۸. ۷. ۱. ۷. اگر $a$ عددی صحیح و $b$ عددی طبیعی باشد، آنگاه همهٔ جواب‌های معادلهٔ زیر را بیابید.
\[6^8=3^4\times a^b.\]


راهنمای حل

ابتدا مقدار $a^b$ را به‌دست می‌آوریم:
\[\begin{aligned}&3^4\times a^b=6^8\\&\Rightarrow 3^4\times a^b=\big(2\times 3\big)^8\\&\Rightarrow 3^4\times a^b=2^8\times 3^8\\&\Rightarrow a^b=\frac{2^8\times 3^8}{3^4}\\&\Rightarrow a^b=2^8\times 3^4\end{aligned}\]
چون بنابه فرض مسئله، $b$ عددی طبیعی است، پس $b$ فقط می‌تواند یکی از اعداد $1$، $2$، یا $4$ باشد(؟).
پس:
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^8\times3^4\big)^1\\&\Rightarrow\left\{\begin{aligned}a&=2^8\times3^4=20736,\\b&=1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^4\times3^2\big)^2\\&\Rightarrow \left\{\begin{aligned}a&=2^4\times3^2=144,\,\text{یا}\;a=-144,\\b&=2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]
یا
\[\begin{aligned}&a^b=\big(2^2\times3\big)^4\\&\Rightarrow \left\{\begin{aligned}a&=2^2\times3=12,\,\text{یا}\;a=-12,\\b&=4.\end{aligned}\right.\end{aligned}\]


برای معلمان. به دانش‌آموزان بگویید در سال آینده تعریف توان صحیح را خواهند دید. همچنین در دورهٔ دوم دبیرستان توان‌های گویا و گنگ نیز تعریف می‌شوند. لطفاً تمرین ۹. ۴. ۱. ۸ را ببینید.


4
دیدگاه بگذارید

avatar
2 Comment threads
2 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
3 Comment authors
مهتابTakmiliآوا Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
مهتاب
Guest
مهتاب

سلام
خیلی ممنون اما یک سوال دارم
چون ۱ و ۲ و ۴ شمارنده اعداد ۲و۸ بودند ان ها رابه عنوان b قرار دادیم ؟
با سپاس

Takmili
Admin

سلام.
بله.

آوا
Guest
آوا

سلام خسته نباشید، خیلی متشکرم به خاطر اینکه چنین سایت خوبی دارید.
میخواستم بگم برای این سوال، چون گفته شده که a عددی صحیح است، پس یعنی می تواند منفی هم باشد. پس علاوه بر این جواب های شما، منفی ۱۲ به توان ۴ و منفی ۱۴۴ به توان ۲ هم می توانند جواب درست باشند. یعنی a، -۱۲ و ۱۴۴- هم می تواند باشد.
سپاسگزارم.

Takmili
Admin

سلام. خوشحالیم که شما دوستان عزیز، ایرادات را تذکر می‌دهید.
سپاسگزاریم.