۸. ۴. ۱. ۶. الگوی زیر را با دقت ببینید.
\[\begin{aligned}1&=1\times1\\1+3&=2\times2\\1+3+5&=3\times3\\1+3+5+7&=4\times4\\1+3+5+7+9&=5\times5\\1+3+5+7+9+11&=6\times6\\\end{aligned}\]
الف) قانون الگوی بالا چیست؟ آیا می‌توانید دو سطر بعدی این الگو را بنویسید؟
ب) سعی کنید با استفاده از شکل زیر توضیح دهید که چرا تساوی‌های بالا برقرار است.
راهنمای حل
الف) قانون الگو این است که:
اگر از ۱ شروع کنیم و nتا عدد فرد متوالی را بنویسیم، مجموع این n عدد برابر است با $n^2$.
دو سطر بعدی الگو به‌صورت زیر است:
\[\begin{aligned}1+3+5+7+9+11+13=7\times 7&\\1+3+5+7+9+11+13+15=8\times 8&\end{aligned}\]
ب) تعداد نقطه‌های داخل هر راهرو عددی فرد است و برای شمارش همهٔ نقطه‌ها (در هر مرحله) کافی است تعداد اعداد فرد (آن مرحله) را به توان ۲ برسانیم.
اگر توضیح بالا واضح نیست، ابتدا کمی بیشتر فکر کنید و سپس روی لینک زیر کلیک کنید.
پرسش در کلاس ۱. باتوجه‌به شکل بالا (و بدون محاسبه)، درستی یا نادرستی تساوی زیر را بررسی کنید.
\[\frac{1+3+5+\cdots+15}{17+19+21+\cdots+31}=\frac{1}{3}\]
پرسش در کلاس ۲. آیا رابطهٔ زیر برای هر عدد طبیعی \(n\) درست است؟
\[\frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+\cdots+(4n-1)}=\frac{1}{3}\cdot\]
درسنامهٔ ویژهٔ هشتمی‌های سمپاد
سلام ممکنه کتاب ریاضی تستی برای ریاضی و ریاضیات تکنمیلی هفتم معرفی کنید
سلام
چنین کتابی وجود ندارد. چون کتاب‌های تست با ساختار کتاب‌های ریاضیات تکمیلی کاملاً متناقض است.
اگر می‌خواهید خودتان را بسنجید، از ری‌آزمون‌های تکمیلی استفاده کنید.
سلام ببخشید 2به توان دو رو نفهمیدم و یک سوال دیگه من سوالات ریاضیم رو که تستس زدم رو کجا میتونم ارسال کنم؟
جایی میدانید که جواب دهد؟
سلام
متأسفانه، هر دو سؤالتان را متوجه نشدم!
در سؤال اول‌تان، آیا می‌خواهید بدانید که با توجه به شکل‌ها، چرا \(1+3\) با \(2^2\) برابر است؟
در سؤال دوم‌تان، کدام سؤالات ریاضی را تستس زدید؟ آیا جایی را می‌خواهید که تست‌های شما را تصحیح کند؟
چرا 1+3+2+4+…+(2n-1) ?(2n-1)از کجا میاد؟!
یک عدد فرد دلخواه را میتوان با \(2n-1\) نمایش داد.
باسلام، معنی 2n-1 آخر رو متوجه نمیشم
سلام
به‌جای \(n\) عدد بگذارید. مثلاً اگر \(n=10\) باشد، یعنی باید اعداد فرد را از \(1\) تا \(19\) جمع بزنید.
ضمنا رابطه هندسی برای دو عبارت پرسش در کلاس فکر کنم این شکلی هستش :
توی اولی:
مربع به ضلع 8 بعد مربع به ضلع 16 خب ما نمی خوایم محاسبه کنیم پس میایم میگیم یک مربع 16 در 16 رو میشه به چهار مربع 8 در 8 تفسیم کرد ( دو تا ردیف دو تا ستون میشه 4 ) اما پایینی یه دونه از اون مربع های هشت در هشت رو نداره چون از یک شروع نشده پس نسبت میشه 1 به 3
همینطور در دومی مربع به ضلع n بعد مربعی به ضلع 2n میشه 4 تا بعد باز یکی حذف میشه چون از اول شروع نشده پس بازم 1 به 3
ایا درسته؟
فرمول اعداد فرد متوالی هستش که میشهn^2
سلام در مورد سعی کنید با استفاده از شکل های زیر توضیح دهید که چرا تساوی های بالا برقرار است ؟
میشه بیشتر توضیح بدید؟
منظورتون قسمت «ب» هست؟
اگر به شکل‌هایی که مرحله به مرحله رسم شده‌اند دقت کنید، هرکدام شبیه یک مربع است. (مربع 1 در 1، مربع 2 در 2، مربع 3 در 3، مربع 4 در 4 و … )
یعنی مثلاً 1+3 نقطه را جوری جابه‌جا می‌کنیم که تبدیل به یک مربع 2 در 2 شود؛ یا مثلاً 1+3+5 نقطه را طوری جابه‌جا می‌کنیم که تبدیل به یک مربع 3 در 3 شود، و ….
با سلام رابطه ای که در قسمت پرسش در کلاس بیان شده کاملا درست است واضح است که صورت سوال برابر با n به توان دو خواهد بود اما درباره مخرج اگر دقت کنیم می بینیم هر قسمت به اندازه 2n از هر قسمت عبارت اول بیشتر است پس به اندازه (2n(n بیشتر خواهد بود حال میدانیم که خود عبارت اصلی که جمع ان n به توان دو بوده در مخرج وجود دارد پس حاصل عبارت برابر خواهد بود با n تقسیم بر (2n+2n(n که با فاکتور گیری خواهیم داشت n به توان دو تقسیم بر (3n(n که می شود یک سوم . موفق باشید!
حاصل جمع مخرج چطور 192میاد
منظورتون اینه که با چه تکنیکی اعداد مخرج را جمع کنیم؟
می‌توانید با توجه به آنچه در این مسئله دیدید، این‌گونه عمل کنید:
\[1+3+5+\dots+31=16^2\]
و
\[1+3+5+\dots+15=8^2\]
پس
\[17+19+\dots+31=16^2-8^2=192.\]
یا، برای محاسبهٔ حاصل مخرج، می‌توانید از روش نجمه که در تمرین بعد آمده است، استفاده کنید.
توجه کنید که در پرسش بالا، خواسته شده که بدون محاسبه درستی تساوی را بررسی کنید. پرسش ۲ اضافه شد که منظور را بهتر درک کنید.
ممنون
مخرج که با فرمول nبه توان دورو میشه حساب کنید.آخه من با فرمول تعداد برای مخرج nرو هشت بدست اوردم نه ۱۶
پاسخ سوال خودتون یکسوم نمی سود پس غلط است
تساوی داده شده، دوباره بررسی شد.
صورت کسر برابر 64 و مخرج آن برابر 192 است. پس حاصل کسر همان 1/3 است. پس تساوی داده شده درست است.
درود
در جواب پرسش
میتوان شکل را یک مربع ۱۶×۱۶ در نظر گرفت ،و این مربع را به ۴ مربع ۸×۸ تقسیم کرد ،که صورت یک مربع ۸×۸ و مخرج ۳ مربع ۸×۸ است بنابراین حاصل کسر یک سوم میشود
مجموع عدد اول و آخر صورت برابر ۱۶ می شود و مجموع عدد اول و آخر مخرج برابر ۴۸ می شود با توجه به اینکه تعداد اعداد جمع شده در صورت و مخرج برابر ۸ و یکسان است پس ۱۶/۴۸=۱/۳
(شانزده چهل و هشتم برابر یک سوم است)
باسلام خدمت شما و ممنون بابت وقتی که برای حل کردن سوالات می گذارید.
راه حل پرسش شما رو با حساب کردن بدست آوردم؛ با شکل چگونه بدست می‌آید؟
سپاس.