عضوی را بنویسیم؟

Takmili
Admin
پاسخ به  حسین نیکنام
4 سال قبل

بله. هریک از این دو جواب، درست هستند.

roja fakoor
مهمان
4 سال قبل

دم جاجی جونز گرم.عالی??

Ifat
مهمان
4 سال قبل

چرا تک عضوی نمینویسیم؟

Takmili
Admin
پاسخ به  Ifat
4 سال قبل

چون تعداد تک‌عضوی‌ها کمتر می‌شه.

fatemeh
مهمان
4 سال قبل

ایا جواب پرسش ۲ هر دو مورد درست هستند؟؟

Takmili
Admin
پاسخ به  fatemeh
4 سال قبل

بله. آیا می‌توانید دلیل بیاورید؟

Mahdi Panahi
مهمان
پاسخ به  Takmili
4 سال قبل

من میتونم

آنیا رضاییان
مهمان
پاسخ به  Takmili
4 سال قبل

دریک مجموعه n عضوی تعداد زيرمجموعه های k عضوی وn-k عضو باهم برابرند

Takmili
Admin
پاسخ به  آنیا رضاییان
4 سال قبل

چرا؟

آرشام آثار
مهمان
پاسخ به  Takmili
3 سال قبل

به این علت که در انتخاب r شی از n شی(بدون تکرار) در مخرج کسر جمع دو فاکتوریل ها همیشه برابر تعدادn است
روش دیگر دقت کردن به مثلت خیام هست که شکل قرینه‌ای دارد.

تهمینه
مهمان
5 سال قبل

سلام،خسته نباشید
در مورد پرسش 2به نظر الف درست و ب نادرست است
حواب قسمت ب فکر کنم n+1تقسیم بر 2 منهای 1جواب باشد

Amir
مهمان
5 سال قبل

سلام آیا میشه برای این سوال فرمول
\[\begin{aligned}\frac{n(n+1)}{2}\end{aligned}\]
رو بکار برد؟

تهمینه
مهمان
5 سال قبل

پرسش 2
هردو اشتباه است
فکر میکنم زیر مجموعه های دو عضوی هر مجموعه ای طولانی ترین پاد زنجیر است

xXEagle_GamerXx
مهمان
5 سال قبل

سلام
الآن تعداد زیر مجموعه های دوعضوی و سه عضوی برابره؟

navid javani
مهمان
5 سال قبل

سلام خسته نباشید.
ببخشید متوجه نشدم کمی بیشتر توضیح میدهید.

حل‌المسائل ریاضی تکمیلی سمپاد
مهمان
پاسخ به  navid javani
5 سال قبل

سلام.
تعریف پادزنجیر را با دقت بیشتر بخوانید و همهٔ زیرمجموعه‌های $A$ را بنویسید.

آیا دو زیرمجموعه که تعداد اعضای آنها یکسان است، می‌توانند عضو پادزنجیر باشند؟

r.r
مهمان

طبق این توضیح شما، یعنی زیر مجموعه های 3عضوی مجموعه A نیز می توانند جواب این سوال باشند؟

حل‌المسائل ریاضی تکمیلی سمپاد
مهمان
پاسخ به  r.r
5 سال قبل

بله. درسته.