۸. ۱. ۱. ۱۰. نوشین حاصل عبارتِ
$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$$
را این‌گونه محاسبه کرد:

الف) راه حل نوشین را شرح دهید.
ب) با استفاده از راه‌حل نوشین، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.
\[1^2+2^2+3^2+\dots+117^2\]


راهنمای حل

الف) نوشین $1^2$ را یه‌دونه $1$، $2^2$ را دوتا $2$، $3^2$ را سه‌تا $3$، $4^2$ را چهارتا $4$، و $5^2$ را پنج‌تا $5$ در نظر گرفته است و می‌خواهد مجموع زیر را محاسبه کند.
\[1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5\]
نوشین اعداد بالا را با سه ترتیب متفاوت در کادرهای صورتی رنگ بالا نوشته است. او حاصل‌جمع اعداد متناظرِ این کادرها را در کادر آبی نوشته است. حالا مجموع اعداد داخل کادر آبی $3$ برابر مجموعی است که نوشین می‌خواست آن را محاسبه کند. توجه کنید که نوشین با استفاده از ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷)، تعداد اعداد داخل کادر آبی را محاسبه کرده است.

ایدهٔ نوشین مشابه ایدهٔ نجمه (مسئلهٔ ۸. ۱. ۱. ۷) است. نجمه برای اینکه به‌سادگی مجموعِ
\[1+2+3+\cdots+n\]
را محاسبه کند، هر عدد را دوبار می‌نویسد، و هر دو عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر دو عدد متناظر برابر $(n+1)$ شود. پس:
\[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\]

نوشین برای اینکه مجموعِ
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\]
را محاسبه کند، ابتدا هریک از اعداد $1^2$، $2^2$، $3^2$، $\cdots$، $n^2$ را به‌صورت مجموعی از یک یا چند عدد برابر می‌نویسد. سپس هریک از اعداد را سه‌بار می‌نویسد و هر سه عدد را باهم متناظر می‌گیرد به‌طوری‌که مجموع هر سه عدد متناظر برابر $2n+1$ شود. پس باتوجه‌به کادرهای صورتی و آبی بالا، می‌توان روش نوشین را تعمیم داد:
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2&=\frac{(2n+1)(\frac{n(n+1)}{2})}{3}\\&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\end{aligned}\]

ب)
\[\begin{aligned}1^2+2^2+3^2+\cdots+117^2&=\frac{117\big(117+1\big)\big(2(117)+1\big)}{6}\\&=\frac{117\times 118\times 235}{6}\\&=\frac{39\times 3\times 59\times 2\times 235}{3\times 2}\\&=39\times 59\times 235\\&=540735.\end{aligned}\]

9
دیدگاه بگذارید

avatar
8 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
5 Comment authors
☺سلامAlone Girleنیما اکبریفمهدیه بیات Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
☺
Guest

سلام میشه لطفا جمع توان ۳ های اعداد متوالی رو با روش نوشین بگین لطفا🙂

سلام
Guest
سلام

2*118 می شود 236 چرا نوشتید 235

Alone Girle
Guest
Alone Girle

.Thanks. It’s perfect

نیما اکبریف
Guest
نیما اکبریف

سلام. چرا مجموع 3 عدد متناظر(2n+1) در مجموع مسئله نجمه ضرب شده است؟

مهدیه بیات
Guest
مهدیه بیات

دمتون گرم دیگه نمیخواد 4 ساعت سر هر مسئله فکر کنیم

پارمیس
Guest
پارمیس

عالی بود ^^

Emily
Guest
Emily

It is a perfect
Maybe please solve it in another way

حل‌المسائل ریاضی تکمیلی سمپاد
Guest
حل‌المسائل ریاضی تکمیلی سمپاد

دوست داریم مسئله‌ها را از چند روش متفاوت حل کنیم، ولی فعلاً اولویت‌مان حل همه مسائل است.

محمدرضا
Guest
محمدرضا

عالی عالی عالی …عالی