۸. ۶. ۳. ۱۴. در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$ نقطه‌های $M$ و $N$ به‌ترتیب روی ساق‌های $AB$ و $AC$ قرار دارند به‌طوری‌که $AM=AN$. اگر نقطهٔ $O$ محل برخورد $BN$ و $CM$ باشد، آنگاه ثابت کنید:
الف) دو مثلث $ANB$ و $AMC$ هم‌نهشت‌اند.
ب) دو مثلث $OCN$ و $OBM$ هم‌نهشت‌اند.


راهنمای حل

چون $AB$ و $AC$ ساق‌های مثلث $ABC$ هستند، پس:
\[AB=AC.\]
از طرفی، بنابه فرض مسئله $AM=AN$. پس:
\[\begin{aligned}&AB-AM=AC-AN\\&\Rightarrow BM=CN.\quad(1)\end{aligned}\]

الف) دو مثلث $ANB$ و $AMC$ در حالت ض‌زض هم‌نهشت هستند. زیرا:
زاویهٔ $A$ در دو مثلث مشترک است؛
بنابه فرض مسئله، $AB=AC$؛
بنابه فرض مسئله، $AN=AM$.

ب) از هم‌نهشتی دو مثلث $ANB$ و $AMC$ نتیجه می‌شود که:
\[A\widehat{B}N=A\widehat{C}M.\quad(2)\]

بنابراین دو مثلث $OCN$ و $OBM$ در حالت ززض هم‌نهشت هستند، زیرا:
بنابه رابطهٔ $(2)$ زاویه‌های $OBM$ و $OCN$ برابرند؛
بنابه رابطهٔ $(1)$ ضلع‌های $BM$ و $CN$ برابرند؛
زاویه‌های $BOM$ و $CON$ برابرند، چون متقابل‌به‌رأس هستند.

5
دیدگاه بگذارید

avatar
3 Comment threads
2 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
5 Comment authors
ارشیایزدیفرزانگانTakmiliطاهاملیکا Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
ارشیایزدی
Guest
ارشیایزدی

با تشکر از مفهومی پاسخ دادن دست اندر کاران این سایت

طاها
Guest

مگه نبايد در حالت ز. ز. ض ضلع، بين دو زاويه باشه؟

Takmili
Admin

خیر. حالتی که شما می‌فرمایید حالت زض‌ز است.
حالت ززض، کمی با زض‌ز متفاوت است.

ملیکا
Guest
ملیکا

می توانیم بگوییم که زاویه های AMC و ANB برابرند پس زاویه های CMB و CNB هم برابرند.
آنگاه مسئله را با حالت ز.ض.ز حل کنیم

فرزانگان
Guest
فرزانگان

من هم همین کار رو کردم