هشتم. فصل ۱. یادآوری عددهای صحیح. تمرین ۱۰

۸. ۱. ۱. ۱۰. نوشین حاصل عبارتِ
\[1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\]
را این‌گونه محاسبه کرد:

الف) راه حل نوشین را شرح دهید.
ب) با استفاده از راه‌حل نوشین، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1^2+2^2+3^2+\dots+117^2\]

راهنمای حل

الف) نوشین $1^2$ را یه‌دونه $1$، $2^2$ را دوتا $2$، $3^2$ را سه‌تا $3$، $4^2$ را چهارتا $4$، و $5^2$ را پنج‌تا $5$ در نظر گرفته است و می‌خواهد مجموع زیر را محاسبه کند.
\[1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5\]
نوشین اعداد بالا را با سه ترتیب متفاوت در کادرهای صورتی رنگ بالا نوشته است. او حاصل‌جمع اعداد متناظرِ این کادرها را در کادر آبی نوشته است. حالا مجموع اعداد داخل کادر آبی $3$ برابر مجموعی است که نوشین می‌خواست آن را محاسبه کند. توجه کنید که نوشین با استفاده از ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷)، تعداد اعداد داخل کادر آبی را محاسبه کرده است.

ایدهٔ نوشین مشابه ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷) است. نجمه برای اینکه به‌سادگی مجموعِ
\[1+2+3+\cdots+n\]
را محاسبه کند، هر عدد را دوبار می‌نویسد، و هر دو عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر دو عدد متناظر برابر $(n+1)$ شود. پس:
\[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

نوشین برای اینکه مجموعِ
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\]
را محاسبه کند، ابتدا هریک از اعداد $1^2$، $2^2$، $3^2$، $\cdots$، $n^2$ را به‌صورت مجموعی از یک یا چند عدد برابر می‌نویسد. سپس هریک از اعداد را سه‌بار می‌نویسد و هر سه عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر سه عدد متناظر برابر $2n+1$ شود. پس باتوجه‌به کادرهای صورتی و آبی بالا، می‌توان روش نوشین را تعمیم داد:
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2&=\frac{(2n+1)(\frac{n(n+1)}{2})}{3}\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\end{aligned}\]

ویدئوی ارسالی یکی از کاربران سایت تکمیلی

ب)
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+117^2&=\frac{117\big(117+1\big)\big(2(117)+1\big)}{6}\\&=\frac{117\times 118\times 235}{6}\\&=\frac{39\times 3\times 59\times 2\times 235}{3\times 2}\\&=39\times 59\times 235\\&=540735.\end{aligned}\]

درسنامهٔ ویژهٔ هشتمی‌های سمپاد