۷. ۵. ۱۰. ۳. کسرهای $‎\frac{2}{39}‎$ و $‎\frac{3}{26}‎$ را در نظر بگیرید.
الف) کوچک‌ترین کسر ساده‌ نشدنی را بیابید که اگر آن را بر هریک از این دو کسر تقسیم کنیم، حاصل عددی طبیعی شود.
ب) بزرگ‌ترین کسر ساده‌ نشدنی را بیابید که اگر هریک از این دو کسر را بر آن تقسیم کنیم، حاصل عددی طبیعی شود.


راهنمای حل

الف) فرض کنید کسر مورد نظر $\frac{x}{y}$ باشد. چون $\frac{x}{y}$ کوچک‌ترین کسر ساده‌ نشدنی است، پس $(x,y)=1$ و $x$ باید کوچک‌ترین عدد ممکن باشد و $y$ بزرگ‌ترین عدد ممکن باشد. حاصل تقسیم $\frac{x}{y}$ بر کسرهای $‎\frac{2}{39}‎$ و $‎\frac{3}{26}‎$ باید عددی طبیعی باشد.

\[\begin{aligned}\frac{\frac{x}{y}}{\frac{2}{39}}=\frac{39x}{2y}\quad (1)\end{aligned}\]
بنابراین $x$ باید مضرب $2$ باشد، و $y$ شمارندهٔ $39$ باشد.

\[\begin{aligned}\frac{\frac{x}{y}}{\frac{3}{26}}=\frac{26x}{3y}\quad (2)\end{aligned}\]
بنابراین $x$ باید مضرب $3$ باشد، و $y$ شمارندهٔ $26$ باشد.

از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ نتیجه می‌شود که $x$ کوچک‌ترین مضرب مشترک $2$ و $3$ است. بنابراین:
\[x=[2,3]=2\times3=6.\]

از رابطه‌های $(1)$ و $(2)$ نتیجه می‌شود که $y$ بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک $39$ و $26$ است.
\[y=(26,39)=(2\times13,\;3\times13)=13.\]

بنابراین:
\[\frac{x}{y}=\frac{6}{13}.\]


ب) فرض کنید کسر مورد نظر $\frac{a}{b}$ باشد. چون $\frac{a}{b}$ بزرگ‌ترین کسر ساده‌ نشدنی است، پس $(a,b)=1$ و $a$ باید بزرگ‌ترین عدد ممکن باشد و $b$ کوچک‌ترین عدد ممکن باشد. حاصل تقسیم کسرهای $‎\frac{2}{39}‎$ و $‎\frac{3}{26}‎$ بر $\frac{a}{b}$ باید عددی طبیعی باشد.

\[\begin{aligned}\frac{\frac{2}{39}}{\frac{a}{b}}=\frac{2b}{39a}.\quad(3)\end{aligned}\]
بنابراین، $a$ باید شمارندهٔ $2$ باشد، و $b$ باید مضرب $39$ باشد.

\[\begin{aligned}\frac{\frac{3}{26}}{\frac{a}{b}}=\frac{3b}{26a}.\quad(4)\end{aligned}\]
بنابراین، $a$ باید شمارندهٔ $3$ باشد، و $b$ باید مضرب $26$ باشد.

از رابطه‌های $(3)$ و $(4)$ نتیجه می‌شود که $a$ بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک $2$ و $3$ است.
\[\begin{aligned}(2,3)=1.\end{aligned}\]
از رابطه‌های $(3)$ و $(4)$ نتیجه می‌شود که $b$ کوچک‌ترین مضرب مشترک $26$ و $39$ است.
\[\begin{aligned}[26,39]&=[2\times13,\;3\times13]\\&=2\times3\times13\\&=78.\end{aligned}\]
بنابراین:
\[\frac{a}{b}=\frac{1}{78}.\]

1
دیدگاه بگذارید

avatar
1 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
1 Comment authors
مهدی Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
مهدی
Guest
مهدی

پرسش شماره 4 (بعدی) عمل نمی کند. با اجازه شما جواب آن را در این قسمت مینویسم:
ابتدا ک.م.م اعداد 2 و 3 و 4 و 7 و 8 را پیدا می کنیم که میشود 168
یعنی اولین عددی که بر 2و3و4و7و8 بخش پذیر است، عدد 168 است. حالا ما چون میخواهیم عدد مورد نظر در تقسیم بر این اعداد، باقیمانده ای با فاصله 1 بیاورد پس اولین جواب این سوال عدد 167 است.
دومین عددی که بر 2و3و4و7و8 بخش پذیر است، عدد 168 ضربدر 2 یعنی 336 است. پس دومین جواب این سوال عدد 335 است. و به همین ترتیب جواب های دیگر به دست می آیند.
167 و 335 و 503 و 671 و 839