۸. ۱. ۱. ۱۱. در کتاب ریاضی تکمیلی هفتم با چندحجره‌ای‌ها و $n$-پله آشنا شدید. برای یادآوری، تعریف $n$-پله در ادامه آمده است.
در شکل‌های مقابل، شکل $1$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $1$-پله می‌گوییم؛ شکل $2$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $2$-پله می‌گوییم؛ شکل $3$ نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یک چندحجره‌ای است که به آن $3$-پله می‌گوییم.
با همین الگو $n$-پله را تعریف می‌کنیم. بنابراین $n$-پله‌ای‌ها نمای روبه‌رو، نمای بالا و نمای چپ یکسانی دارند. شکل زیر، تصویری سه‌بعدی از یک $3$-پله است.
با روش نوشین، تعداد مکعب‌های واحد به‌کاررفته در یک $n$-پله را به‌دست آورید.


راهنمای حل


ایراد مسئله. تعریف $n$-پله اشکال دارد. توجه کنید که تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $3$-پله می‌تواند ۹ یا  ۱۰ باشد.


در اینجا، ما تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $n$-پله با بیشترین حجم ممکن را به‌دست می‌آوریم. تمرین ۷. ۶. ۷. ۵ را ببینید.
ابتدا با ایدهٔ نوشین (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۱۰) تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $5$-پله (با بیشترین حجم ممکن) را به‌دست می‌آوریم و سپس راه‌حل را به $n$-پله (با بیشترین حجم ممکن) تعمیم خواهیم داد.

اگر $5$-پله (با بیشترین حجم ممکن) را به $5$ طبقه تقسیم کنیم، تعداد مکعب‌های هر طبقه به‌صورت زیر است.
تعداد مکعب‌های طبقهٔ اول:
\[1+2+3+4+5\]
تعداد مکعب‌های طبقهٔ دوم:
\[1+2+3+4\]
تعداد مکعب‌های طبقهٔ سوم:
\[1+2+3\]
تعداد مکعب‌های طبقهٔ چهارم:
\[1+2\]
تعداد مکعب‌های طبقهٔ پنجم:
\[1\]
بنابراین برای محاسبهٔ تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $5$-پله (با بیشترین حجم ممکن) باید حاصل عبارت زیر را به‌دست آوریم:
\[(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1\]
در عبارت بالا، پنج‌تا $1$، چهارتا $2$، سه‌تا $3$، دوتا $4$، و یک‌دانه $5$ وجود دارد. مشابه ایدهٔ نوشین در مسئله ۸. ۱. ۱. ۱۰، این اعداد را سه‌بار می‌نویسیم:
پس مجموع این اعداد برابر است با:
\[\frac{7\times \frac{5\times 6}{2}}{3}\]
یا به‌عبارتِ‌دیگر،
\[\begin{aligned}1+3+6+10+15&=\frac{7\times \frac{5\times 6}{2}}{3}\\&=\frac{5\times 6\times 7}{6}.\end{aligned}\]
بنابراین تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در یک $n$-پله (با بیشترین حجم ممکن) برابر است با:
\[1+3+6+\cdots+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.\]


پرسش ۱. تعداد مکعب‌های به‌کار رفته در هر طبقهٔ یک $n$-پله (با بیشترین حجم ممکن)، یک عدد مثلثی است. دربارهٔ اعداد مثلثی تحقیق کنید. (مسئلهٔ ۷. ۱. ۱. ۸ را ببینید.)

پرسش ۲. باتوجه‌به تعریف $n$-پله که در مسئلهٔ بالا آمده است، یک $4$-پله حداقل از چند مکعب تشکیل شده است؟ آیا می‌توانید بگویید یک $n$-پله حداقل از چند مکعب تشکیل شده است؟


 

6
دیدگاه بگذارید

avatar
4 Comment threads
2 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
3 Comment authors
مپاکانحل‌المسائل ریاضی تکمیلیتهمینه Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
م
Guest

سلام
میشه جواب پرسش دو رو بدید🤔

پاکان
Guest
پاکان

ببخشید می خواستم بدونم که(n(n+1چطوری در کل رابطه به وجودآمد؟دبیر مدرسه ما می گفت مربوط به رابطه گاوس هستش،درسته،لطفا توضیح دهید

تهمینه
Guest
تهمینه

درود ،خسته نباشید
ببخشید چرا تعداد اعداد ۷ برابر ۵ضربدر ۶ تقسیم بر ۲ است
در حالی که ۵ضربدر ۶ تقسیم بر ۲ میشود مجموع اعداد ۱تا ۵
میشه لطفاً برام توضیح بدین تا متوجه شم که چرا تعداد اعداد ۷ با مجموع اعداد ۱ تا ۵ برابر است؟

تهمینه
Guest
تهمینه

سلام ، خسته نباشید،ببخشید طرز چیدن اعداد از چه قانونی پیروی میکند ،از کجا بفهمیم که باید ایگونه بچینیم ،در مثال 10چرا اعداد را جوری چیدیم که حاصل 11بشه ولی در مثال 11جوری چیدیم که حاصل 7شد ، ممنونم