۸. ۷. ۱. ۷. اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد، آنگاه همهٔ جواب‌های معادلهٔ زیر را بیابید.
\[6^8=3^4\times a^b.\]


راهنمای حل

ابتدا مقدار $a^b$ را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&3^4\times a^b=6^8\\&\Rightarrow 3^4\times a^b=\big(2\times 3\big)^8\\&\Rightarrow 3^4\times a^b=2^8\times 3^8\\&\Rightarrow a^b=\frac{2^8\times 3^8}{3^4}\\&\Rightarrow a^b=2^8\times 3^4\end{aligned}\]
چون بنابه فرض مسئله، $b$ عددی طبیعی است، پس $b$ فقط می‌تواند یکی از اعداد $1$، $2$، یا $4$ باشد(؟).
پس:
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^8\times3^4\big)^1\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}a&=2^8\times3^4=20736,\\b&=1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^4\times3^2\big)^2\\&\Rightarrow \left\{\begin{aligned}a&=2^4\times3^2=144,\,\text{یا}\;a=-144,\\b&=2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^2\times3\big)^4\\&\Rightarrow \left\{\begin{aligned}a&=2^2\times3=12,\,\text{یا}\;a=-12,\\b&=4.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]


برای معلمان. به دانش‌آموزان بگویید در سال آینده تعریف توان صحیح را خواهند دید. همچنین در دورهٔ دوم دبیرستان توان‌های گویا و گنگ نیز تعریف می‌شوند. لطفاً تمرین ۹. ۴. ۱. ۸ را ببینید.


2
دیدگاه بگذارید

avatar
1 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
Takmiliآوا Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
آوا
Guest
آوا

سلام خسته نباشید، خیلی متشکرم به خاطر اینکه چنین سایت خوبی دارید.
میخواستم بگم برای این سوال، چون گفته شده که a عددی صحیح است، پس یعنی می تواند منفی هم باشد. پس علاوه بر این جواب های شما، منفی ۱۲ به توان ۴ و منفی ۱۴۴ به توان ۲ هم می توانند جواب درست باشند. یعنی a، -۱۲ و ۱۴۴- هم می تواند باشد.
سپاسگزارم.

Takmili
Admin

سلام. خوشحالیم که شما دوستان عزیز، ایرادات را تذکر می‌دهید.
سپاسگزاریم.