۸. ۷. ۲. ۳. در شکل زیر، $AB=3\sqrt{2}$. نقطه‌های $B$ و $C$ چه اعدادی را نشان می‌دهند؟ طول پاره‌خط $BC$ چقدر است؟


راهنمای حل

مثلث قائم‌الزاویه‌ای را که در شکل می‌بینید، به‌صورت زیر نام‌گذاری می‌کنیم.

در مثلث $MNP$، $MN=1$، $NP=1$ و زاویهٔ $MNP$ قائمه است؛ پس بنابه قضیهٔ فیثاغورس داریم:
\[\begin{aligned}&MP^2=MN^2+NP^2\\&\Rightarrow MP^2=1^2+1^2\\&\Rightarrow MP^2=2\\&\Rightarrow MP=\sqrt{2}.\quad (\star)\end{aligned}\]
چون $MA$ و $MP$ هر دو شعاع دایره‌اند، پس $MA=MP$ و از رابطهٔ ($\star$) نتیجه می‌شود  $MA=\sqrt{2}$. پس نقطهٔ $A$ عدد $1+\sqrt{2}$ را نشان می‌دهد.
چون $MC$ شعاع دایره‌ای به شعاع $\sqrt{2}$ است، پس $AC=2\sqrt{2}$. پس نقطهٔ $C$ عدد
\[\big(1+\sqrt{2}\big)-2\sqrt{2}=1-\sqrt{2}\]
را نشان می‌دهد.
بنابه فرض مسئله $AB=3\sqrt{2}$. پس نقطهٔ $B$ عدد
\[\big(1+\sqrt{2}\big)-3\sqrt{3}=1-2\sqrt{2}\]
را نشان می‌دهد.
چون $C$ متناظر با $1-\sqrt{2}$ و $B$ متناظر با $1-2\sqrt{2}$ است پس طول پاره‌خط $BC$ برابر است با:
\[\begin{aligned}&\big(1-\sqrt{2}\big)-\big(1-2\sqrt{2}\big)\\&=1-\sqrt{2}-1+2\sqrt{2}\\&=\sqrt{2}.\end{aligned}\]

دیدگاه بگذارید

avatar
  Subscribe  
Notify of